1.下列说法正确的是()

A.画直线$AB=10\ \mathrm{cm}$
B.已知$A,B,C$三点，过这三点画一条直线
C.延长射线$OB$
D.取线段$AB$的中点$C$

D

【分析】
本题是直线、射线、线段相关的概念辨析题，解题时需逐个结合三类线的定义和性质判断选项对错：首先回忆直线向两端无限延伸、无长度；射线向一端无限延伸、无长度；线段有两个端点、长度有限的核心特征，再逐一匹配选项内容判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 直线向两端无限延伸，没有固定长度，无法度量，因此不能表述为“画直线$AB=10\ \mathrm{cm}$”，该选项错误；
B. 只有当A、B、C三点在同一条直线上时，才能过这三点画一条直线，若三点不共线则无法画出，该选项错误；
C. 射线$OB$是沿$OB$方向无限延伸的，本身已经无限长，只能反向延长射线$OB$，不能直接说延长射线$OB$，该选项错误；
D. 线段有两个端点，长度固定，因此可以取线段$AB$的中点$C$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
直线的性质；射线的性质；线段的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对直线、射线、线段三类基础几何图形特征的区分，掌握三类图形在延伸性、可度量性上的差异是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2.定义:若两个角的度数差的绝对值等于60°,则称这两个角互为“优角”,其中一个角是另一个角的“优角”。如∠α=100°,∠β=40°,|∠α−∠β|=60°,则∠α和∠β互为“优角”。如图,∠AOB=120°,射线OC平分∠AOB,∠EOF在∠AOB的内部。若∠EOF=60°,则图中互为“优角”的共有()


A.3对
B.7对
C.5对
D.9对

B

【分析】
解题首先要准确理解“优角”的定义：若两个角度数差的绝对值为60°，则互为优角。第一步先求出已知固定度数的角：由∠AOB=120°，OC平分∠AOB，可得∠AOC、∠BOC均为60°，再结合已知∠EOF=60°。接下来分两类有序列举互为优角的组合：第一类找和120°的∠AOB差为60°的角，第二类找满足大角比小角大60°的角组合，列举时注意不重复、不遗漏。
【解析】
1. 计算确定度数的角
∵OC平分∠AOB，∠AOB=120°
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，结合已知得$∠ EOF=60°$
2. 第一类：与$∠ AOB$（120°）互为优角的组合
$|120°-60°|=60°$，所有60°的角都和$∠ AOB$互为优角，共3对：
①$∠ AOB$与$∠ AOC$；②$∠ AOB$与$∠ BOC$；③$∠ AOB$与$∠ EOF$
3. 第二类：大角减小角等于60°的组合
①$∠ AOF=∠ AOE+∠ EOF=∠ AOE+60°$，$|∠ AOF-∠ AOE|=60°$，为1对；
②$∠ AOF=∠ AOC+∠ COF=60°+∠ COF$，$|∠ AOF-∠ COF|=60°$，为1对；
③$∠ BOE=∠ BOF+∠ EOF=∠ BOF+60°$，$|∠ BOE-∠ BOF|=60°$，为1对；
④$∠ BOE=∠ BOC+∠ COE=60°+∠ COE$，$|∠ BOE-∠ COE|=60°$，为1对；
第二类共4对。
4. 总对数：$3+4=7$对。
【答案】
B
【知识点】
新定义理解，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的运算规则，再结合角的和差关系有序枚举所有符合条件的组合，只要列举时做到不重不漏就能顺利求解。
【难度系数】
0.6

3.经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形经过这一顶点的对角线的条数是。

$\boldsymbol{8}$

【分析】
解决本题需要先掌握多边形的两个核心规律：① 过n边形的一个顶点画所有对角线，能把多边形分成(n-2)个三角形；② 过n边形一个顶点的对角线条数为(n-3)条。我们可以先根据分成的三角形个数求出多边形的边数，再代入规律计算对角线条数；也可以直接推导两者的关系：对角线条数=分成的三角形个数-1，直接求解更简便。
【解析】
方法1：先求多边形边数
设这个多边形为n边形，根据“过n边形一个顶点的对角线分多边形得到的三角形个数为n-2”，已知分成9个三角形，可得：
$n - 2 = 9$
解得$n = 11$，即该多边形为11边形。
再根据“过n边形一个顶点的对角线条数为$n-3$”，代入$n=11$得：
$11 - 3 = 8$（条）
方法2：直接推导关系
观察规律：过一个顶点引1条对角线，分成2个三角形；引2条对角线，分成3个三角形……引k条对角线，分成$(k+1)$个三角形。
已知分成9个三角形，因此：
$k + 1 = 9$
解得$k = 8$（条）
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
多边形的对角线；多边形对角线分三角形的规律
【点评】
本题是多边形对角线性质的基础应用，解题关键是熟记相关规律，也可以通过动手画图的方式验证规律，降低记忆难度。
【难度系数】
0.8

4.若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：1：2，则这三个扇形的圆心角的度数分别是。。

$90°,90°,180°$

【分析】
解题思路如下：首先要明确，将圆分割成几个扇形时，所有扇形的圆心角之和等于整个圆周的圆心角，也就是360°。本题已知三个扇形圆心角的度数比为1:1:2，因此可以用按比例分配的方法求解：先计算三个扇形占的总份数，再用总圆心角度数除以总份数，得到1份对应的圆心角度数，最后用每份的度数分别乘三个扇形对应的份数，就能得到每个扇形的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角度数为360°，分割得到的三个扇形的圆心角度数之和等于360°
已知三个扇形圆心角的度数比为1:1:2
第一步：计算总份数：$1+1+2=4$
第二步：计算1份对应的圆心角度数：$360°÷4=90°$
第三步：分别计算三个扇形的圆心角度数：
占1份的扇形圆心角：$90°×1=90°$
占1份的另一个扇形圆心角：$90°×1=90°$
占2份的扇形圆心角：$90°×2=180°$
【答案】
$90°,90°,180°$
【知识点】
1. 圆心角的性质
2. 按比例分配
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握“同圆中所有扇形圆心角之和为360°”的性质，结合按比例分配的计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9

三、解答题
5.先作图，再解答:在直线$ l $上顺次取A，B，C三点，使$ AB=2 \ \mathrm{cm} $，$ BC=3 \ \mathrm{cm} $，O是线段AC的中点。求线段OB的长。

解：
作图：在直线$l$上顺次截取点$A$、$B$、$C$，使$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，再作出线段$AC$的中点$O$。
由题意可知：
$AC = AB + BC = 2\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$，
∵ $O$是线段$AC$的中点，
∴ $AO = \frac{1}{2}AC = 2.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $OB = AO - AB = 2.5\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{cm}$。
答：线段$OB$的长为$0.5\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时首先根据“顺次取A，B，C三点”的要求确定三点的位置顺序为A、B、C依次排列，先画出对应线段图理清各线段的位置关系。第一步先计算线段AC的总长度，因三点顺次排列，AC的长度为AB与BC的长度之和；第二步根据线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，可求出AO的长度；最后结合线段的和差关系，用AO的长度减去AB的长度即可得到OB的长度。
【解析】
1. 作图：在直线$l$上顺次截取点$A$、$B$、$C$，使$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，再作出线段$AC$的中点$O$。
2. 计算：
由题意可知，三点顺次排列，因此$AC = AB + BC = 2\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$。
∵ $O$是线段$AC$的中点，
∴ $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 5\ \mathrm{cm} = 2.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $OB = AO - AB = 2.5\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$0.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，线段作图
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是先明确各点的排列顺序，避免因点的位置判断错误导致计算失误，再结合线段中点的性质与和差关系求解即可。
【难度系数】
0.8

6.有一副三角尺(含$45°$角与$30°$角的两个直角三角形)。
(1)如图①,将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起,使CD落在$∠ BCE$内部。若CD平分$∠ BCE$,则$∠ DCE=$,$∠ ACB=$。
(2)如图②,将一块三角尺的直角顶点与另一块三角尺$60°$角的顶点重合在一起,使CD落在$∠ BCE$内部,求$∠ ACB+∠ DCE$的度数。

(1) $\boldsymbol{45°}$，$\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{150°}$。

【分析】
(1) 首先明确三角尺的角度特征：两个三角尺的直角均为90°。已知CD平分90°的∠BCE，先根据角平分线定义算出∠DCE的度数；再通过角度和差关系，用∠ACD的度数加∠BCD的度数即可求出∠ACB的度数。
(2) 求∠ACB+∠DCE的度数时，先将∠ACB拆分为∠ACD与∠DCB的和，代入所求式子后整理可得∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCE，再代入已知的∠ACD=60°、∠BCE=90°即可算出结果。
【解析】
(1) 由三角尺的性质可得：$∠ BCE=90°$，$∠ ACD=90°$。
∵ CD平分$∠ BCE$，
∴ $∠ DCE=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BCE=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ $∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+45°=135°$。
(2) 由三角尺的性质可得：$∠ ACD=60°$，$∠ BCE=90°$。
∵ $∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB$，
∴ $∠ ACB+∠ DCE=∠ ACD+∠ DCB+∠ DCE$
$=∠ ACD+(∠ DCB+∠ DCE)$
$=∠ ACD+∠ BCE$
$=60°+90°=150°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$，$\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{150°}$
【知识点】
角平分线的定义，角度和差计算，三角尺角度特征
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是准确识别图形中角度的和差关系，结合三角尺的固定角度即可快速求解，拆分角度转化所求式子是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7