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1.如图，某舰艇行驶到B处时，测得海岛A、轮船C的方向分别为北偏西$30°$和西南方向，则$∠ ABC$的大小是。
答案
$\boldsymbol{105}$
解析
【分析】
解题的核心是准确理解方向角的含义，明确各方向的夹角关系：正北与正南方向共线，夹角为180°；北偏西30°是指射线BA与正北方向的夹角为30°，西南方向即南偏西45°，是指射线BC与正南方向的夹角为45°。要求∠ABC的度数，只需用正北、正南方向的平角180°减去两个已知的方向角即可。
【解析】
解：根据方向角的定义：
1. 测得A的方向为北偏西30°，则射线BA与正北方向的夹角为$30°$；
2. 测得C的方向为西南方向（即南偏西45°），则射线BC与正南方向的夹角为$45°$；
3. 正北方向与正南方向在同一直线上，夹角为平角$180°$，因此：
$∠ ABC = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
105
【知识点】
方向角的定义，平角的特征，角的和差计算
【点评】
本题是方向角的基础应用类题目，解题关键是正确识别方向角对应的夹角，结合平角的性质进行角的和差计算，易错点是误判西南方向对应的角度，或混淆方向角的参照基准。
【难度系数】
0.8
解题的核心是准确理解方向角的含义，明确各方向的夹角关系：正北与正南方向共线，夹角为180°；北偏西30°是指射线BA与正北方向的夹角为30°，西南方向即南偏西45°，是指射线BC与正南方向的夹角为45°。要求∠ABC的度数，只需用正北、正南方向的平角180°减去两个已知的方向角即可。
【解析】
解：根据方向角的定义：
1. 测得A的方向为北偏西30°，则射线BA与正北方向的夹角为$30°$；
2. 测得C的方向为西南方向（即南偏西45°），则射线BC与正南方向的夹角为$45°$；
3. 正北方向与正南方向在同一直线上，夹角为平角$180°$，因此：
$∠ ABC = 180° - 30° - 45° = 105°$
【答案】
105
【知识点】
方向角的定义，平角的特征，角的和差计算
【点评】
本题是方向角的基础应用类题目，解题关键是正确识别方向角对应的夹角，结合平角的性质进行角的和差计算，易错点是误判西南方向对应的角度，或混淆方向角的参照基准。
【难度系数】
0.8
2. 如图，纸折扇完全打开后为扇形BAC，面积为$300π\ \mathrm{cm}^2$。若$∠ BAC=120°$，$BD=2AD$，则$BD$的长度为 cm。
答案
解：设AD的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$BD=2x\ \mathrm{cm}$，$AB=AD+BD=3x\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\dfrac{nπ R^2}{360}$，代入已知条件$S=300π$，$n=120$，$R=AB=3x$，得：
$\dfrac{120·π·(3x)^2}{360}=300π$
化简得：
$3π x^2=300π$
两边同除以$π$，得$3x^2=300$，即$x^2=100$。
因为长度为正数，所以$x=10$，则$BD=2x=20\ \mathrm{cm}$。
答：$BD$的长度为$\boldsymbol{20}$ cm。
根据扇形面积公式$S=\dfrac{nπ R^2}{360}$，代入已知条件$S=300π$，$n=120$，$R=AB=3x$，得：
$\dfrac{120·π·(3x)^2}{360}=300π$
化简得：
$3π x^2=300π$
两边同除以$π$，得$3x^2=300$，即$x^2=100$。
因为长度为正数，所以$x=10$，则$BD=2x=20\ \mathrm{cm}$。
答：$BD$的长度为$\boldsymbol{20}$ cm。
解析
【分析】
要求BD的长度，我们可以先梳理已知条件的关联：首先扇形的面积和圆心角、半径有关，题目已经给出扇形BAC的面积和圆心角，接下来需要把扇形半径AB和待求量BD建立联系。已知BD=2AD，且AB=AD+BD，因此可设AD为未知数，用含未知数的式子表示AB，再代入扇形面积公式列方程求解，最后算出BD的长度即可。
【解析】
设AD的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$BD=2x\ \mathrm{cm}$，扇形BAC的半径$AB=AD+BD=x+2x=3x\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\dfrac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），将$S=300π$，$n=120$，$R=3x$代入公式得：
$\dfrac{120· π· (3x)^2}{360}=300π$
化简得：$3πx^2=300π$
两边同时除以$π$，得$3x^2=300$，即$x^2=100$。
由于线段长度为正数，因此$x=10$，则$BD=2x=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
20
【知识点】
扇形面积计算；方程法解几何题；线段和差关系
【点评】
本题将扇形面积公式与线段数量关系结合，考查了方程思想在几何计算中的应用，解题的关键是准确用未知数表示出扇形的半径，属于基础类几何计算题。
【难度系数】
0.7
要求BD的长度，我们可以先梳理已知条件的关联：首先扇形的面积和圆心角、半径有关，题目已经给出扇形BAC的面积和圆心角，接下来需要把扇形半径AB和待求量BD建立联系。已知BD=2AD，且AB=AD+BD，因此可设AD为未知数，用含未知数的式子表示AB，再代入扇形面积公式列方程求解，最后算出BD的长度即可。
【解析】
设AD的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则$BD=2x\ \mathrm{cm}$，扇形BAC的半径$AB=AD+BD=x+2x=3x\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式$S=\dfrac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），将$S=300π$，$n=120$，$R=3x$代入公式得：
$\dfrac{120· π· (3x)^2}{360}=300π$
化简得：$3πx^2=300π$
两边同时除以$π$，得$3x^2=300$，即$x^2=100$。
由于线段长度为正数，因此$x=10$，则$BD=2x=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
20
【知识点】
扇形面积计算；方程法解几何题；线段和差关系
【点评】
本题将扇形面积公式与线段数量关系结合，考查了方程思想在几何计算中的应用，解题的关键是准确用未知数表示出扇形的半径，属于基础类几何计算题。
【难度系数】
0.7
3.如图,已知射线OC,作∠AOB,使它的平分线为射线OC。(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并标出所作的角)
答案
解：
以点O为顶点，在射线OC的两侧分别作射线OA、OB，使∠AOC=∠BOC，所得的∠AOB即为所求，保留尺规作图的圆弧痕迹，标注点A、B与∠AOB即可。
（注：作图时保证OA、OB分居OC两侧，OC将∠AOB分为两个相等的角，符合角平分线的定义要求。）
以点O为顶点，在射线OC的两侧分别作射线OA、OB，使∠AOC=∠BOC，所得的∠AOB即为所求，保留尺规作图的圆弧痕迹，标注点A、B与∠AOB即可。
（注：作图时保证OA、OB分居OC两侧，OC将∠AOB分为两个相等的角，符合角平分线的定义要求。）
解析
【分析】
解题时首先结合角平分线的定义思考：若射线OC是∠AOB的平分线，则OC需在∠AOB内部，且将∠AOB分成两个大小相等的角，即∠AOC=∠BOC，同时OA、OB分别位于OC的两侧。因此我们只需要利用尺规作一个角等于已知角的方法，在OC两侧分别作以O为顶点、OC为公共边的两个等角，即可得到符合要求的∠AOB。
【解析】
我们依据角平分线的定义作图：
1. 以点O为圆心，任意长度为半径画弧，交射线OC于一点；
2. 利用尺规作等角的方法，在OC的一侧作∠AOC，再以相同的方法在OC的另一侧作∠BOC=∠AOC，得到射线OA、OB；
3. 保留所有作图的圆弧痕迹，标注点A、B和∠AOB即可，此时OC就是∠AOB的平分线。
【答案】
以点O为顶点，在射线OC的两侧分别作射线OA、OB，使∠AOC=∠BOC，所得的∠AOB即为所求，保留尺规作图的圆弧痕迹，标注点A、B与∠AOB即可。
（注：作图时保证OA、OB分居OC两侧，OC将∠AOB分为两个相等的角，符合角平分线的定义要求。）
【知识点】
角平分线的定义，尺规作等角
【点评】
本题是基础的尺规作图题，考查对角平分线定义的理解和基本作图方法的运用能力，解题核心是抓住角平分线分角为两个相等角的特征，作图时要注意保留作图痕迹，按要求标注对应的点和角。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合角平分线的定义思考：若射线OC是∠AOB的平分线，则OC需在∠AOB内部，且将∠AOB分成两个大小相等的角，即∠AOC=∠BOC，同时OA、OB分别位于OC的两侧。因此我们只需要利用尺规作一个角等于已知角的方法，在OC两侧分别作以O为顶点、OC为公共边的两个等角，即可得到符合要求的∠AOB。
【解析】
我们依据角平分线的定义作图：
1. 以点O为圆心，任意长度为半径画弧，交射线OC于一点；
2. 利用尺规作等角的方法，在OC的一侧作∠AOC，再以相同的方法在OC的另一侧作∠BOC=∠AOC，得到射线OA、OB；
3. 保留所有作图的圆弧痕迹，标注点A、B和∠AOB即可，此时OC就是∠AOB的平分线。
【答案】
以点O为顶点，在射线OC的两侧分别作射线OA、OB，使∠AOC=∠BOC，所得的∠AOB即为所求，保留尺规作图的圆弧痕迹，标注点A、B与∠AOB即可。
（注：作图时保证OA、OB分居OC两侧，OC将∠AOB分为两个相等的角，符合角平分线的定义要求。）
【知识点】
角平分线的定义，尺规作等角
【点评】
本题是基础的尺规作图题，考查对角平分线定义的理解和基本作图方法的运用能力，解题核心是抓住角平分线分角为两个相等角的特征，作图时要注意保留作图痕迹，按要求标注对应的点和角。
【难度系数】
0.8
4.如图,点C在线段AB上,M是AC的中点,AB=13,BC=9。
(1)求线段AM的长；
(2)在线段BC上取一点N,使得CN:NB=1:2,求线段MN的长。
(1)求线段AM的长；
(2)在线段BC上取一点N,使得CN:NB=1:2,求线段MN的长。
答案
解：
(1) 因为点C在线段AB上，
所以 $ AC = AB - BC = 13 - 9 = 4 $。
又因为M是AC的中点，
所以 $ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
(2) 因为点N在线段BC上，且 $ CN:NB = 1:2 $，
所以 $ CN = \frac{1}{1+2} × BC = \frac{1}{3} × 9 = 3 $。
因为M是AC的中点，
所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = 2 $，
因此 $ MN = MC + CN = 2 + 3 = 5 $。
答：(1) 线段AM的长为2；(2) 线段MN的长为5。
(1) 因为点C在线段AB上，
所以 $ AC = AB - BC = 13 - 9 = 4 $。
又因为M是AC的中点，
所以 $ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
(2) 因为点N在线段BC上，且 $ CN:NB = 1:2 $，
所以 $ CN = \frac{1}{1+2} × BC = \frac{1}{3} × 9 = 3 $。
因为M是AC的中点，
所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = 2 $，
因此 $ MN = MC + CN = 2 + 3 = 5 $。
答：(1) 线段AM的长为2；(2) 线段MN的长为5。
解析
【分析】
(1) 要求线段AM的长，已知M是AC的中点，因此需要先求出AC的长度。根据点C在线段AB上，AC的长度可通过AB与BC的差计算得出，再结合线段中点的性质，AM等于AC的一半，即可求出AM的长。
(2) 要求MN的长，观察图形可知MN由MC和CN两部分组成：MC与AM长度相等，通过第一问的结论可直接得到MC的长度；接下来求CN的长度，已知CN:NB=1:2，说明CN占BC总长度的$\frac{1}{3}$，结合BC的长度即可算出CN的长，最后将MC和CN相加就能得到MN的长度。
【解析】
(1) 因为点C在线段AB上，
所以 $ AC = AB - BC = 13 - 9 = 4 $，
又因为M是AC的中点，
所以 $ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
(2) 因为点N在线段BC上，且 $ CN:NB = 1:2 $，
所以 $ CN = \frac{1}{1+2} × BC = \frac{1}{3} × 9 = 3 $，
因为M是AC的中点，
所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = 2 $，
因此 $ MN = MC + CN = 2 + 3 = 5 $。
【答案】
(1) 线段AM的长为2；(2) 线段MN的长为5
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，按比例求线段长度
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题关键是结合图形理清各线段之间的位置和数量关系，熟练运用线段中点的性质和比例分配的方法求解对应线段长度即可。
【难度系数】
0.8
(1) 要求线段AM的长，已知M是AC的中点，因此需要先求出AC的长度。根据点C在线段AB上，AC的长度可通过AB与BC的差计算得出，再结合线段中点的性质，AM等于AC的一半，即可求出AM的长。
(2) 要求MN的长，观察图形可知MN由MC和CN两部分组成：MC与AM长度相等，通过第一问的结论可直接得到MC的长度；接下来求CN的长度，已知CN:NB=1:2，说明CN占BC总长度的$\frac{1}{3}$，结合BC的长度即可算出CN的长，最后将MC和CN相加就能得到MN的长度。
【解析】
(1) 因为点C在线段AB上，
所以 $ AC = AB - BC = 13 - 9 = 4 $，
又因为M是AC的中点，
所以 $ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
(2) 因为点N在线段BC上，且 $ CN:NB = 1:2 $，
所以 $ CN = \frac{1}{1+2} × BC = \frac{1}{3} × 9 = 3 $，
因为M是AC的中点，
所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = 2 $，
因此 $ MN = MC + CN = 2 + 3 = 5 $。
【答案】
(1) 线段AM的长为2；(2) 线段MN的长为5
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，按比例求线段长度
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题关键是结合图形理清各线段之间的位置和数量关系，熟练运用线段中点的性质和比例分配的方法求解对应线段长度即可。
【难度系数】
0.8
5. 提升题＞如图，$∠ AOB$是直角，$∠ AOC$是锐角，$ON$是$∠ AOC$的平分线，$OM$是$∠ BOC$的平分线，求$∠ MON$的大小。
答案
解：
∵ ON是∠AOC的平分线，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ OM是∠BOC的平分线，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠BOC。
又∵ ∠AOB是直角，
∴ ∠AOB = 90°，且∠BOC = ∠AOB + ∠AOC。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠AOC
= $\frac{1}{2}$(∠BOC - ∠AOC)
= $\frac{1}{2}$∠AOB
= $\frac{1}{2}$×90°
= 45°
答：∠MON的大小为45°。
∵ ON是∠AOC的平分线，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ OM是∠BOC的平分线，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠BOC。
又∵ ∠AOB是直角，
∴ ∠AOB = 90°，且∠BOC = ∠AOB + ∠AOC。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠AOC
= $\frac{1}{2}$(∠BOC - ∠AOC)
= $\frac{1}{2}$∠AOB
= $\frac{1}{2}$×90°
= 45°
答：∠MON的大小为45°。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到有两个角平分线，根据角平分线的定义能得到两组半角相等的关系；再观察图形，所求的∠MON可以拆分为∠MOC减去∠NOC，将两个半角的表达式代入后整理，就能发现∠MON和已知的直角∠AOB存在关联，最后结合∠AOB=90°即可求出结果，解题时不需要单独计算∠AOC的度数，用整体代换的思路更简便。
【解析】
∵ ON是∠AOC的平分线，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ OM是∠BOC的平分线，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠BOC。
又
∵ ∠AOB是直角，
∴ ∠AOB = 90°，且∠BOC = ∠AOB + ∠AOC。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠AOC
= $\frac{1}{2}$(∠BOC - ∠AOC)
= $\frac{1}{2}$∠AOB
= $\frac{1}{2}$×90°
= 45°
【答案】
45°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题重点考查角度关系的分析能力，解题核心是将所求角转化为两个带角平分线的角的差，利用整体代换的思想消去未知角，无需计算单个未知角的度数就能得出结果，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先看到有两个角平分线，根据角平分线的定义能得到两组半角相等的关系；再观察图形，所求的∠MON可以拆分为∠MOC减去∠NOC，将两个半角的表达式代入后整理，就能发现∠MON和已知的直角∠AOB存在关联，最后结合∠AOB=90°即可求出结果，解题时不需要单独计算∠AOC的度数，用整体代换的思路更简便。
【解析】
∵ ON是∠AOC的平分线，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ OM是∠BOC的平分线，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠BOC。
又
∵ ∠AOB是直角，
∴ ∠AOB = 90°，且∠BOC = ∠AOB + ∠AOC。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}$∠BOC - $\frac{1}{2}$∠AOC
= $\frac{1}{2}$(∠BOC - ∠AOC)
= $\frac{1}{2}$∠AOB
= $\frac{1}{2}$×90°
= 45°
【答案】
45°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题重点考查角度关系的分析能力，解题核心是将所求角转化为两个带角平分线的角的差，利用整体代换的思想消去未知角，无需计算单个未知角的度数就能得出结果，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
