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小能到某体育用品商店购买篮球和羽毛球拍，若购买3个篮球和8副羽毛球拍，则共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍，则共需232元.
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元钱.
（2）暑假期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5.
①商店本次活动对篮球和羽毛球拍打几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元.他有几种购买方案？请说明理由.
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元钱.
（2）暑假期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5.
①商店本次活动对篮球和羽毛球拍打几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元.他有几种购买方案？请说明理由.
答案
（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元.
由题意，得$\begin{cases}3x+8y=416,\\6x+y=232,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=32,\\y=40.\end{cases}$
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元.
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍打m折销售.
由题意，得$\frac{256}{32×0.1m}+5=\frac{480}{40×0.1m}$，
解得$m=8$.
经检验，$m=8$是原方程的解，且符合题意.
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍打八折销售.
②他有2种购买方案.理由如下：
设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍.
由题意，得$32×0.8a+40×0.8b=281.6$，
化简，得$4a+5b=44$.
∵a，b均为正整数，
∴$\begin{cases}a=1,\\b=8,\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=4,\end{cases}$
∴小能有2种购买方案.
由题意，得$\begin{cases}3x+8y=416,\\6x+y=232,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=32,\\y=40.\end{cases}$
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元.
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍打m折销售.
由题意，得$\frac{256}{32×0.1m}+5=\frac{480}{40×0.1m}$，
解得$m=8$.
经检验，$m=8$是原方程的解，且符合题意.
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍打八折销售.
②他有2种购买方案.理由如下：
设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍.
由题意，得$32×0.8a+40×0.8b=281.6$，
化简，得$4a+5b=44$.
∵a，b均为正整数，
∴$\begin{cases}a=1,\\b=8,\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=4,\end{cases}$
∴小能有2种购买方案.
解析
【分析】
（1）第一问有两个未知量（篮球单价、羽毛球拍单价），题干给出了两种购买组合的总费用，对应两个等量关系，因此可设两个未知数列二元一次方程组，用消元法求解即可。
（2）①设折扣为m折，折后单价为原价×0.1m，根据“256元买篮球的个数+5=480元买羽毛球拍的副数”列分式方程求解，注意分式方程必须检验根是否符合题意。
②设购买篮球a个、羽毛球拍b副，根据总付款列方程，化简后得到二元一次不定方程，结合a、b均为正整数的条件，枚举所有符合要求的解即可得到方案数。
【解析】
（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元。
由题意得：
$\begin{cases}3x+8y=416\\6x+y=232\end{cases}$
将第一个方程×2得$6x+16y=832$，减去第二个方程得$15y=600$，解得$y=40$；
把$y=40$代入$6x+y=232$，得$6x=192$，解得$x=32$。
即$\begin{cases}x=32\\y=40\end{cases}$
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍打m折销售。
由题意得：
$\frac{256}{32×0.1m}+5=\frac{480}{40×0.1m}$
化简得$\frac{80}{m}+5=\frac{120}{m}$，移项得$\frac{40}{m}=5$，解得$m=8$。
检验：当$m=8$时，$32×0.1m≠0$，$40×0.1m≠0$，所以$m=8$是原方程的解，且符合实际意义。
②设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍（a、b均为正整数）。
由题意得：
$32×0.8a+40×0.8b=281.6$
化简得$4a+5b=44$。
枚举正整数解：
当b=4时，$4a=44-20=24$，得a=6；
当b=8时，$4a=44-40=4$，得a=1；
b取其他正整数时a均不是正整数，因此共有2组正整数解。
【答案】
（1）每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元；
（2）①商店本次活动对篮球和羽毛球拍打八折销售；②小能有2种购买方案。
【知识点】
1.二元一次方程组应用
2.分式方程应用
3.方案设计问题
【点评】
本题是结合生活消费场景的方程综合应用题，考查学生提取等量关系、列解方程的能力，同时要求学生掌握分式方程检验、不定方程正整数解求解的方法，实用性较强，能有效锻炼学生的数学应用思维。
【难度系数】
0.6
（1）第一问有两个未知量（篮球单价、羽毛球拍单价），题干给出了两种购买组合的总费用，对应两个等量关系，因此可设两个未知数列二元一次方程组，用消元法求解即可。
（2）①设折扣为m折，折后单价为原价×0.1m，根据“256元买篮球的个数+5=480元买羽毛球拍的副数”列分式方程求解，注意分式方程必须检验根是否符合题意。
②设购买篮球a个、羽毛球拍b副，根据总付款列方程，化简后得到二元一次不定方程，结合a、b均为正整数的条件，枚举所有符合要求的解即可得到方案数。
【解析】
（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元。
由题意得：
$\begin{cases}3x+8y=416\\6x+y=232\end{cases}$
将第一个方程×2得$6x+16y=832$，减去第二个方程得$15y=600$，解得$y=40$；
把$y=40$代入$6x+y=232$，得$6x=192$，解得$x=32$。
即$\begin{cases}x=32\\y=40\end{cases}$
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍打m折销售。
由题意得：
$\frac{256}{32×0.1m}+5=\frac{480}{40×0.1m}$
化简得$\frac{80}{m}+5=\frac{120}{m}$，移项得$\frac{40}{m}=5$，解得$m=8$。
检验：当$m=8$时，$32×0.1m≠0$，$40×0.1m≠0$，所以$m=8$是原方程的解，且符合实际意义。
②设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍（a、b均为正整数）。
由题意得：
$32×0.8a+40×0.8b=281.6$
化简得$4a+5b=44$。
枚举正整数解：
当b=4时，$4a=44-20=24$，得a=6；
当b=8时，$4a=44-40=4$，得a=1；
b取其他正整数时a均不是正整数，因此共有2组正整数解。
【答案】
（1）每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元；
（2）①商店本次活动对篮球和羽毛球拍打八折销售；②小能有2种购买方案。
【知识点】
1.二元一次方程组应用
2.分式方程应用
3.方案设计问题
【点评】
本题是结合生活消费场景的方程综合应用题，考查学生提取等量关系、列解方程的能力，同时要求学生掌握分式方程检验、不定方程正整数解求解的方法，实用性较强，能有效锻炼学生的数学应用思维。
【难度系数】
0.6
