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7. 提升题▶如图，线段$AB=15$，$BC=\frac{1}{2}AC$，$O$是线段$AB$的中点。
(1)求线段$OC$的长。
(2)若点$D$在线段$AB$所在的直线上，且$AD=\frac{1}{5}AB$，$E$为线段$BD$的中点，求线段$CE$的长。
(1)求线段$OC$的长。
(2)若点$D$在线段$AB$所在的直线上，且$AD=\frac{1}{5}AB$，$E$为线段$BD$的中点，求线段$CE$的长。
答案
解：
(1) 因为 $AC + BC = AB$，$BC=\frac{1}{2}AC$，
所以 $AC + \frac{1}{2}AC = 15$，即 $\frac{3}{2}AC=15$，
解得 $AC=10$。
因为 $O$ 是线段 $AB$ 的中点，$AB=15$，
所以 $AO=\frac{1}{2}AB=7.5$，
所以 $OC = AC - AO = 10 - 7.5 = 2.5$。
(2) 由 $AD=\frac{1}{5}AB$，$AB=15$，得 $AD=3$，分两种情况讨论：
① 当点 $D$ 在线段 $AB$ 上时：
$BD = AB - AD = 15 - 3 = 12$，
因为 $E$ 是线段 $BD$ 的中点，
所以 $BE=\frac{1}{2}BD=6$。
由(1)得 $BC = AB - AC = 15 - 10 = 5$，
所以 $CE = BE - BC = 6 - 5 = 1$。
② 当点 $D$ 在线段 $BA$ 的延长线上时：
$BD = AB + AD = 15 + 3 = 18$，
因为 $E$ 是线段 $BD$ 的中点，
所以 $BE=\frac{1}{2}BD=9$，
所以 $CE = BE - BC = 9 - 5 = 4$。
综上，线段 $OC$ 的长为 $2.5$，线段 $CE$ 的长为 $1$ 或 $4$。
(1) 因为 $AC + BC = AB$，$BC=\frac{1}{2}AC$，
所以 $AC + \frac{1}{2}AC = 15$，即 $\frac{3}{2}AC=15$，
解得 $AC=10$。
因为 $O$ 是线段 $AB$ 的中点，$AB=15$，
所以 $AO=\frac{1}{2}AB=7.5$，
所以 $OC = AC - AO = 10 - 7.5 = 2.5$。
(2) 由 $AD=\frac{1}{5}AB$，$AB=15$，得 $AD=3$，分两种情况讨论：
① 当点 $D$ 在线段 $AB$ 上时：
$BD = AB - AD = 15 - 3 = 12$，
因为 $E$ 是线段 $BD$ 的中点，
所以 $BE=\frac{1}{2}BD=6$。
由(1)得 $BC = AB - AC = 15 - 10 = 5$，
所以 $CE = BE - BC = 6 - 5 = 1$。
② 当点 $D$ 在线段 $BA$ 的延长线上时：
$BD = AB + AD = 15 + 3 = 18$，
因为 $E$ 是线段 $BD$ 的中点，
所以 $BE=\frac{1}{2}BD=9$，
所以 $CE = BE - BC = 9 - 5 = 4$。
综上，线段 $OC$ 的长为 $2.5$，线段 $CE$ 的长为 $1$ 或 $4$。
解析
【分析】
(1) 求OC的长时，先利用AC与BC的数量关系，结合AC+BC=AB先算出AC的长度；再根据O是AB中点求出AO的长度，最后通过线段差OC=AC-AO即可得到结果。
(2) 求CE的长时，注意D在直线AB上，需分两种情况讨论：①D在线段AB上，②D在线段BA的延长线上。先根据AD与AB的关系算出AD的长度，再分别计算两种情况下BD的长度，结合E是BD中点求出BE的长度，先由第一问结果算出BC的长度，最后通过线段差求出对应CE的长度即可。
【解析】
(1) 由线段和的关系可得$AC + BC = AB$，已知$BC=\frac{1}{2}AC$，$AB=15$，代入得：
$AC + \frac{1}{2}AC = 15$，即$\frac{3}{2}AC=15$，解得$AC=10$。
因为O是线段AB的中点，所以$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×15=7.5$，
因此$OC = AC - AO = 10 - 7.5 = 2.5$。
(2) 已知$AD=\frac{1}{5}AB$，$AB=15$，所以$AD=\frac{1}{5}×15=3$，分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
$BD = AB - AD = 15 - 3 = 12$，
因为E是线段BD的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6$，
由(1)可得$BC = AB - AC = 15 - 10 = 5$，
所以$CE = BE - BC = 6 - 5 = 1$。
② 当点D在线段BA的延长线上时：
$BD = AB + AD = 15 + 3 = 18$，
因为E是线段BD的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×18=9$，
所以$CE = BE - BC = 9 - 5 = 4$。
【答案】
(1) 线段OC的长为2.5；(2) 线段CE的长为1或4。
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，第一问考查线段和差与中点的基础应用，难度较低；第二问的易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，漏去D在BA延长线的情况，解题时要注意区分“直线”和“线段”的表述差异，养成分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
(1) 求OC的长时，先利用AC与BC的数量关系，结合AC+BC=AB先算出AC的长度；再根据O是AB中点求出AO的长度，最后通过线段差OC=AC-AO即可得到结果。
(2) 求CE的长时，注意D在直线AB上，需分两种情况讨论：①D在线段AB上，②D在线段BA的延长线上。先根据AD与AB的关系算出AD的长度，再分别计算两种情况下BD的长度，结合E是BD中点求出BE的长度，先由第一问结果算出BC的长度，最后通过线段差求出对应CE的长度即可。
【解析】
(1) 由线段和的关系可得$AC + BC = AB$，已知$BC=\frac{1}{2}AC$，$AB=15$，代入得：
$AC + \frac{1}{2}AC = 15$，即$\frac{3}{2}AC=15$，解得$AC=10$。
因为O是线段AB的中点，所以$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×15=7.5$，
因此$OC = AC - AO = 10 - 7.5 = 2.5$。
(2) 已知$AD=\frac{1}{5}AB$，$AB=15$，所以$AD=\frac{1}{5}×15=3$，分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
$BD = AB - AD = 15 - 3 = 12$，
因为E是线段BD的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6$，
由(1)可得$BC = AB - AC = 15 - 10 = 5$，
所以$CE = BE - BC = 6 - 5 = 1$。
② 当点D在线段BA的延长线上时：
$BD = AB + AD = 15 + 3 = 18$，
因为E是线段BD的中点，所以$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×18=9$，
所以$CE = BE - BC = 9 - 5 = 4$。
【答案】
(1) 线段OC的长为2.5；(2) 线段CE的长为1或4。
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，第一问考查线段和差与中点的基础应用，难度较低；第二问的易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，漏去D在BA延长线的情况，解题时要注意区分“直线”和“线段”的表述差异，养成分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
8. 提升题 回答下列问题。
(1) 如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有什么关系？
(2) 如图②，已知点O在五边形ABCDE的边AB上，连接OC，OD，OE可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有什么关系？
(3) 如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有什么关系？
(4) 若是任意一个$n(n≥4)$边形，上述三种情况分别可以将多边形分割成多少个三角形？
(1) 如图①，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有什么关系？
(2) 如图②，已知点O在五边形ABCDE的边AB上，连接OC，OD，OE可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有什么关系？
(3) 如图③，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有什么关系？
(4) 若是任意一个$n(n≥4)$边形，上述三种情况分别可以将多边形分割成多少个三角形？
答案
解：
(1) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于四边形的边数。
(2) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于五边形的边数减1。
(3) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于六边形的边数减2。
(4) 点在n边形内部的情况，可以分割成$n$个三角形；
点在n边形的一条边上的情况，可以分割成$(n-1)$个三角形；
过n边形的一个顶点作所有对角线的情况，可以分割成$(n-2)$个三角形。
(1) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于四边形的边数。
(2) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于五边形的边数减1。
(3) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于六边形的边数减2。
(4) 点在n边形内部的情况，可以分割成$n$个三角形；
点在n边形的一条边上的情况，可以分割成$(n-1)$个三角形；
过n边形的一个顶点作所有对角线的情况，可以分割成$(n-2)$个三角形。
解析
【分析】
解决本题需先按顺序计数不同场景下的三角形个数，再将个数与对应多边形的边数对比总结规律，最后从特殊的四边形、五边形、六边形推广到一般n边形的情况。计数时要按固定顺序数三角形，避免重复或遗漏，再分别对比三角形个数与边数的数量关系，最后延伸到n边形的三类分割情况即可。
【解析】
(1) 观察图①，连接OA、OB、OC、OD后得到的三角形为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OCD$、$△ ODA$，共4个，四边形边数为4，可得三角形个数等于四边形的边数。
(2) 观察图②，连接OC、OD、OE后得到的三角形为$△ OBC$、$△ OCD$、$△ ODE$、$△ OEA$，共4个，五边形边数为5，$4=5-1$，可得三角形个数等于五边形的边数减1。
(3) 观察图③，过点A作六边形的对角线AC、AD、AE，分割得到的三角形为$△ ABC$、$△ ACD$、$△ ADE$、$△ AEF$，共4个，六边形边数为6，$4=6-2$，可得三角形个数等于六边形的边数减2。
(4) 结合前三问的规律推广到$n(n≥4)$边形：
① 点在n边形内部时，连接该点与所有顶点，分割得到的三角形个数等于边数，为$n$个；
② 点在n边形的一条边上时，连接该点与其余不共线的顶点，分割得到的三角形个数为$n-1$个；
③ 过n边形的一个顶点作所有对角线，分割得到的三角形个数为$n-2$个。
【答案】
(1) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于四边形的边数；
(2) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于五边形的边数减1；
(3) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于六边形的边数减2；
(4) 点在n边形内部的情况，可以分割成$n$个三角形；点在n边形的一条边上的情况，可以分割成$(n-1)$个三角形；过n边形的一个顶点作所有对角线的情况，可以分割成$(n-2)$个三角形。
【知识点】
多边形的分割，三角形计数，多边形对角线
【点评】
本题通过探究不同分割方式下多边形被分成三角形的个数，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题时只要计数三角形做到不重不漏，准确找到三角形个数与多边形边数的对应规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决本题需先按顺序计数不同场景下的三角形个数，再将个数与对应多边形的边数对比总结规律，最后从特殊的四边形、五边形、六边形推广到一般n边形的情况。计数时要按固定顺序数三角形，避免重复或遗漏，再分别对比三角形个数与边数的数量关系，最后延伸到n边形的三类分割情况即可。
【解析】
(1) 观察图①，连接OA、OB、OC、OD后得到的三角形为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OCD$、$△ ODA$，共4个，四边形边数为4，可得三角形个数等于四边形的边数。
(2) 观察图②，连接OC、OD、OE后得到的三角形为$△ OBC$、$△ OCD$、$△ ODE$、$△ OEA$，共4个，五边形边数为5，$4=5-1$，可得三角形个数等于五边形的边数减1。
(3) 观察图③，过点A作六边形的对角线AC、AD、AE，分割得到的三角形为$△ ABC$、$△ ACD$、$△ ADE$、$△ AEF$，共4个，六边形边数为6，$4=6-2$，可得三角形个数等于六边形的边数减2。
(4) 结合前三问的规律推广到$n(n≥4)$边形：
① 点在n边形内部时，连接该点与所有顶点，分割得到的三角形个数等于边数，为$n$个；
② 点在n边形的一条边上时，连接该点与其余不共线的顶点，分割得到的三角形个数为$n-1$个；
③ 过n边形的一个顶点作所有对角线，分割得到的三角形个数为$n-2$个。
【答案】
(1) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于四边形的边数；
(2) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于五边形的边数减1；
(3) 可以得到4个三角形，三角形的个数等于六边形的边数减2；
(4) 点在n边形内部的情况，可以分割成$n$个三角形；点在n边形的一条边上的情况，可以分割成$(n-1)$个三角形；过n边形的一个顶点作所有对角线的情况，可以分割成$(n-2)$个三角形。
【知识点】
多边形的分割，三角形计数，多边形对角线
【点评】
本题通过探究不同分割方式下多边形被分成三角形的个数，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题时只要计数三角形做到不重不漏，准确找到三角形个数与多边形边数的对应规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
