例1 (1)合并下列同类项
①$a+2a+3a=$；②$a-5a-7a=$.
(2)下列合并正确的是()
A. 由$-5x+4x=1$，得$x=1$
B. 由$x+3x+4x=8$，得$7x=8$
C. 由$-x+3x-4x=6$，得$-5x=6$
D. 由$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x-x=2$，得$-\frac{1}{6}x=2$
【思路导析】根据合并同类项的法则进行判断.
【请你解答】

①$\boldsymbol{6a}$；②$\boldsymbol{-11a}$；(2) $\boldsymbol{D}$

【分析】
解题时首先回忆合并同类项的法则：合并同类项时，只需把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。对于(1)的两个式子，都是只含a的同类项，直接将各项的系数相加，再乘a即可得到结果；对于(2)的选择题，逐个计算每个选项等号左侧的合并结果，与选项给出的结论对比，就能选出正确选项。
【解析】
(1)①计算系数和：$1+2+3=6$，字母部分保持a不变，因此$a+2a+3a=6a$；
②计算系数和：$1-5-7=-11$，字母部分保持a不变，因此$a-5a-7a=-11a$；
(2)逐一分析选项：
A选项：$-5x+4x=(-5+4)x=-x$，即$-x=1$，选项结论错误；
B选项：$x+3x+4x=(1+3+4)x=8x$，即$8x=8$，选项结论错误；
C选项：$-x+3x-4x=(-1+3-4)x=-2x$，即$-2x=6$，选项结论错误；
D选项：先通分计算系数和：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-1=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{6}{6}=-\frac{1}{6}$，即$-\frac{1}{6}x=2$，选项结论正确。
【答案】
①$\boldsymbol{6a}$；②$\boldsymbol{-11a}$；(2) $\boldsymbol{D}$
【知识点】
合并同类项法则；一元一次方程化简
【点评】
本题是合并同类项的基础应用类题目，是解一元一次方程的必备基础技能，解题时要格外注意系数的正负号，通分时不要计算错误，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8

例2 将下列解方程的过程补充完整：
(1)$-2x+7x=20$；
解:合并同类项,得$=20$,
系数化为 1,得$x=$;
(2)$-4x+6x-0.5x=0.3$；
解:合并同类项,得$=0.3$.
系数化为 1,得$x=$.
【思路导析】将方程左边合并同类项化成$ax=b$的形式.
【请你解答】

解：(1) 合并同类项，得$\boldsymbol{5x}=20$，
系数化为1，得$x=\boldsymbol{4}$；
(2) 合并同类项，得$\boldsymbol{1.5x}=0.3$，
系数化为1，得$x=\boldsymbol{0.2}$。

【分析】
本题考查解简单一元一次方程的步骤，解题思路分为两步：第一步合并同类项，将方程左边所有含未知数x的项的系数相加减，把方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第二步系数化为1，利用等式的性质，等式两边同时除以未知数的系数$a$，即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 合并同类项时，计算左边同类项的系数和：$-2+7=5$，因此合并后得$5x=20$；
系数化为1时，等式两边同时除以5，得$x=20÷5=4$。
(2) 合并同类项时，计算左边同类项的系数和：$-4+6-0.5=1.5$，因此合并后得$1.5x=0.3$；
系数化为1时，等式两边同时除以1.5，得$x=0.3÷1.5=0.2$。
【答案】
(1) $5x$；$4$
(2) $1.5x$；$0.2$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查合并同类项和系数化为1的基本操作，熟练掌握这类基础解法，是后续学习求解复杂一元一次方程的重要前提。
【难度系数】
0.9

例3 解下列方程：
(1) $-3x + 6x = 18$
(2) $2.5x - x + 1.5x = 7 - 1$
【思路导析】根据用合并同类项解一元一次方程的步骤作答。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
(1) 合并同类项，得
$3x = 18$
系数化为1，得
$x = 6$
(2) 合并同类项，得
$3x = 6$
系数化为1，得
$x = 2$

【分析】这两道题是用合并同类项求解一元一次方程的基础题，解题思路分为两步：第一步先将方程左右两边的同类项合并，把含未知数的项合并为一项、常数项合并为一项，将方程化简为$ax=b$（$a\ne0$）的形式；第二步将未知数的系数化为1，即可求出方程的解。
【解析】
(1) 合并同类项，得
$3x = 18$
系数化为1，得
$x = 6$
(2) 合并同类项，得
$3x = 6$
系数化为1，得
$x = 2$
【答案】(1) $x=6$；(2) $x=2$
【知识点】合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查合并同类项的运算能力，解题时注意计算的准确性，熟练掌握两步解题步骤即可快速得到答案。
【难度系数】0.9

例4 我国古代数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每天织布的尺数都比前一天增加一倍,连续织了5天,共织布5尺.问:她每天各织布多少尺?
【规范解答】设第一天织布$x$尺,则第二天织布$2x$尺,第三天织布$4x$尺,第四天织布$8x$尺,第五天织布$16x$尺.根据题意可得$x+2x+4x+8x+16x=5$,解得$x=\frac{5}{31}$.
答:该女子第一天至第五天分别织布$\frac{5}{31}$尺、$\frac{10}{31}$尺、$\frac{20}{31}$尺、$\frac{40}{31}$尺、$\frac{80}{31}$尺.

解：设第一天织布$x$尺，则第二天织布$2x$尺，第三天织布$4x$尺，第四天织布$8x$尺，第五天织布$16x$尺。
根据题意列方程得：
$x+2x+4x+8x+16x=5$
合并同类项，得：
$31x=5$
系数化为1，得：
$x=\frac{5}{31}$
则$2x=\frac{10}{31}$，$4x=\frac{20}{31}$，$8x=\frac{40}{31}$，$16x=\frac{80}{31}$。
答：该女子第一天至第五天分别织布$\frac{5}{31}$尺、$\frac{10}{31}$尺、$\frac{20}{31}$尺、$\frac{40}{31}$尺、$\frac{80}{31}$尺。

【分析】
这是一道结合古代数学素材的一元一次方程应用题，解题首先要理解“日自倍”的含义：每天织布的尺数是前一天的2倍。我们可以将第一天的织布量设为未知数x，依次用含x的式子表示出后四天的织布量，再根据“5天一共织布5尺”的总数量关系列出一元一次方程，解方程求出第一天的织布量后，再依次计算其余四天的织布量即可。
【解析】
设第一天织布$x$尺，则第二天织布$2x$尺，第三天织布$4x$尺，第四天织布$8x$尺，第五天织布$16x$尺。
根据题意列方程得：
$x+2x+4x+8x+16x=5$
合并同类项，得：
$31x=5$
系数化为1，得：
$x=\frac{5}{31}$
则$2x=\frac{10}{31}$，$4x=\frac{20}{31}$，$8x=\frac{40}{31}$，$16x=\frac{80}{31}$。
答：该女子第一天至第五天分别织布$\frac{5}{31}$尺、$\frac{10}{31}$尺、$\frac{20}{31}$尺、$\frac{40}{31}$尺、$\frac{80}{31}$尺。
【答案】
该女子第一天至第五天分别织布$\frac{5}{31}$尺、$\frac{10}{31}$尺、$\frac{20}{31}$尺、$\frac{40}{31}$尺、$\frac{80}{31}$尺。
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程；倍数关系应用
【点评】
本题以传统数学名著中的问题为载体，兼具文化性和实用性，核心考查对倍量关系的理解与一元一次方程的使用，解题的关键是准确表示出每天的织布量，抓住总织布量的等量关系列方程，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7