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8. 如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A，C重合），DE与AB相交于点F，则图中有(
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)对相似三角形。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到所有内角均为60°，再结合相似三角形的AA判定定理，依次寻找角相等的三角形组合，注意不要遗漏由相似传递性得到的相似三角形对。首先先确定两个等边三角形本身相似，再逐步推导由公共角、对顶角、等角减公共角得到的相等角，进而判定其他相似三角形。
【解析】
解：已知△ABC和△BDE都是等边三角形，因此有：
$∠ A=∠ C=∠ ABC=∠ E=∠ BDE=∠ EBD=60°$
1. 所有等边三角形相似，可得$\boldsymbol{△ ABC∽△ EBD}$，为第1对；
2. $\because ∠ ABC=∠ EBD=60°$，$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ EBD-∠ ABD$，即$∠ CBD=∠ EBF$，又$∠ C=∠ E=60°$，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ CBD∽△ EBF}$，为第2对；
3. $\because ∠ E=∠ A=60°$，$∠ EFB=∠ AFD$（对顶角相等），根据AA判定，得$\boldsymbol{△ EBF∽△ ADF}$，为第3对；
4. 由$△ CBD∽△ EBF$、$△ EBF∽△ ADF$，根据相似的传递性，得$\boldsymbol{△ CBD∽△ ADF}$，为第4对；
5. $\because ∠ A=∠ BDF=60°$，$∠ ABD=∠ DBF$（公共角），根据AA判定，得$\boldsymbol{△ ABD∽△ DBF}$，为第5对。
综上共有5对相似三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，找全图中相等的角，注意不要漏掉相似三角形传递得到的相似对。
【难度系数】
0.6
解题时先利用等边三角形的性质得到所有内角均为60°，再结合相似三角形的AA判定定理，依次寻找角相等的三角形组合，注意不要遗漏由相似传递性得到的相似三角形对。首先先确定两个等边三角形本身相似，再逐步推导由公共角、对顶角、等角减公共角得到的相等角，进而判定其他相似三角形。
【解析】
解：已知△ABC和△BDE都是等边三角形，因此有：
$∠ A=∠ C=∠ ABC=∠ E=∠ BDE=∠ EBD=60°$
1. 所有等边三角形相似，可得$\boldsymbol{△ ABC∽△ EBD}$，为第1对；
2. $\because ∠ ABC=∠ EBD=60°$，$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ EBD-∠ ABD$，即$∠ CBD=∠ EBF$，又$∠ C=∠ E=60°$，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ CBD∽△ EBF}$，为第2对；
3. $\because ∠ E=∠ A=60°$，$∠ EFB=∠ AFD$（对顶角相等），根据AA判定，得$\boldsymbol{△ EBF∽△ ADF}$，为第3对；
4. 由$△ CBD∽△ EBF$、$△ EBF∽△ ADF$，根据相似的传递性，得$\boldsymbol{△ CBD∽△ ADF}$，为第4对；
5. $\because ∠ A=∠ BDF=60°$，$∠ ABD=∠ DBF$（公共角），根据AA判定，得$\boldsymbol{△ ABD∽△ DBF}$，为第5对。
综上共有5对相似三角形。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，找全图中相等的角，注意不要漏掉相似三角形传递得到的相似对。
【难度系数】
0.6
9.(1)如图①,在四边形ABCD中,P为AB边上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:△ADP∽△BPC；
(2)如图②,在四边形ABCD中,P为AB边上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立？说明理由。
(2)如图②,在四边形ABCD中,P为AB边上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立？说明理由。
答案
(1)证明:因为∠DPC=∠A=∠B=90°，
所以∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°，
所以∠ADP=∠BPC，
所以△ADP∽△BPC。
(2)结论△ADP∽△BPC仍然成立。
理由：
因为∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP，
所以∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP。
因为∠DPC=∠A=∠B=θ，
所以∠BPC=∠ADP。
所以△ADP∽△BPC。
所以∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°，
所以∠ADP=∠BPC，
所以△ADP∽△BPC。
(2)结论△ADP∽△BPC仍然成立。
理由：
因为∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP，
所以∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP。
因为∠DPC=∠A=∠B=θ，
所以∠BPC=∠ADP。
所以△ADP∽△BPC。
解析
【分析】
(1)要证明△ADP∽△BPC，已知∠A=∠B=90°，已经满足一组对应角相等，只需再推导另一组对应角相等即可。结合∠DPC=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠ADP和∠BPC都是∠APD的余角，根据同角的余角相等即可得到第二组等角，最终用两角对应相等的判定定理证明相似。
(2)当角为任意角θ时，无法再用余角性质推导等角，此时利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得到∠BPD的两种表达式，结合已知∠DPC=∠A=θ，等量代换后仍可推出∠ADP=∠BPC，搭配∠A=∠B=θ，即可证明相似结论仍然成立。
【解析】
(1)证明：
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=180°-∠DPC=90°，
∴∠ADP=∠BPC（同角的余角相等），
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC。
(2)△ADP∽△BPC仍然成立，理由如下：
∵∠BPD是△ADP的外角，
∴∠BPD=∠A+∠ADP，
又
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴代入化简得∠BPC=∠ADP，
又
∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC。
【答案】
(1)△ADP∽△BPC，证明成立；
(2)上述结论依然成立，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、余角的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心是通过角的等量代换找到两组对应相等的角，从特殊直角到一般角的设问形式，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握两角对应相等两三角形相似的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ADP∽△BPC，已知∠A=∠B=90°，已经满足一组对应角相等，只需再推导另一组对应角相等即可。结合∠DPC=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质，可得∠ADP和∠BPC都是∠APD的余角，根据同角的余角相等即可得到第二组等角，最终用两角对应相等的判定定理证明相似。
(2)当角为任意角θ时，无法再用余角性质推导等角，此时利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得到∠BPD的两种表达式，结合已知∠DPC=∠A=θ，等量代换后仍可推出∠ADP=∠BPC，搭配∠A=∠B=θ，即可证明相似结论仍然成立。
【解析】
(1)证明：
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=180°-∠DPC=90°，
∴∠ADP=∠BPC（同角的余角相等），
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC。
(2)△ADP∽△BPC仍然成立，理由如下：
∵∠BPD是△ADP的外角，
∴∠BPD=∠A+∠ADP，
又
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴代入化简得∠BPC=∠ADP，
又
∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC。
【答案】
(1)△ADP∽△BPC，证明成立；
(2)上述结论依然成立，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、余角的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心是通过角的等量代换找到两组对应相等的角，从特殊直角到一般角的设问形式，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握两角对应相等两三角形相似的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
10.综合与实践
为了加强视力保护意识，小亮想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但
两面墙的距离只有3 m。在一次综合实践课上，小亮向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学的方案设计新颖，构思巧妙。
甲
图例
0.035 m
方案
视力表①是测试距离为AB＝5 m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为AD＝3 m的小视力表②。通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长)。
乙
图例
方案
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距3 m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN(光路图作法:作$CD ⊥ MN$于点D，延长线交$A'B'$于点E，使得线段AB和$A'B'$关于MN对称)。
(1)甲同学的方案中，如果大视力表中“E”的高是0.035 m，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙同学的方案中，当视力表的全长(AB)为1.6 m时，求平面镜MN的长。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
为了加强视力保护意识，小亮想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但
两面墙的距离只有3 m。在一次综合实践课上，小亮向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学的方案设计新颖，构思巧妙。
甲
图例
0.035 m
方案
视力表①是测试距离为AB＝5 m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为AD＝3 m的小视力表②。通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长)。
乙
图例
方案
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距3 m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN(光路图作法:作$CD ⊥ MN$于点D，延长线交$A'B'$于点E，使得线段AB和$A'B'$关于MN对称)。
(1)甲同学的方案中，如果大视力表中“E”的高是0.035 m，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙同学的方案中，当视力表的全长(AB)为1.6 m时，求平面镜MN的长。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
解:(1)由题意知 DF⊥AD,BC⊥AB，
所以∠FDA=∠CBA=90°。
又因为∠FAD=∠CAB，
所以△FAD∽△CAB，
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$。
由题意知 AD=3 m,AB=5 m,BC=0.035 m，
所以$\frac{3}{5}=\frac{DF}{0.035}$。
解得 DF=0.021 m，
即小视力表中相应“E”的高是 0.021 m。
(2)由题意知,AB//MN//A'B'，
因为 MN//A'B',CD⊥MN，
所以 CE⊥A'B'。
因为 MN//A'B'，
所以∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C。
所以△MNC∽△A'B'C。
所以$\frac{MN}{A'B'}=\frac{CD}{CE}$，
由题意知,CE=5 m,DE=3 m,A'B'=AB=1.6 m,所以 CD=CE-DE=2(m)。
所以$\frac{MN}{1.6}=\frac{2}{5}$,解得 MN=0.64 m。
所以∠FDA=∠CBA=90°。
又因为∠FAD=∠CAB，
所以△FAD∽△CAB，
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$。
由题意知 AD=3 m,AB=5 m,BC=0.035 m，
所以$\frac{3}{5}=\frac{DF}{0.035}$。
解得 DF=0.021 m，
即小视力表中相应“E”的高是 0.021 m。
(2)由题意知,AB//MN//A'B'，
因为 MN//A'B',CD⊥MN，
所以 CE⊥A'B'。
因为 MN//A'B'，
所以∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C。
所以△MNC∽△A'B'C。
所以$\frac{MN}{A'B'}=\frac{CD}{CE}$，
由题意知,CE=5 m,DE=3 m,A'B'=AB=1.6 m,所以 CD=CE-DE=2(m)。
所以$\frac{MN}{1.6}=\frac{2}{5}$,解得 MN=0.64 m。
解析
【分析】
本题考查相似三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 甲同学的方案中，首先观察到DF、BC分别垂直于AD、AB，可得两个直角，再加上两个三角形有公共角∠FAD=∠CAB，可判定△FAD∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AD、AB、BC的长度，即可求出DF的长。
(2) 乙同学的方案中，首先根据平面镜成像的轴对称性质，可得AB=A'B'，且AB、MN、A'B'互相平行，由此可判定△CMN∽△CA'B'；再结合题意，测试距离为5m即CE=5m，两面墙间距3m即DE=3m，可算出CD=CE-DE=2m，最后利用相似三角形对应边成比例代入数值，即可求出MN的长度。
【解析】
(1) 由题意得 $DF⊥ AD$，$BC⊥ AB$，
$\therefore∠ FDA=∠ CBA=90°$，
又$\because∠ FAD=∠ CAB$（公共角），
$\therefore△ FAD∽△ CAB$，
$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$。
已知$AD=3\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=0.035\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{DF}{0.035}$，
解得 $DF=0.021\ \mathrm{m}$。
(2) 由平面镜成像的轴对称性质可知，$AB$和$A'B'$关于$MN$对称，
$\therefore AB=A'B'$，且$AB// MN// A'B'$，
$\because CD⊥ MN$，$MN// A'B'$，
$\therefore CE⊥ A'B'$，
$\because MN// A'B'$，
$\therefore∠ MNC=∠ A'B'C$，$∠ NMC=∠ B'A'C$，
$\therefore△ MNC∽△ A'B'C$，
$\therefore\frac{MN}{A'B'}=\frac{CD}{CE}$。
由题意得，测试距离为$5\ \mathrm{m}$即$CE=5\ \mathrm{m}$，两面墙间距$DE=3\ \mathrm{m}$，$A'B'=AB=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=CE-DE=5-3=2(\mathrm{m})$，
代入比例式得：$\frac{MN}{1.6}=\frac{2}{5}$，
解得 $MN=0.64\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小视力表中相应“E”的高是$\boldsymbol{0.021\ \mathrm{m}}$；
(2) 平面镜$MN$的长是$\boldsymbol{0.64\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、轴对称的性质
【点评】
本题结合视力检测、平面镜成像的生活实际场景，考查相似三角形的实际应用，需要学生从实际问题中抽象出几何相似模型，找准对应边的数量关系，既能巩固相似三角形的相关知识，又能锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 甲同学的方案中，首先观察到DF、BC分别垂直于AD、AB，可得两个直角，再加上两个三角形有公共角∠FAD=∠CAB，可判定△FAD∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AD、AB、BC的长度，即可求出DF的长。
(2) 乙同学的方案中，首先根据平面镜成像的轴对称性质，可得AB=A'B'，且AB、MN、A'B'互相平行，由此可判定△CMN∽△CA'B'；再结合题意，测试距离为5m即CE=5m，两面墙间距3m即DE=3m，可算出CD=CE-DE=2m，最后利用相似三角形对应边成比例代入数值，即可求出MN的长度。
【解析】
(1) 由题意得 $DF⊥ AD$，$BC⊥ AB$，
$\therefore∠ FDA=∠ CBA=90°$，
又$\because∠ FAD=∠ CAB$（公共角），
$\therefore△ FAD∽△ CAB$，
$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$。
已知$AD=3\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=0.035\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{DF}{0.035}$，
解得 $DF=0.021\ \mathrm{m}$。
(2) 由平面镜成像的轴对称性质可知，$AB$和$A'B'$关于$MN$对称，
$\therefore AB=A'B'$，且$AB// MN// A'B'$，
$\because CD⊥ MN$，$MN// A'B'$，
$\therefore CE⊥ A'B'$，
$\because MN// A'B'$，
$\therefore∠ MNC=∠ A'B'C$，$∠ NMC=∠ B'A'C$，
$\therefore△ MNC∽△ A'B'C$，
$\therefore\frac{MN}{A'B'}=\frac{CD}{CE}$。
由题意得，测试距离为$5\ \mathrm{m}$即$CE=5\ \mathrm{m}$，两面墙间距$DE=3\ \mathrm{m}$，$A'B'=AB=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=CE-DE=5-3=2(\mathrm{m})$，
代入比例式得：$\frac{MN}{1.6}=\frac{2}{5}$，
解得 $MN=0.64\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小视力表中相应“E”的高是$\boldsymbol{0.021\ \mathrm{m}}$；
(2) 平面镜$MN$的长是$\boldsymbol{0.64\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、轴对称的性质
【点评】
本题结合视力检测、平面镜成像的生活实际场景，考查相似三角形的实际应用，需要学生从实际问题中抽象出几何相似模型，找准对应边的数量关系，既能巩固相似三角形的相关知识，又能锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
