1. 如图,装载车和收割机以2 m/s的速度同向做匀速直线运动,收割机每分钟将50 kg粮食装载到车上。装载车空载时质量为$5×10^3$ kg,车轮与地面总接触面积为0.5 $m^2$,车受到的阻力为车总重力的0.2倍。($g$取10 N/kg,收割开始时车为空载状态,设装载车始终在水平地面上,不计空气阻力)求:
(1)装载车1分钟内走过的路程;
(2)装载车空载时对地面的压强;
(3)装载车工作多长时间功率达到30 kW。

1. (1)120 m (2)$1×10^5\ \mathrm{Pa}$ (3)50 min
解析:(1)装载车1分钟内走过的路程 $s=vt=2\ \mathrm{m/s}×60\ \mathrm{s}=120\ \mathrm{m}$。
(2)装载车空载时对地面的压力
$F=G_{空}=mg=5×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=5×10^4\ \mathrm{N}$,
装载车空载时对地面的压强 $p=\frac{F}{S}=\frac{5×10^4\ \mathrm{N}}{0.5\ \mathrm{m^2}}=1×10^5\ \mathrm{Pa}$。
(3)装载车功率达到30 kW时,受到的牵引力为
$F=\frac{P}{v}=\frac{3×10^4\ \mathrm{W}}{2\ \mathrm{m/s}}=1.5×10^4\ \mathrm{N}$,
装载车匀速行驶,处于平衡状态,受到的阻力与牵引力相等,即$f=F=1.5×10^4\ \mathrm{N}$,因装载车受到的阻力为车总重力的0.2倍,故$f=0.2G_{总}=1.5×10^4\ \mathrm{N}$,
装载车和粮食的总重力为 $G_{总}=\frac{f}{0.2}=\frac{1.5×10^4\ \mathrm{N}}{0.2}=7.5×10^4\ \mathrm{N}$,
粮食的总重力
$G_{粮}=G_{总}-G_{空}=7.5×10^4\ \mathrm{N}-5×10^4\ \mathrm{N}=2.5×10^4\ \mathrm{N}$,
粮食的质量$m_{粮}=\frac{G_{粮}}{g}=\frac{2.5×10^4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2.5×10^3\ \mathrm{kg}$,
由题意可知,收割机每分钟将50 kg粮食装载到车上,则装载车工作的时间 $t=\frac{2.5×10^3}{50}\ \mathrm{min}=50\ \mathrm{min}$。

2. 在平直公路上，AB段$s_{AB}=60\ \mathrm{km}$，BC段$s_{BC}=40\ \mathrm{km}$。一辆纯电动汽车甲，以速度$v_1=108\ \mathrm{km/h}$从A地匀速行驶到B地，再以恒定功率$P_0=60\ \mathrm{kW}$从B地匀速行驶到C地。已知汽车甲的质量$m=1\ 500\ \mathrm{kg}$，其运动过程中所受阻力大小恒为自身重力的0.2倍，$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。试问：
(1)汽车甲运动过程中所受阻力的大小。
(2)汽车甲在BC段行驶的速度$v_2$的大小。
(3)汽车甲从A地行驶到C地的平均速度$v$的大小。
(4)若甲车从A地出发的同时，另一辆相同的电动汽车乙从C地向A地出发，并以速度$v=48\ \mathrm{km/h}$与甲车相向匀速行驶，求甲、乙两车相遇时所用的时间$t$和甲、乙两车的牵引力做功之和$W_{\mathrm{总}}$。

2. (1)3 000 N (2)72 km/h (3)90 km/h (4)2 400 s $3×10^8\ \mathrm{J}$
解析:(1)已知汽车甲的质量为1 500 kg,则汽车的重力
$G=mg=1\ 500\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=15\ 000\ \mathrm{N}$,
其运动过程中所受阻力大小恒为自身重力的0.2倍,汽车匀速运动,所受牵引力与阻力大小相等,即
$F=f=0.2G=0.2×15\ 000\ \mathrm{N}=3\ 000\ \mathrm{N}$。
(2)根据 $P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$,
可得汽车甲在BC段行驶的速度
$v_2=\frac{P_2}{F}=\frac{60×10^3\ \mathrm{W}}{3\ 000\ \mathrm{N}}=20\ \mathrm{m/s}=72\ \mathrm{km/h}$。
(3)汽车甲从A地行驶到C地的时间
$t_{AC}=\frac{s_{AB}}{v_1}+\frac{s_{BC}}{v_2}=\frac{60\ \mathrm{km}}{108\ \mathrm{km/h}}+\frac{40\ \mathrm{km}}{72\ \mathrm{km/h}}=\frac{10}{9}\ \mathrm{h}$,
汽车甲从A地行驶到C地的平均速度
$v=\frac{s_{AB}+s_{BC}}{t_{AC}}=\frac{60\ \mathrm{km}+40\ \mathrm{km}}{\frac{10}{9}\ \mathrm{h}}=90\ \mathrm{km/h}$。
(4)设甲、乙两车在B点相遇,则甲车行驶的时间
$t_甲=\frac{s_{AB}}{v_1}=\frac{60\ \mathrm{km}}{108\ \mathrm{km/h}}=\frac{5}{9}\ \mathrm{h}$,
乙车行驶的时间 $t_乙=\frac{s_{BC}}{v_乙}=\frac{40\ \mathrm{km/h}}{48\ \mathrm{km/h}}=\frac{5}{6}\ \mathrm{h}$,
因为$t_甲＜t_乙$,所以甲、乙两车在BC段相遇,甲、乙两车相遇时所用的时间为$t$,根据速度公式有$(t-t_甲)v_2+v_乙t=s_{BC}$,
代入数据可得 $(t-\frac{5}{9}\ \mathrm{h})×72\ \mathrm{km/h}+48\ \mathrm{km/h}×t=40\ \mathrm{km}$,
解方程可得 $t=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}=\frac{2}{3}×3\ 600\ \mathrm{s}=2\ 400\ \mathrm{s}$,
甲、乙两车的牵引力做功之和
$W_总=F×s_{AC}=3\ 000\ \mathrm{N}×(60\ 000\ \mathrm{m}+40\ 000\ \mathrm{m})=3×10^8\ \mathrm{J}$。