1.如图，某舰艇行驶到B处时，测得海岛A、轮船C的方向分别为北偏西$30°$和西南方向，则$∠ ABC$的大小是。

$\boldsymbol{105}$

解：
由题意得，B点处正北方向与正西方向的夹角为90°。
因为海岛A在B的北偏西30°方向，所以正北方向与BA的夹角为30°，可得BA与正西方向的夹角为$90° - 30° = 60°$。
因为轮船C在B的西南方向，所以正西方向与BC的夹角为45°。
因此$∠ ABC = 60° + 45° = 105°$。
最终

2. 如图，纸折扇完全打开后为扇形BAC，面积为$300π\ \mathrm{cm}^2$。若$∠ BAC=120°$，$BD=2AD$，则$BD$的长度为 cm。

解：设AD的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$BD=2x\ \mathrm{cm}$，$AB=AD+BD=3x\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\dfrac{nπ R^2}{360}$，代入已知条件$S=300π$，$n=120$，$R=AB=3x$，得：
$\dfrac{120·π·(3x)^2}{360}=300π$
化简得：
$3π x^2=300π$
两边同除以$π$，得$3x^2=300$，即$x^2=100$。
因为长度为正数，所以$x=10$，则$BD=2x=20\ \mathrm{cm}$。
答：$BD$的长度为$\boldsymbol{20}$ cm。

3.如图,已知射线OC,作∠AOB,使它的平分线为射线OC。(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并标出所作的角)

解：
以点O为顶点，在射线OC的两侧分别作射线OA、OB，使∠AOC=∠BOC，所得的∠AOB即为所求，保留尺规作图的圆弧痕迹，标注点A、B与∠AOB即可。
（注：作图时保证OA、OB分居OC两侧，OC将∠AOB分为两个相等的角，符合角平分线的定义要求。）

4.如图,点C在线段AB上,M是AC的中点,AB=13,BC=9。
(1)求线段AM的长；
(2)在线段BC上取一点N,使得CN:NB=1:2,求线段MN的长。

解：
(1) 因为点C在线段AB上，
所以 $ AC = AB - BC = 13 - 9 = 4 $。
又因为M是AC的中点，
所以 $ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
(2) 因为点N在线段BC上，且 $ CN:NB = 1:2 $，
所以 $ CN = \frac{1}{1+2} × BC = \frac{1}{3} × 9 = 3 $。
因为M是AC的中点，
所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = 2 $，
因此 $ MN = MC + CN = 2 + 3 = 5 $。
答：(1) 线段AM的长为2；(2) 线段MN的长为5。

5. 提升题＞如图，$∠ AOB$是直角，$∠ AOC$是锐角，$ON$是$∠ AOC$的平分线，$OM$是$∠ BOC$的平分线，求$∠ MON$的大小。

解：
∵ ON是∠AOC的平分线，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ OM是∠BOC的平分线，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠BOC。
又∵ ∠AOB是直角，
∴ ∠AOB = 90°，且∠BOC = ∠AOB + ∠AOC。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠AOC
= $\frac{1}{2}$(∠BOC - ∠AOC)
= $\frac{1}{2}$∠AOB
= $\frac{1}{2}$×90°
= 45°
答：∠MON的大小为45°。