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6. 若将一副三角板按如图所示的方式摆放，则下列结论中不正确的是（
A.$∠ 1=∠ 3$
B.若$∠ 2=30°$，则有$AC // DE$
C.若$∠ 2=30°$，则有$BC // AD$
D.若$∠ 2=30°$，必有$∠ 4=∠ C$
C
）A.$∠ 1=∠ 3$
B.若$∠ 2=30°$，则有$AC // DE$
C.若$∠ 2=30°$，则有$BC // AD$
D.若$∠ 2=30°$，必有$∠ 4=∠ C$
答案
6. C
解析
【分析】
这是一道结合三角板摆放的几何判断题，解题时首先要明确一副三角板的固有角度：等腰直角三角板的两个锐角都是45°，另一个三角板的锐角为30°、60°，两个三角板的直角均为90°。解题思路是：先利用同角的余角相等判断A选项；再结合∠2=30°的条件，分别计算相关角度，利用平行线的判定定理判断B、C选项，再利用平行线的性质判断D选项，最终选出不正确的结论。
【解析】
由三角板的特征可知：$∠ CAB=∠ EAD=90°$，$∠ C=∠ B=45°$，$∠ E=60°$，$∠ D=30°$。
对选项A：$\because ∠1+∠2=∠ CAB=90°$，$∠3+∠2=∠ EAD=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠1=∠3$，故A结论正确，不符合题意。
对选项B：若$∠2=30°$，则$∠1=90°-∠2=60°$，$\therefore ∠1=∠ E=60°$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$，故B结论正确，不符合题意。
对选项C：若$∠2=30°$，则$∠3=90°-∠2=60°$，而$∠ B=45°$，$∠3\ne∠ B$，不满足平行线的判定条件，因此BC与AD不平行，故C结论错误，符合题意。
对选项D：由选项B可知，当$∠2=30°$时$AC// DE$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠4=∠ C$，故D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题将三角板的固定角度与平行线的判定、性质结合考查，难度不大，解题的核心是准确识别图中的角的关系，熟练运用平行线的判定和性质定理进行推导判断。
【难度系数】
0.7
这是一道结合三角板摆放的几何判断题，解题时首先要明确一副三角板的固有角度：等腰直角三角板的两个锐角都是45°，另一个三角板的锐角为30°、60°，两个三角板的直角均为90°。解题思路是：先利用同角的余角相等判断A选项；再结合∠2=30°的条件，分别计算相关角度，利用平行线的判定定理判断B、C选项，再利用平行线的性质判断D选项，最终选出不正确的结论。
【解析】
由三角板的特征可知：$∠ CAB=∠ EAD=90°$，$∠ C=∠ B=45°$，$∠ E=60°$，$∠ D=30°$。
对选项A：$\because ∠1+∠2=∠ CAB=90°$，$∠3+∠2=∠ EAD=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠1=∠3$，故A结论正确，不符合题意。
对选项B：若$∠2=30°$，则$∠1=90°-∠2=60°$，$\therefore ∠1=∠ E=60°$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$，故B结论正确，不符合题意。
对选项C：若$∠2=30°$，则$∠3=90°-∠2=60°$，而$∠ B=45°$，$∠3\ne∠ B$，不满足平行线的判定条件，因此BC与AD不平行，故C结论错误，符合题意。
对选项D：由选项B可知，当$∠2=30°$时$AC// DE$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠4=∠ C$，故D结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题将三角板的固定角度与平行线的判定、性质结合考查，难度不大，解题的核心是准确识别图中的角的关系，熟练运用平行线的判定和性质定理进行推导判断。
【难度系数】
0.7
7. 已知方程组$\begin{cases}7x + 10y = 2, \\10x + 7y = -4\end{cases}$的解满足$x - y = m - 1$，则$m$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
答案
7. A
解析
【分析】
解题时可先观察方程组中两个方程的系数特点，无需单独求解x、y的具体值，直接用第二个方程减去第一个方程，即可得到x-y的整体取值，再将其代入x-y=m-1的关系式中，解一元一次方程就能求出m的值，这种整体求解的思路更简便。
【解析】
记方程组$\begin{cases}7x + 10y = 2&① \\10x + 7y = -4&②\end{cases}$
用②式减去①式，可得：
$(10x+7y)-(7x+10y)=-4-2$
化简左边得：$3x-3y=3(x-y)$，右边为$-6$
即$3(x-y)=-6$，两边同时除以3，得$x-y=-2$
已知方程组的解满足$x-y=m-1$，将$x-y=-2$代入得：
$-2=m-1$
移项解得$m=-2+1=-1$
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，整体代入思想，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的灵活求解，运用整体思想可以避开单独求解x、y的复杂计算，简化解题过程，同时也提醒大家解题时要先观察式子特征，选择最优方法。
【难度系数】
0.7
解题时可先观察方程组中两个方程的系数特点，无需单独求解x、y的具体值，直接用第二个方程减去第一个方程，即可得到x-y的整体取值，再将其代入x-y=m-1的关系式中，解一元一次方程就能求出m的值，这种整体求解的思路更简便。
【解析】
记方程组$\begin{cases}7x + 10y = 2&① \\10x + 7y = -4&②\end{cases}$
用②式减去①式，可得：
$(10x+7y)-(7x+10y)=-4-2$
化简左边得：$3x-3y=3(x-y)$，右边为$-6$
即$3(x-y)=-6$，两边同时除以3，得$x-y=-2$
已知方程组的解满足$x-y=m-1$，将$x-y=-2$代入得：
$-2=m-1$
移项解得$m=-2+1=-1$
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，整体代入思想，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的灵活求解，运用整体思想可以避开单独求解x、y的复杂计算，简化解题过程，同时也提醒大家解题时要先观察式子特征，选择最优方法。
【难度系数】
0.7
8. 用换元法解分式方程$\frac{x-1}{x} - \frac{3x}{x-1} +1=0$时，如果设$\frac{x-1}{x}=y$，将原方程化为关于$y$的整式方程，那么这个整式方程是（
A.$y^2 + y -3=0$
B.$y^2 -3y +1=0$
C.$3y^2 - y +1=0$
D.$3y^2 - y -1=0$
A
）A.$y^2 + y -3=0$
B.$y^2 -3y +1=0$
C.$3y^2 - y +1=0$
D.$3y^2 - y -1=0$
答案
8. A
解析
【分析】
本题考查换元法解分式方程，解题思路如下：首先根据题中给出的换元设定$\frac{x-1}{x}=y$，可推出$\frac{x}{x-1}$是$y$的倒数，即$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{y}$，由此可将原方程中含$x$的分式全部替换为含$y$的代数式；再将替换后的分式方程两边同乘最简公分母$y$，去掉分母转化为整式方程即可，注意去分母时不要漏乘常数项。
【解析】
解：设$\frac{x-1}{x}=y$，则$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{y}$，因此$\frac{3x}{x-1}=\frac{3}{y}$。
将其代入原方程可得：
$y - \frac{3}{y} + 1 = 0$
方程两边同时乘以$y$（由分式有意义的条件可得$y≠0$），去分母得：
$y^2 + y - 3 = 0$
即为所求的整式方程，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解分式方程；分式去分母；倒数的性质
【点评】
本题是换元法解分式方程的基础题型，解题的关键是识别出方程中两个分式互为倒数的关系，去分母时要注意给每一项都乘最简公分母，避免漏乘常数项导致出错。
【难度系数】
0.7
本题考查换元法解分式方程，解题思路如下：首先根据题中给出的换元设定$\frac{x-1}{x}=y$，可推出$\frac{x}{x-1}$是$y$的倒数，即$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{y}$，由此可将原方程中含$x$的分式全部替换为含$y$的代数式；再将替换后的分式方程两边同乘最简公分母$y$，去掉分母转化为整式方程即可，注意去分母时不要漏乘常数项。
【解析】
解：设$\frac{x-1}{x}=y$，则$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{y}$，因此$\frac{3x}{x-1}=\frac{3}{y}$。
将其代入原方程可得：
$y - \frac{3}{y} + 1 = 0$
方程两边同时乘以$y$（由分式有意义的条件可得$y≠0$），去分母得：
$y^2 + y - 3 = 0$
即为所求的整式方程，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解分式方程；分式去分母；倒数的性质
【点评】
本题是换元法解分式方程的基础题型，解题的关键是识别出方程中两个分式互为倒数的关系，去分母时要注意给每一项都乘最简公分母，避免漏乘常数项导致出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示，长方形ABCD被分割成五个长方形，且$MH=PF$，则下列等式：①$MN · BF = NP · AE$；②$EN · PQ = PF · NP$中可以判断甲、乙两个矩形面积相等的是（
A.①②都不可以
B.仅①可以
C.仅②可以
D.①②都可以
D
）A.①②都不可以
B.仅①可以
C.仅②可以
D.①②都可以
答案
9. D
解析
【分析】
要判断两个等式能否推出甲、乙两个矩形面积相等，首先梳理线段关系：1. 隐含相等线段：两条平行水平线之间的竖直距离处处相等，故MN=PQ；下方水平线EF到BC的竖直距离处处相等，故EB=PF，结合题给MH=PF，可推得EB=MH。2. 先推导S甲=S乙的等价条件：根据矩形面积公式分别表示S甲和S乙，化简得到核心等价关系，再验证两个等式是否能推出该关系即可。
【解析】
设参数：令$ MH=PF=a $（题给相等），$ MN=PQ=b $（平行线间竖直距离相等），$ NP=x $，$ EN=y $。
由线段和的关系可得：
水平长度$ BF=EN+NP=y+x $，
竖直长度$ AE=MH+MN=a+b $，
竖直长度$ EB=PF=a $。
根据矩形面积公式：
$ S_甲 = EN × AE = y(a+b) $，
$ S_乙 = BF × EB = a(y+x) $。
若$ S_甲=S_乙 $，则$ y(a+b) = a(y+x) $，化简得：
$ ay + by = ay + ax $，消去同类项后得核心等价条件：$ by=ax $。
分别验证两个等式：
1. 对于等式①$ MN·BF = NP·AE $：
代入参数得左边$ =b(y+x) $，右边$ =x(a+b) $，
若等式成立，则$ b(y+x)=x(a+b) $，展开得$ by+bx=ax+bx $，消去$ bx $后得$ by=ax $，符合核心等价条件，可推出$ S_甲=S_乙 $。
2. 对于等式②$ EN·PQ = PF·NP $：
代入参数得左边$ =y·b $，右边$ =a·x $，
若等式成立，则$ by=ax $，直接符合核心等价条件，可推出$ S_甲=S_乙 $。
因此①②都可以判断甲、乙面积相等。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，等式的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合矩形的性质和平行线间距离相等的规律，通过设参数将面积相等的条件转化为线段乘积关系，再对等式化简验证，考察了逻辑推理和代数代换的能力。
【难度系数】
0.6
要判断两个等式能否推出甲、乙两个矩形面积相等，首先梳理线段关系：1. 隐含相等线段：两条平行水平线之间的竖直距离处处相等，故MN=PQ；下方水平线EF到BC的竖直距离处处相等，故EB=PF，结合题给MH=PF，可推得EB=MH。2. 先推导S甲=S乙的等价条件：根据矩形面积公式分别表示S甲和S乙，化简得到核心等价关系，再验证两个等式是否能推出该关系即可。
【解析】
设参数：令$ MH=PF=a $（题给相等），$ MN=PQ=b $（平行线间竖直距离相等），$ NP=x $，$ EN=y $。
由线段和的关系可得：
水平长度$ BF=EN+NP=y+x $，
竖直长度$ AE=MH+MN=a+b $，
竖直长度$ EB=PF=a $。
根据矩形面积公式：
$ S_甲 = EN × AE = y(a+b) $，
$ S_乙 = BF × EB = a(y+x) $。
若$ S_甲=S_乙 $，则$ y(a+b) = a(y+x) $，化简得：
$ ay + by = ay + ax $，消去同类项后得核心等价条件：$ by=ax $。
分别验证两个等式：
1. 对于等式①$ MN·BF = NP·AE $：
代入参数得左边$ =b(y+x) $，右边$ =x(a+b) $，
若等式成立，则$ b(y+x)=x(a+b) $，展开得$ by+bx=ax+bx $，消去$ bx $后得$ by=ax $，符合核心等价条件，可推出$ S_甲=S_乙 $。
2. 对于等式②$ EN·PQ = PF·NP $：
代入参数得左边$ =y·b $，右边$ =a·x $，
若等式成立，则$ by=ax $，直接符合核心等价条件，可推出$ S_甲=S_乙 $。
因此①②都可以判断甲、乙面积相等。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，等式的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合矩形的性质和平行线间距离相等的规律，通过设参数将面积相等的条件转化为线段乘积关系，再对等式化简验证，考察了逻辑推理和代数代换的能力。
【难度系数】
0.6
