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1.如图，有一个亭子，若它的地基是周长为24 m的正六边形，则地基的面积为（）
A.$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
B.$12\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$24\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
A.$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
B.$12\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$24\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
答案
D
解析
【分析】
要计算正六边形地基的面积，首先回忆正六边形的性质：正六边形可以被其半径分割为6个全等的等边三角形，因此只需先求出正六边形的边长，再计算单个等边三角形的面积，最后乘6即可得到正六边形的总面积。第一步先根据周长算出边长，第二步利用正六边形中心角的特点判断分割出的三角形是等边三角形，第三步计算面积。
【解析】
解：
∵正六边形的周长为24 m，
∴正六边形的边长为 $24÷ 6=4\ \mathrm{m}$。
连接正六边形的中心O与各个顶点，可将正六边形分成6个全等的三角形，
每个三角形的中心角为 $360°÷ 6=60°$，且三角形的两条边都是正六边形的外接圆半径，长度相等，
∴每个三角形都是边长为4 m的等边三角形。
单个等边三角形的面积为：$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}× 4^2=4\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$，
∴正六边形的面积为：$S=6× 4\sqrt{3}=24\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质；等边三角形面积计算；正多边形与圆
【点评】
本题解题的核心是掌握正六边形可分割为6个全等等边三角形的特征，将正多边形面积问题转化为熟悉的等边三角形面积问题求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要计算正六边形地基的面积，首先回忆正六边形的性质：正六边形可以被其半径分割为6个全等的等边三角形，因此只需先求出正六边形的边长，再计算单个等边三角形的面积，最后乘6即可得到正六边形的总面积。第一步先根据周长算出边长，第二步利用正六边形中心角的特点判断分割出的三角形是等边三角形，第三步计算面积。
【解析】
解：
∵正六边形的周长为24 m，
∴正六边形的边长为 $24÷ 6=4\ \mathrm{m}$。
连接正六边形的中心O与各个顶点，可将正六边形分成6个全等的三角形，
每个三角形的中心角为 $360°÷ 6=60°$，且三角形的两条边都是正六边形的外接圆半径，长度相等，
∴每个三角形都是边长为4 m的等边三角形。
单个等边三角形的面积为：$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}× 4^2=4\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$，
∴正六边形的面积为：$S=6× 4\sqrt{3}=24\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质；等边三角形面积计算；正多边形与圆
【点评】
本题解题的核心是掌握正六边形可分割为6个全等等边三角形的特征，将正多边形面积问题转化为熟悉的等边三角形面积问题求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
2.如图，$\odot O$为正五边形的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点F，则$∠ F$的度数为（）
A.$60°$
B.$54°$
C.$66°$
D.$72°$
A.$60°$
B.$54°$
C.$66°$
D.$72°$
答案
D
解析
【分析】
要计算∠F的度数，可按以下思路推导：首先利用正多边形内角公式求出正五边形的内角度数，得到△FBC中∠FBC的度数；再结合正五边形外接圆的弧的特征，利用弦切角定理求出∠FCB的度数；最后在△FBC中利用三角形内角和定理即可算出∠F的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：正n边形内角计算公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入n=5得正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，因此$∠ ABC=108°$，其邻补角$∠ FBC=180°-108°=72°$。
2. 正五边形各边所对的外接圆弧度数相等，弧BC的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
3. 因为FC是$\odot O$的切线，根据弦切角定理，弦切角的度数等于其所夹弧度数的一半，因此$∠ FCB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
4. 在$△ FBC$中，三角形内角和为$180°$，因此$∠ F=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-72°-36°=72°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角计算，弦切角定理，三角形内角和
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，核心是将所求角放到三角形中，通过正多边形性质、切线相关定理推导三角形内角，再结合内角和求解，掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算∠F的度数，可按以下思路推导：首先利用正多边形内角公式求出正五边形的内角度数，得到△FBC中∠FBC的度数；再结合正五边形外接圆的弧的特征，利用弦切角定理求出∠FCB的度数；最后在△FBC中利用三角形内角和定理即可算出∠F的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：正n边形内角计算公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入n=5得正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，因此$∠ ABC=108°$，其邻补角$∠ FBC=180°-108°=72°$。
2. 正五边形各边所对的外接圆弧度数相等，弧BC的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
3. 因为FC是$\odot O$的切线，根据弦切角定理，弦切角的度数等于其所夹弧度数的一半，因此$∠ FCB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
4. 在$△ FBC$中，三角形内角和为$180°$，因此$∠ F=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-72°-36°=72°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角计算，弦切角定理，三角形内角和
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，核心是将所求角放到三角形中，通过正多边形性质、切线相关定理推导三角形内角，再结合内角和求解，掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 如图，若$\odot O$的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为()
A.3
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
A.3
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“割圆术”的思路：用圆内接正多边形的面积近似代替圆的面积。已知⊙O半径为1，圆面积为$πr^2=π$，因此只需要算出圆内接正十二边形的面积，就能得到π的估计值。正十二边形可以分割为12个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆半径1，顶角为正十二边形的中心角，算出单个三角形面积后乘以12即可得到正十二边形的总面积。
【解析】
1. 计算正十二边形的中心角：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，当n=12时，中心角$α=\frac{360°}{12}=30°$。
2. 正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的两条腰均为⊙O的半径，长度为1，顶角为$30°$。
3. 计算单个等腰三角形的面积：过等腰三角形的一个底角顶点向对边（腰）作高，因为顶角为$30°$，直角三角形中$30°$角对的直角边是斜边的一半，所以高的长度为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，则单个三角形面积$S_△=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
4. 正十二边形的总面积为$S=12× S_△=12×\frac{1}{4}=3$。
5. 用正十二边形面积近似代替圆面积，半径为1的圆面积为$π×1^2=π$，因此π的估计值为3。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，近似估算
【点评】
本题结合传统“割圆术”的思想，将正多边形面积计算和圆的性质结合起来，解题的关键是掌握正多边形可拆分为多个全等等腰三角形的特点，结合特殊角的性质计算三角形面积即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“割圆术”的思路：用圆内接正多边形的面积近似代替圆的面积。已知⊙O半径为1，圆面积为$πr^2=π$，因此只需要算出圆内接正十二边形的面积，就能得到π的估计值。正十二边形可以分割为12个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆半径1，顶角为正十二边形的中心角，算出单个三角形面积后乘以12即可得到正十二边形的总面积。
【解析】
1. 计算正十二边形的中心角：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，当n=12时，中心角$α=\frac{360°}{12}=30°$。
2. 正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，每个三角形的两条腰均为⊙O的半径，长度为1，顶角为$30°$。
3. 计算单个等腰三角形的面积：过等腰三角形的一个底角顶点向对边（腰）作高，因为顶角为$30°$，直角三角形中$30°$角对的直角边是斜边的一半，所以高的长度为$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，则单个三角形面积$S_△=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
4. 正十二边形的总面积为$S=12× S_△=12×\frac{1}{4}=3$。
5. 用正十二边形面积近似代替圆面积，半径为1的圆面积为$π×1^2=π$，因此π的估计值为3。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，近似估算
【点评】
本题结合传统“割圆术”的思想，将正多边形面积计算和圆的性质结合起来，解题的关键是掌握正多边形可拆分为多个全等等腰三角形的特点，结合特殊角的性质计算三角形面积即可。
【难度系数】
0.7
4.如图,第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计,这个正九边形的中心角度数为。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题的关键是掌握正多边形中心角的计算规律：首先明确正n边形的所有中心角大小相等，且全部中心角的和为周角360°，因此单个中心角的度数等于360°除以正多边形的边数。本题求正九边形的中心角，代入边数9计算即可。
【解析】
正多边形的中心角是正多边形外接圆中每条边所对的圆心角，正n边形的n个中心角大小相等，所有中心角的和为周角360°。
已知该正多边形为正九边形，即边数n=9，因此它的中心角度数为：
$360° ÷ 9 = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题是基础类计算题，主要考查正多边形中心角的计算方法，牢记相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题的关键是掌握正多边形中心角的计算规律：首先明确正n边形的所有中心角大小相等，且全部中心角的和为周角360°，因此单个中心角的度数等于360°除以正多边形的边数。本题求正九边形的中心角，代入边数9计算即可。
【解析】
正多边形的中心角是正多边形外接圆中每条边所对的圆心角，正n边形的n个中心角大小相等，所有中心角的和为周角360°。
已知该正多边形为正九边形，即边数n=9，因此它的中心角度数为：
$360° ÷ 9 = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题是基础类计算题，主要考查正多边形中心角的计算方法，牢记相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.如图，已知等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于$\odot O$，则$AD:AB$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
解析
【分析】
要求同圆内接正方形的边长AD与内接等边三角形的边长AB的比值，可先设圆O的半径为r作为中间量：首先根据正n边形的中心角公式（中心角=360°÷n）分别求出AD、AB对应的圆心角，再利用垂径定理构造直角三角形，结合三角函数用r分别表示出AD和AB的长度，最后计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$：
1. 求$AD$的长度：正方形ADEF是$\odot O$的内接正四边形，边AD对应的圆心角$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$。
过O作$OG⊥ AD$于G，由垂径定理得$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，$AG=\frac{1}{2}AD$。
在$Rt△ AOG$中，$AG=r·\sin45°$，因此$AD=2AG=2r×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}r$。
2. 求$AB$的长度：等边$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，边AB对应的圆心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$。
过O作$OH⊥ AB$于H，由垂径定理得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，$AH=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=r·\sin60°$，因此$AB=2AH=2r×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r$。
3. 计算比值：$AD:AB=\sqrt{2}r:\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
【知识点】
正多边形和圆，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础计算题，解题关键是通过设圆半径为中间量，利用正多边形中心角、垂径定理将边长转化为含半径的表达式，消去公共量后即可得到比值。
【难度系数】
0.7
要求同圆内接正方形的边长AD与内接等边三角形的边长AB的比值，可先设圆O的半径为r作为中间量：首先根据正n边形的中心角公式（中心角=360°÷n）分别求出AD、AB对应的圆心角，再利用垂径定理构造直角三角形，结合三角函数用r分别表示出AD和AB的长度，最后计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$：
1. 求$AD$的长度：正方形ADEF是$\odot O$的内接正四边形，边AD对应的圆心角$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$。
过O作$OG⊥ AD$于G，由垂径定理得$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，$AG=\frac{1}{2}AD$。
在$Rt△ AOG$中，$AG=r·\sin45°$，因此$AD=2AG=2r×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}r$。
2. 求$AB$的长度：等边$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，边AB对应的圆心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$。
过O作$OH⊥ AB$于H，由垂径定理得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，$AH=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=r·\sin60°$，因此$AB=2AH=2r×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r$。
3. 计算比值：$AD:AB=\sqrt{2}r:\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
【知识点】
正多边形和圆，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础计算题，解题关键是通过设圆半径为中间量，利用正多边形中心角、垂径定理将边长转化为含半径的表达式，消去公共量后即可得到比值。
【难度系数】
0.7
6.如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图。（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图①中作一条与边AB平行的线段。
（2）在图②中作线段AP，使AP⊥CD。
（1）在图①中作一条与边AB平行的线段。
（2）在图②中作线段AP，使AP⊥CD。
答案
解：
（1）在图①中，连接点C、E，线段CE即为所求的与AB平行的线段，保留线段CE的作图痕迹即可（答案不唯一，符合平行要求即可）。
（2）在图②中，分别连接BD、CE，两条线段交于一点，过点A与该交点作直线交CD于点P，线段AP即为所求的满足$AP⊥ CD$的线段，保留连线BD、CE与线段AP的作图痕迹。
（1）在图①中，连接点C、E，线段CE即为所求的与AB平行的线段，保留线段CE的作图痕迹即可（答案不唯一，符合平行要求即可）。
（2）在图②中，分别连接BD、CE，两条线段交于一点，过点A与该交点作直线交CD于点P，线段AP即为所求的满足$AP⊥ CD$的线段，保留连线BD、CE与线段AP的作图痕迹。
解析
【分析】
解决本题首先要利用正五边形的基本性质：正五边形各边相等，各内角均为108°，且是轴对称图形，共有5条对称轴，每条对称轴过一个顶点和对边的中点。
（1）要作与AB平行的线段，可构造等腰梯形，利用等腰梯形上下底平行的性质：正五边形中AB和CE分别为等腰梯形ABCE的上下底，因此CE与AB平行，连接CE即可。
（2）要作AP⊥CD，本质是找到过点A且垂直于CD的直线，也就是正五边形过点A的对称轴；正五边形的对角线BD和CE的交点在该对称轴上，因此先作两条对角线得到交点，连接点A与交点，交CD于P，即可得到垂直于CD的AP。
【解析】
（1）正五边形ABCDE中，AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，因此四边形ABCE为等腰梯形，等腰梯形的两底AB与CE互相平行，因此连接C、E，线段CE即为所求与AB平行的线段，保留线段CE的作图痕迹即可（答案不唯一，符合平行要求即可）。
（2）正五边形是轴对称图形，过点A和CD中点的直线是它的一条对称轴，该直线垂直于CD。连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于一点，该点在过A的对称轴上，因此过点A和该交点作直线，与CD交于点P，此时AP在对称轴上，因此AP⊥CD，线段AP即为所求，保留连线BD、CE与线段AP的作图痕迹即可。
【答案】
（1）连接CE，线段CE即为所求（答案不唯一）；
（2）连接BD、CE交于一点，过点A与该交点作直线交CD于点P，线段AP即为所求。
【知识点】
正五边形的性质；平行线的判定；轴对称的性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，需要结合正五边形的边、角性质以及轴对称特征求解，能够有效考查对特殊多边形性质的灵活运用能力和几何作图实践能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要利用正五边形的基本性质：正五边形各边相等，各内角均为108°，且是轴对称图形，共有5条对称轴，每条对称轴过一个顶点和对边的中点。
（1）要作与AB平行的线段，可构造等腰梯形，利用等腰梯形上下底平行的性质：正五边形中AB和CE分别为等腰梯形ABCE的上下底，因此CE与AB平行，连接CE即可。
（2）要作AP⊥CD，本质是找到过点A且垂直于CD的直线，也就是正五边形过点A的对称轴；正五边形的对角线BD和CE的交点在该对称轴上，因此先作两条对角线得到交点，连接点A与交点，交CD于P，即可得到垂直于CD的AP。
【解析】
（1）正五边形ABCDE中，AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，因此四边形ABCE为等腰梯形，等腰梯形的两底AB与CE互相平行，因此连接C、E，线段CE即为所求与AB平行的线段，保留线段CE的作图痕迹即可（答案不唯一，符合平行要求即可）。
（2）正五边形是轴对称图形，过点A和CD中点的直线是它的一条对称轴，该直线垂直于CD。连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于一点，该点在过A的对称轴上，因此过点A和该交点作直线，与CD交于点P，此时AP在对称轴上，因此AP⊥CD，线段AP即为所求，保留连线BD、CE与线段AP的作图痕迹即可。
【答案】
（1）连接CE，线段CE即为所求（答案不唯一）；
（2）连接BD、CE交于一点，过点A与该交点作直线交CD于点P，线段AP即为所求。
【知识点】
正五边形的性质；平行线的判定；轴对称的性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，需要结合正五边形的边、角性质以及轴对称特征求解，能够有效考查对特殊多边形性质的灵活运用能力和几何作图实践能力。
【难度系数】
0.6
