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1. 下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为 （）
A.$2x+4y+1=2(x+2y)+1$
B.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
C.$x(x-10)=x^2-10x$
D.$x^2-4x+4=(x-2)^2$
A.$2x+4y+1=2(x+2y)+1$
B.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
C.$x(x-10)=x^2-10x$
D.$x^2-4x+4=(x-2)^2$
答案
D
解析
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
逐个分析选项：
1. 选项A：变形后右侧是$2(x+2y)+1$，属于和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解；
2. 选项B：变形是把整式的乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
3. 选项C：变形是把单项式乘多项式展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 选项D：把多项式$x^2-4x+4$化成了整式$(x-2)$的平方，也就是两个整式的积的形式，符合因式分解的定义。
逐个分析选项：
1. 选项A：变形后右侧是$2(x+2y)+1$，属于和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解；
2. 选项B：变形是把整式的乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
3. 选项C：变形是把单项式乘多项式展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 选项D：把多项式$x^2-4x+4$化成了整式$(x-2)$的平方，也就是两个整式的积的形式，符合因式分解的定义。
2.若$x^2 + x - 12 = (x + p)(x + q)$，则$p,q$的值分别为 （）
A.$p=3,q=4$
B.$p=-3,q=4$
C.$p=3,q=-4$
D.$p=-3,q=-4$
A.$p=3,q=4$
B.$p=-3,q=4$
C.$p=3,q=-4$
D.$p=-3,q=-4$
答案
B
解析
将等式右边展开，可得$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，和左边$x^2+x-12$对应系数相等，因此得到$\begin{cases}p+q=1\\pq=-12\end{cases}$。逐一验证选项：
A选项：$p+q=7$，$pq=12$，不符合要求；
B选项：$p+q=-3+4=1$，$pq=-3×4=-12$，符合要求；
C选项：$p+q=3+(-4)=-1$，不符合要求；
D选项：$p+q=-7$，$pq=12$，不符合要求。
因此正确答案为B。
A选项：$p+q=7$，$pq=12$，不符合要求；
B选项：$p+q=-3+4=1$，$pq=-3×4=-12$，符合要求；
C选项：$p+q=3+(-4)=-1$，不符合要求；
D选项：$p+q=-7$，$pq=12$，不符合要求。
因此正确答案为B。
3. 已知$d=x^4 - 2x^3 + x^2 - 10x - 4$，则当$x^2 - 2x - 4 = 0$时，$d$的值为（）
A.4
B.8
C.12
D.16
A.4
B.8
C.12
D.16
答案
D
解析
由已知条件$x^2 - 2x - 4 = 0$，可得$x^2 - 2x = 4$。
对多项式$d$变形，通过整体代入降次计算：
$d = x^4 - 2x^3 + x^2 - 10x - 4$
$= x^2(x^2 - 2x) + x^2 - 10x - 4$
将$x^2 - 2x = 4$代入上式：
$d = 4x^2 + x^2 - 10x - 4 = 5x^2 - 10x - 4$
提取公因式得$d = 5(x^2 - 2x) - 4$，再次代入$x^2 - 2x = 4$，得$d = 5×4 - 4 = 16$。
对多项式$d$变形，通过整体代入降次计算：
$d = x^4 - 2x^3 + x^2 - 10x - 4$
$= x^2(x^2 - 2x) + x^2 - 10x - 4$
将$x^2 - 2x = 4$代入上式：
$d = 4x^2 + x^2 - 10x - 4 = 5x^2 - 10x - 4$
提取公因式得$d = 5(x^2 - 2x) - 4$，再次代入$x^2 - 2x = 4$，得$d = 5×4 - 4 = 16$。
4. 下列多项式中,能用平方差公式因式分解的是 ()
A.$-a^2 - b^2$
B.$x^2 + (-y)^2$
C.$(-x)^2 + (-y)^2$
D.$-m^2 + 1$
A.$-a^2 - b^2$
B.$x^2 + (-y)^2$
C.$(-x)^2 + (-y)^2$
D.$-m^2 + 1$
答案
D
解析
用平方差公式因式分解的多项式需满足：能写成两个数的平方差的形式，即两项均为完全平方项，且两项符号相反。
选项A：$-a^2 - b^2=-(a^2+b^2)$，两项符号相同，不符合要求；
选项B：$x^2 + (-y)^2=x^2+y^2$，是平方和形式，两项符号相同，不符合要求；
选项C：$(-x)^2 + (-y)^2=x^2+y^2$，是平方和形式，两项符号相同，不符合要求；
选项D：$-m^2+1=1^2-m^2$，属于两个数的平方差，符合平方差公式因式分解的要求。
选项A：$-a^2 - b^2=-(a^2+b^2)$，两项符号相同，不符合要求；
选项B：$x^2 + (-y)^2=x^2+y^2$，是平方和形式，两项符号相同，不符合要求；
选项C：$(-x)^2 + (-y)^2=x^2+y^2$，是平方和形式，两项符号相同，不符合要求；
选项D：$-m^2+1=1^2-m^2$，属于两个数的平方差，符合平方差公式因式分解的要求。
5. 因式分解$x^2+mx+n$时，甲看错了$m$的值，分解的结果是$(x-6)(x+2)$，乙看错了$n$的值，分解的结果是$(x+8)(x-4)$，那么$x^2+mx+n$分解因式正确的结果为 （）
A.$(x+3)(x-4)$
B.$(x+4)(x-3)$
C.$(x+6)(x-2)$
D.$(x+2)(x-6)$
A.$(x+3)(x-4)$
B.$(x+4)(x-3)$
C.$(x+6)(x-2)$
D.$(x+2)(x-6)$
答案
C
解析
1. 甲仅看错m，未看错n，展开甲的分解结果：$(x-6)(x+2)=x^2-4x-12$，可得正确的$n=-12$。
2. 乙仅看错n，未看错m，展开乙的分解结果：$(x+8)(x-4)=x^2+4x-32$，可得正确的$m=4$。
3. 原多项式为$x^2+4x-12$，十字相乘因式分解得正确结果为$(x+6)(x-2)$。
2. 乙仅看错n，未看错m，展开乙的分解结果：$(x+8)(x-4)=x^2+4x-32$，可得正确的$m=4$。
3. 原多项式为$x^2+4x-12$，十字相乘因式分解得正确结果为$(x+6)(x-2)$。
6.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”。下列数中为“幸福数”的是（）
A.205
B.250
C.502
D.520
A.205
B.250
C.502
D.520
答案
D
解析
设较小的连续奇数为x，则较大的连续奇数为x+2（x为奇数），根据题意可得“幸福数”的表达式：
$(x+2)^2 - x^2$
利用平方差公式展开计算：
$=(x+2-x)(x+2+x)=2(2x+2)=4(x+1)$
由此可知“幸福数”一定是4的倍数。
分别验证选项：
205÷4=51.25，250÷4=62.5，502÷4=125.5，均不是整数，不符合要求；
520÷4=130，是整数，此时x+1=130，解得x=129，是奇数，符合条件，因此520是幸福数。
$(x+2)^2 - x^2$
利用平方差公式展开计算：
$=(x+2-x)(x+2+x)=2(2x+2)=4(x+1)$
由此可知“幸福数”一定是4的倍数。
分别验证选项：
205÷4=51.25，250÷4=62.5，502÷4=125.5，均不是整数，不符合要求；
520÷4=130，是整数，此时x+1=130，解得x=129，是奇数，符合条件，因此520是幸福数。
7.已知$m,n,p$均为实数，若$x-1,x+4$均为多项式$x^3+mx^2+nx+p$的因式，
则$2m-2n-p+86=$______。
则$2m-2n-p+86=$______。
答案
100
解析
因为$x-1$，$x+4$是多项式$x^3+mx^2+nx+p$的因式，且该多项式三次项系数为1，因此可设该多项式为$x^3+mx^2+nx+p=(x-1)(x+4)(x+k)$（$k$为常数）。
展开右侧多项式：
$(x-1)(x+4)(x+k)=(x^2+3x-4)(x+k)=x^3+(k+3)x^2+(3k-4)x-4k$
对比等式两边对应项的系数，可得：
$m=k+3$，$n=3k-4$，$p=-4k$
将上述关系代入$2m-2n-p+86$计算：
$2m-2n-p+86=2(k+3)-2(3k-4)-(-4k)+86=2k+6-6k+8+4k+86=100$
展开右侧多项式：
$(x-1)(x+4)(x+k)=(x^2+3x-4)(x+k)=x^3+(k+3)x^2+(3k-4)x-4k$
对比等式两边对应项的系数，可得：
$m=k+3$，$n=3k-4$，$p=-4k$
将上述关系代入$2m-2n-p+86$计算：
$2m-2n-p+86=2(k+3)-2(3k-4)-(-4k)+86=2k+6-6k+8+4k+86=100$
8. 在多项式 $4x^2 + 1$ 中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ______（只写一个即可）。
答案
$4x$（答案不唯一）
解析
本题考查完全平方式的结构特征，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$。我们可以将原式中的$4x^2$看作平方项$(2x)^2$，$1$看作平方项$1^2$，那么缺少的交叉项为$\pm2· 2x·1=\pm4x$，添加后式子可化为完全平方式$(2x\pm1)^2$，满足要求，也可选择其他符合条件的单项式，任选其一即可。
9. 若$(2x)^n - 81=(4x^2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)$，则$n$的值是________。
答案
4
解析
我们可以利用七年级所学的平方差公式逐步化简等式右侧的式子：
1. 先计算后两个因式的乘积：$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2 - 3^2=4x^2 -9$
2. 将得到的结果和第一个因式相乘：$(4x^2 +9)(4x^2 -9)=(4x^2)^2 -9^2=16x^4 -81$
3. 把$16x^4$变形为以$2x$为底的幂：$16x^4=(2x)^4$，因此等式右侧最终化简为$(2x)^4 -81$
4. 对比等式左侧$(2x)^n -81$，对应项相等可得$n=4$
1. 先计算后两个因式的乘积：$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2 - 3^2=4x^2 -9$
2. 将得到的结果和第一个因式相乘：$(4x^2 +9)(4x^2 -9)=(4x^2)^2 -9^2=16x^4 -81$
3. 把$16x^4$变形为以$2x$为底的幂：$16x^4=(2x)^4$，因此等式右侧最终化简为$(2x)^4 -81$
4. 对比等式左侧$(2x)^n -81$，对应项相等可得$n=4$
10.已知$ a=\dfrac{1}{2026}+2023,b=\dfrac{1}{2026}+2024,c=\dfrac{1}{2026}+2025 $，则$ 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac) $的值是________。
答案
6
解析
先对所求代数式进行恒等变形，利用完全平方公式转化：
$\begin{aligned}2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)&=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\\&=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)\\&=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\end{aligned}$
再根据已知条件计算差值：
$a-b=(\dfrac{1}{2026}+2023)-(\dfrac{1}{2026}+2024)=-1$
$b-c=(\dfrac{1}{2026}+2024)-(\dfrac{1}{2026}+2025)=-1$
$a-c=(\dfrac{1}{2026}+2023)-(\dfrac{1}{2026}+2025)=-2$
将差值代入变形后的式子计算：
原式$=(-1)^2+(-1)^2+(-2)^2=1+1+4=6$
$\begin{aligned}2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)&=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\\&=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)\\&=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\end{aligned}$
再根据已知条件计算差值：
$a-b=(\dfrac{1}{2026}+2023)-(\dfrac{1}{2026}+2024)=-1$
$b-c=(\dfrac{1}{2026}+2024)-(\dfrac{1}{2026}+2025)=-1$
$a-c=(\dfrac{1}{2026}+2023)-(\dfrac{1}{2026}+2025)=-2$
将差值代入变形后的式子计算：
原式$=(-1)^2+(-1)^2+(-2)^2=1+1+4=6$
