6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A₁B₁C₁,再把△A₁B₁C₁平移后得到△A₂B₂C₂.若点B₂的坐标为(2,1),则点A₂的坐标为().

A.(1,5)
B.(1,3)
C.(5,3)
D.(5,5)

6.B

【分析】
解题需分两步完成：①先根据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律，求出△ABC顶点A、B关于x轴对称后的点A₁、B₁的坐标；②再对比B₁和已知点B₂的坐标，确定图形平移的方向和距离，将该平移规则应用到A₁上，就能得到A₂的坐标。
【解析】
第一步：求关于x轴对称的点的坐标
关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，已知A(-2,1)，B(-1,3)，因此：
A₁坐标为$(-2,-1)$，B₁坐标为$(-1,-3)$。
第二步：确定平移规则
已知B₂坐标为$(2,1)$，对比B₁$(-1,-3)$：
横坐标变化：$2 - (-1)=3$，即图形向右平移3个单位；
纵坐标变化：$1 - (-3)=4$，即图形向上平移4个单位。
第三步：计算A₂的坐标
将A₁$(-2,-1)$按上述规则平移：
横坐标：$-2 + 3=1$，纵坐标：$-1 + 4=3$，即A₂坐标为$(1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 关于x轴对称的坐标特征；2. 图形平移的坐标变化
【点评】
本题结合轴对称和平移两种变换考察坐标变化规律，牢记变换对应的坐标规则、按步骤计算即可得到结果，属于平面直角坐标系变换类基础题型。
【难度系数】
0.7

7.已知平面直角坐标系中有两点$A(0,1),B(2,0)$.
(1)若点$C$在$x$轴上,且$△ ABC$为等腰三角形,这样的点$C$存在,共有________个.
(2)若点$C$在$y$轴上,且$△ ABC$为等腰三角形,这样的点$C$存在,共有________个.
(3)若点$C$在坐标轴上,且$△ ABC$为等腰三角形,这样的点$C$存在,共有________个.

7.(1)4 (2)4 (3)8

【分析】
解决等腰三角形存在性问题，核心是按照顶点不同进行分类讨论，共分三类：①以A为顶点，AB=AC；②以B为顶点，BA=BC；③以C为顶点，CA=CB。再结合点C在坐标轴上的坐标特征，依次计算符合条件的点，排除与已知点重合、无法构成三角形的情况，最后统计个数即可。
【解析】
先计算AB的长度：已知A(0,1)，B(2,0)，由勾股定理得$AB=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}$。
(1)点C在x轴上，设C(c, 0)：
①当A为等腰三角形顶点，即AB=AC时：$\sqrt{c^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}$，解得$c=2$（与点B重合，舍去）或$c=-2$，得点$C_1(-2,0)$；
②当B为等腰三角形顶点，即BA=BC时：x轴上两点距离为横坐标差的绝对值，即$|c-2|=\sqrt{5}$，解得$c=2+\sqrt{5}$或$c=2-\sqrt{5}$，得点$C_2(2+\sqrt{5},0)$、$C_3(2-\sqrt{5},0)$；
③当C为等腰三角形顶点，即CA=CB时：$\sqrt{c^2+1}=|c-2|$，两边平方解得$c=\frac{3}{4}$，得点$C_4(\frac{3}{4},0)$；
共4个符合条件的点。
(2)点C在y轴上，设C(0,c)：
①当A为等腰三角形顶点，即AB=AC时：y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值，即$|c-1|=\sqrt{5}$，解得$c=1+\sqrt{5}$或$c=1-\sqrt{5}$，得点$C_1(0,1+\sqrt{5})$、$C_2(0,1-\sqrt{5})$；
②当B为等腰三角形顶点，即BA=BC时：$\sqrt{(0-2)^2+c^2}=\sqrt{5}$，解得$c=1$（与点A重合，舍去）或$c=-1$，得点$C_3(0,-1)$；
③当C为等腰三角形顶点，即CA=CB时：$|c-1|=\sqrt{4+c^2}$，两边平方解得$c=-\frac{3}{2}$，得点$C_4(0,-\frac{3}{2})$；
共4个符合条件的点。
(3)点C在坐标轴上，上述x轴的4个点和y轴的4个点无重合，合计$4+4=8$个。
【答案】
(1)4；(2)4；(3)8
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的分类讨论思想，解题的关键是牢记按顶点分三类的讨论原则，注意排除三点共线或与已知点重合的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

8.已知点$A(2a+3b,-2)$和点$A'(-1,3a+b)$.
(1)若点$A$和点$A'$关于$y$轴对称,求$a+b$的值.
(2)若点$A$和点$A'$关于$x$轴对称,求$a+b$的值.

8.(1)0. (2)0.

【分析】
解决本题首先要明确关于坐标轴对称的点的坐标变化规律：①关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；②关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。针对两小问分别根据对应规律列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，即可计算a+b的结果。
【解析】
(1) 若点A和点A'关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组：
$\begin{cases}2a+3b = 1 \\3a + b = -2\end{cases}$
将第二个方程乘3得：$9a+3b=-6$，减去第一个方程得$7a=-7$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入$3a + b = -2$，得$-3+b=-2$，解得$b=1$。
因此$a+b=-1+1=0$。
(2) 若点A和点A'关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}2a+3b=-1 \\3a + b = 2\end{cases}$
将第二个方程乘3得：$9a+3b=6$，减去第一个方程得$7a=7$，解得$a=1$。
把$a=1$代入$3a + b = 2$，得$3+b=2$，解得$b=-1$。
因此$a+b=1+(-1)=0$。
【答案】
(1)0；(2)0
【知识点】
轴对称点的坐标特征，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，通过列方程组求解未知数后计算代数式的值，需注意不要混淆x轴、y轴对称的坐标变化规则。
【难度系数】
0.8

9.如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、第三象限的角平分线.
(1)实验与探究:
由图观察易知点A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标明点B(5,3),C(-2,5)关于直线l的对称点B',C'的位置,并写出它们的坐标.
B' ,C' .
(2)归纳与发现:
结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、第三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为 (不必证明).
(3)运用与拓展:
已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线l上求作一点Q,使点Q到D,E两点的距离之和最小.

9.(1)图略.$(3,5)$ $(5,-2)$ (2)$(b,a)$
(3)提示:找点D关于直线l对称的点F(-3,1),则$QD+QE=QF+QE$,此时连接EF,则EF与直线l的交点即为所求点Q.

【分析】
(1) 首先观察已知点A(0,2)关于直线l（第一、三象限角平分线）的对称点A'(2,0)，可发现对称点的横、纵坐标与原坐标的横、纵坐标互换，据此直接计算B、C的对称点坐标即可。
(2) 结合A与A'、B与B'、C与C'的坐标规律，归纳任意点关于直线l对称的坐标特征。
(3) 要在直线l上找Q使QD+QE最小，属于最短路径问题，利用轴对称的性质，将其中一个点关于直线l对称，把两条线段的和转化为共线时的最短距离，依据两点之间线段最短求解。
【解析】
(1) 根据第一、三象限角平分线对称的点横纵坐标互换的规律：
点B(5,3)的对称点B'坐标为(3,5)，点C(-2,5)的对称点C'坐标为(5,-2)，在图中对应位置标出即可。
(2) 观察三组对称点坐标：A(0,2)→A'(2,0)，B(5,3)→B'(3,5)，C(-2,5)→C'(5,-2)，可得任一点P(a,b)关于直线l的对称点P'坐标为(b,a)。
(3) ①先找D(1,-3)关于直线l的对称点F，根据上述规律得F坐标为(-3,1)；
②由轴对称性质可知QD=QF，因此QD+QE=QF+QE；
③根据两点之间线段最短，当F、Q、E三点共线时，QF+QE取得最小值，因此连接EF，EF与直线l的交点即为所求的点Q。
【答案】
(1) $(3,5)$，$(5,-2)$
(2) $(b,a)$
(3) 作点D关于直线l的对称点$F(-3,1)$，连接$EF$，$EF$与直线$l$的交点即为所求点$Q$。
【知识点】
1. 对称点坐标特征
2. 轴对称的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题从特殊点的对称特征出发，引导学生归纳出一般规律，再将规律应用到最短路径问题中，既考查了学生的归纳推理能力，也考查了轴对称性质的实际应用，属于基础到中等难度的综合题。
【难度系数】
0.7