登录
1.下列说法正确的是()
A.画直线$AB=10\ \mathrm{cm}$
B.已知$A,B,C$三点，过这三点画一条直线
C.延长射线$OB$
D.取线段$AB$的中点$C$
A.画直线$AB=10\ \mathrm{cm}$
B.已知$A,B,C$三点，过这三点画一条直线
C.延长射线$OB$
D.取线段$AB$的中点$C$
答案
D
解析
逐一分析选项：
1. 选项A：直线向两端无限延伸，没有固定长度，不能度量，因此无法画出长度为10cm的直线，A错误。
2. 选项B：只有当A、B、C三点共线时才能过这三点画一条直线，若三点不共线，过这三点可以画出三条直线，B错误。
3. 选项C：射线本身向一端无限延伸，无需也不能延长射线OB，只能反向延长射线，C错误。
4. 选项D：线段有两个端点，是有限长度的，可以取到它的中点，D正确。
1. 选项A：直线向两端无限延伸，没有固定长度，不能度量，因此无法画出长度为10cm的直线，A错误。
2. 选项B：只有当A、B、C三点共线时才能过这三点画一条直线，若三点不共线，过这三点可以画出三条直线，B错误。
3. 选项C：射线本身向一端无限延伸，无需也不能延长射线OB，只能反向延长射线，C错误。
4. 选项D：线段有两个端点，是有限长度的，可以取到它的中点，D正确。
2.定义:若两个角的度数差的绝对值等于60°,则称这两个角互为“优角”,其中一个角是另一个角的“优角”。如∠α=100°,∠β=40°,|∠α−∠β|=60°,则∠α和∠β互为“优角”。如图,∠AOB=120°,射线OC平分∠AOB,∠EOF在∠AOB的内部。若∠EOF=60°,则图中互为“优角”的共有()
A.3对
B.7对
C.5对
D.9对
A.3对
B.7对
C.5对
D.9对
答案
B
解析
首先根据已知条件计算基础角度：
已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，因此∠AOC=∠COB=60°，又∠EOF=60°。
根据“优角”定义（两个角度数差的绝对值为60°），逐一列举符合条件的角对：
1. |∠AOB - ∠AOC|=|120°-60°|=60°，二者互为优角
2. |∠AOB - ∠COB|=|120°-60°|=60°，二者互为优角
3. |∠AOB - ∠EOF|=|120°-60°|=60°，二者互为优角
4. ∠AOF - ∠AOE = ∠EOF=60°，二者互为优角
5. ∠BOE - ∠BOF = ∠EOF=60°，二者互为优角
6. ∠AOF - ∠COF = ∠AOC=60°，二者互为优角
7. ∠BOE - ∠EOC = ∠COB=60°，二者互为优角
综上，互为“优角”的共有7对。
已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，因此∠AOC=∠COB=60°，又∠EOF=60°。
根据“优角”定义（两个角度数差的绝对值为60°），逐一列举符合条件的角对：
1. |∠AOB - ∠AOC|=|120°-60°|=60°，二者互为优角
2. |∠AOB - ∠COB|=|120°-60°|=60°，二者互为优角
3. |∠AOB - ∠EOF|=|120°-60°|=60°，二者互为优角
4. ∠AOF - ∠AOE = ∠EOF=60°，二者互为优角
5. ∠BOE - ∠BOF = ∠EOF=60°，二者互为优角
6. ∠AOF - ∠COF = ∠AOC=60°，二者互为优角
7. ∠BOE - ∠EOC = ∠COB=60°，二者互为优角
综上，互为“优角”的共有7对。
3.经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形经过这一顶点的对角线的条数是。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：设这个多边形的边数为n。
根据多边形的性质，经过n边形一个顶点的所有对角线将多边形分成$(n-2)$个三角形，
可得：$n-2=9$，
解得$n=11$。
又因为从n边形的一个顶点出发，可引出$(n-3)$条对角线，
所以这个多边形经过这一顶点的对角线条数为：$11-3=8$。
根据多边形的性质，经过n边形一个顶点的所有对角线将多边形分成$(n-2)$个三角形，
可得：$n-2=9$，
解得$n=11$。
又因为从n边形的一个顶点出发，可引出$(n-3)$条对角线，
所以这个多边形经过这一顶点的对角线条数为：$11-3=8$。
4.若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：1：2，则这三个扇形的圆心角的度数分别是。。
答案
$90°,90°,180°$
解析
解：
整个圆的圆心角为360°，三个扇形圆心角的度数比为1:1:2，
三个圆心角的总份数为 $1+1+2=4$，
第一个扇形的圆心角度数为：$360° × \frac{1}{4} = 90°$，
第二个扇形的圆心角度数为：$360° × \frac{1}{4} = 90°$，
第三个扇形的圆心角度数为：$360° × \frac{2}{4} = 180°$。
整个圆的圆心角为360°，三个扇形圆心角的度数比为1:1:2，
三个圆心角的总份数为 $1+1+2=4$，
第一个扇形的圆心角度数为：$360° × \frac{1}{4} = 90°$，
第二个扇形的圆心角度数为：$360° × \frac{1}{4} = 90°$，
第三个扇形的圆心角度数为：$360° × \frac{2}{4} = 180°$。
三、解答题
5.先作图，再解答:在直线$ l $上顺次取A，B，C三点，使$ AB=2 \ \mathrm{cm} $，$ BC=3 \ \mathrm{cm} $，O是线段AC的中点。求线段OB的长。
5.先作图，再解答:在直线$ l $上顺次取A，B，C三点，使$ AB=2 \ \mathrm{cm} $，$ BC=3 \ \mathrm{cm} $，O是线段AC的中点。求线段OB的长。
答案
解：
作图：在直线$l$上顺次截取点$A$、$B$、$C$，使$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，再作出线段$AC$的中点$O$。
由题意可知：
$AC = AB + BC = 2\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$，
∵ $O$是线段$AC$的中点，
∴ $AO = \frac{1}{2}AC = 2.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $OB = AO - AB = 2.5\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{cm}$。
答：线段$OB$的长为$0.5\ \mathrm{cm}$。
作图：在直线$l$上顺次截取点$A$、$B$、$C$，使$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，再作出线段$AC$的中点$O$。
由题意可知：
$AC = AB + BC = 2\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$，
∵ $O$是线段$AC$的中点，
∴ $AO = \frac{1}{2}AC = 2.5\ \mathrm{cm}$，
∴ $OB = AO - AB = 2.5\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{cm}$。
答：线段$OB$的长为$0.5\ \mathrm{cm}$。
6.有一副三角尺(含$45°$角与$30°$角的两个直角三角形)。
(1)如图①,将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起,使CD落在$∠ BCE$内部。若CD平分$∠ BCE$,则$∠ DCE=$,$∠ ACB=$。
(2)如图②,将一块三角尺的直角顶点与另一块三角尺$60°$角的顶点重合在一起,使CD落在$∠ BCE$内部,求$∠ ACB+∠ DCE$的度数。
(1)如图①,将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起,使CD落在$∠ BCE$内部。若CD平分$∠ BCE$,则$∠ DCE=$,$∠ ACB=$。
(2)如图②,将一块三角尺的直角顶点与另一块三角尺$60°$角的顶点重合在一起,使CD落在$∠ BCE$内部,求$∠ ACB+∠ DCE$的度数。
答案
(1) $\boldsymbol{45°}$，$\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{150°}$。
解析
解：
(1) 由题意得∠BCE=90°，∠ACD=90°，
因为CD平分∠BCE，
所以$∠ DCE=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BCE=45°$，
$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+45°=135°$。
(2) 由题意得$∠ ACD=90°$，$∠ BCE=60°$，
$\begin{aligned}∠ ACB+∠ DCE&=(∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD)+∠ DCE\\&=(∠ ACE+∠ DCE)+(∠ BCD+∠ DCE)\\&=∠ ACD+∠ BCE\\&=90°+60°\\&=150°\end{aligned}$
(1) 由题意得∠BCE=90°，∠ACD=90°，
因为CD平分∠BCE，
所以$∠ DCE=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BCE=45°$，
$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+45°=135°$。
(2) 由题意得$∠ ACD=90°$，$∠ BCE=60°$，
$\begin{aligned}∠ ACB+∠ DCE&=(∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD)+∠ DCE\\&=(∠ ACE+∠ DCE)+(∠ BCD+∠ DCE)\\&=∠ ACD+∠ BCE\\&=90°+60°\\&=150°\end{aligned}$
