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1.已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为(
A.12
B.15
C.12或15
D.9或15
B
)。A.12
B.15
C.12或15
D.9或15
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题首先要结合等腰三角形两腰相等的特点分情况讨论，确定腰长和底边长的两种可能，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形，排除不符合要求的情况后，对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
等腰三角形的两条腰长度相等，因此分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，底边长为6，则三边长为3、3、6。
此时$3+3=6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为6，底边长为3，则三边长为6、6、3。
此时$6+3＞6$、$6+6＞3$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，周长为$6+6+3=15$。
综上，该等腰三角形的周长为15，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关的经典易错题，易错点是部分同学忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立错选C。解决这类问题时，分情况讨论边长后一定要先验证是否能构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要结合等腰三角形两腰相等的特点分情况讨论，确定腰长和底边长的两种可能，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形，排除不符合要求的情况后，对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
等腰三角形的两条腰长度相等，因此分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，底边长为6，则三边长为3、3、6。
此时$3+3=6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为6，底边长为3，则三边长为6、6、3。
此时$6+3＞6$、$6+6＞3$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，周长为$6+6+3=15$。
综上，该等腰三角形的周长为15，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关的经典易错题，易错点是部分同学忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立错选C。解决这类问题时，分情况讨论边长后一定要先验证是否能构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
2.等腰三角形一个角为$30°$,则顶角的度数为(
A.$30°$
B.$120°$
C.$30°$或$150°$
D.$30°$或$120°$
D
).A.$30°$
B.$120°$
C.$30°$或$150°$
D.$30°$或$120°$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查等腰三角形角度计算，解题需结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理分析。已知给出的30°角未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①该30°角为顶角；②该30°角为底角，分别计算顶角度数后，验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若已知的30°角为等腰三角形的顶角，此时顶角的度数就是30°，符合三角形内角和要求；
2. 若已知的30°角为等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为30°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 30° × 2 = 120°$，该结果也符合要求。
综上，等腰三角形顶角的度数为30°或120°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题的关键是注意题干未明确角的类型时，要分情况讨论，避免漏解，同时计算后要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形角度计算，解题需结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理分析。已知给出的30°角未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①该30°角为顶角；②该30°角为底角，分别计算顶角度数后，验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若已知的30°角为等腰三角形的顶角，此时顶角的度数就是30°，符合三角形内角和要求；
2. 若已知的30°角为等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为30°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 30° × 2 = 120°$，该结果也符合要求。
综上，等腰三角形顶角的度数为30°或120°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题的关键是注意题干未明确角的类型时，要分情况讨论，避免漏解，同时计算后要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
3.公元前4世纪,古希腊数学家提出了“三等分角”的几何问题.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O处相连并可绕点O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
D
).A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
答案
3.D
解析
【分析】
首先根据已知条件OC=CD=DE，可判定△OCD和△CDE均为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，设∠O的度数为x，用x依次表示出相关内角的度数，再结合已知∠BDE=75°建立方程求出x的值，最后利用平角的定义即可求出∠CDE的度数。
【解析】
设∠O = x，
∵ OC = CD，
∴ ∠CDO = ∠O = x，
根据三角形外角的性质，可得∠ECD = ∠O + ∠CDO = 2x，
∵ CD = DE，
∴ ∠DEC = ∠ECD = 2x，
同理，∠BDE是△ODE的外角，故∠BDE = ∠O + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠BDE = 75°，
∴ 3x = 75°，解得x = 25°，即∠CDO = 25°，
∵ ∠CDO + ∠CDE + ∠BDE = 180°（平角的定义），
∴ ∠CDE = 180° - 25° - 75° = 80°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与角度计算的综合应用题，解题核心是利用“等边对等角”找到角的数量关系，结合外角性质建立方程求解，能很好地考查学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件OC=CD=DE，可判定△OCD和△CDE均为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，设∠O的度数为x，用x依次表示出相关内角的度数，再结合已知∠BDE=75°建立方程求出x的值，最后利用平角的定义即可求出∠CDE的度数。
【解析】
设∠O = x，
∵ OC = CD，
∴ ∠CDO = ∠O = x，
根据三角形外角的性质，可得∠ECD = ∠O + ∠CDO = 2x，
∵ CD = DE，
∴ ∠DEC = ∠ECD = 2x，
同理，∠BDE是△ODE的外角，故∠BDE = ∠O + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠BDE = 75°，
∴ 3x = 75°，解得x = 25°，即∠CDO = 25°，
∵ ∠CDO + ∠CDE + ∠BDE = 180°（平角的定义），
∴ ∠CDE = 180° - 25° - 75° = 80°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与角度计算的综合应用题，解题核心是利用“等边对等角”找到角的数量关系，结合外角性质建立方程求解，能很好地考查学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，AD，CE分别是$△ ABC$的中线和角平分线.若$AB=AC$，$∠ CAD=20°$，则$∠ ACE$的度数是(
A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
B
).A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
4.B
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是∠BAC的角平分线，由此可先求出顶角∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，求出底角∠ACB的度数；最后结合CE是角平分线，角平分线将角分成两个相等的角，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵△ABC内角和为180°，
∴∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
又
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质推导角度关系，再结合内角和、角平分线的性质逐步计算，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是∠BAC的角平分线，由此可先求出顶角∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，求出底角∠ACB的度数；最后结合CE是角平分线，角平分线将角分成两个相等的角，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵△ABC内角和为180°，
∴∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
又
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质推导角度关系，再结合内角和、角平分线的性质逐步计算，难度不大。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BD$，$AD=CD$，则$∠ CAD$的度数为
22.5°
。答案
5.22.5°
解析
【分析】
解题时从已知的等腰和直角条件入手思考：首先看△ABD，已知∠B=90°且AB=BD，可判断它是等腰直角三角形，先求出∠ADB的度数；再根据AD=CD得出△ACD是等腰三角形，可得∠CAD=∠C；最后利用三角形外角的性质，建立∠ADB和∠CAD的数量关系，就能求出∠CAD的度数。
【解析】
解：在△ABD中，
∵∠B=90°，AB=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ADB = (180° - ∠B)÷2 = (180°-90°)÷2 = 45°。
∵AD=CD，
∴△ACD为等腰三角形，∠C=∠CAD。
又
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB = ∠C + ∠CAD = 2∠CAD，
∴∠CAD = ∠ADB÷2 = 45°÷2 = 22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别图中的等腰三角形，结合三角形外角的性质建立角度等量关系即可求解，要求学生熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质。
【难度系数】
0.75
解题时从已知的等腰和直角条件入手思考：首先看△ABD，已知∠B=90°且AB=BD，可判断它是等腰直角三角形，先求出∠ADB的度数；再根据AD=CD得出△ACD是等腰三角形，可得∠CAD=∠C；最后利用三角形外角的性质，建立∠ADB和∠CAD的数量关系，就能求出∠CAD的度数。
【解析】
解：在△ABD中，
∵∠B=90°，AB=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ADB = (180° - ∠B)÷2 = (180°-90°)÷2 = 45°。
∵AD=CD，
∴△ACD为等腰三角形，∠C=∠CAD。
又
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB = ∠C + ∠CAD = 2∠CAD，
∴∠CAD = ∠ADB÷2 = 45°÷2 = 22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是准确识别图中的等腰三角形，结合三角形外角的性质建立角度等量关系即可求解，要求学生熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质。
【难度系数】
0.75
6.如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,0)$,$B(0,2)$,作$△ BOC$,使$△ BOC$与$△ ABO$全等,则点$C$的横坐标为
−1或1
,其中与$△ ABO$成轴对称的$△ BOC$有2
个.答案
6.−1或1 2
解析
【分析】
首先分析已知△ABO的特征：点A(1,0)、B(0,2)，可得OA=1，OB=2，∠AOB=90°，是直角三角形。要构造△BOC与△ABO全等，OB是两个三角形的公共边，因此需要分两种对应情况讨论点C的位置：①OC与OA对应，∠BOC和∠BOA对应相等；②BC与OA对应，∠OBC和∠AOB对应相等，分别求出两种情况下C的横坐标。再判断成轴对称的△BOC的个数：只要两个三角形沿某条直线对折后能完全重合即符合要求，逐一排查全等的情况即可得到数量。
【解析】
1. 求点C的横坐标：
已知A(1,0)，B(0,2)，故OA=1，OB=2，∠AOB=90°。
△BOC与△ABO全等，OB为公共边：
① 若△BOC≌△BOA，此时∠BOC=∠BOA=90°，OC=OA=1，点C在x轴负半轴，坐标为(-1,0)，横坐标为-1；
② 若△BOC≌△OBA，此时∠OBC=∠AOB=90°，BC=OA=1，BC⊥y轴，点C在第一象限，坐标为(1,2)，横坐标为1；
因此点C的横坐标为-1或1。
2. 求与△ABO成轴对称的△BOC的个数：
根据轴对称的定义，两个图形沿某条直线折叠后能够完全重合即为轴对称：
① 当C为(-1,0)时，△BOC和△ABO沿y轴折叠后完全重合，符合轴对称要求；
② 当C为(-1,2)时（对应△BOC≌△BAO的全等情况），△BOC和△ABO沿过OB中点且平行于x轴的直线折叠后完全重合，也符合轴对称要求；
综上共有2个符合要求的三角形。
【答案】
-1或1；2
【知识点】
全等三角形的判定，轴对称的识别，平面直角坐标系性质
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，易错点是忽略全等的不同对应情况导致漏解，掌握全等三角形的判定规则和轴对称的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先分析已知△ABO的特征：点A(1,0)、B(0,2)，可得OA=1，OB=2，∠AOB=90°，是直角三角形。要构造△BOC与△ABO全等，OB是两个三角形的公共边，因此需要分两种对应情况讨论点C的位置：①OC与OA对应，∠BOC和∠BOA对应相等；②BC与OA对应，∠OBC和∠AOB对应相等，分别求出两种情况下C的横坐标。再判断成轴对称的△BOC的个数：只要两个三角形沿某条直线对折后能完全重合即符合要求，逐一排查全等的情况即可得到数量。
【解析】
1. 求点C的横坐标：
已知A(1,0)，B(0,2)，故OA=1，OB=2，∠AOB=90°。
△BOC与△ABO全等，OB为公共边：
① 若△BOC≌△BOA，此时∠BOC=∠BOA=90°，OC=OA=1，点C在x轴负半轴，坐标为(-1,0)，横坐标为-1；
② 若△BOC≌△OBA，此时∠OBC=∠AOB=90°，BC=OA=1，BC⊥y轴，点C在第一象限，坐标为(1,2)，横坐标为1；
因此点C的横坐标为-1或1。
2. 求与△ABO成轴对称的△BOC的个数：
根据轴对称的定义，两个图形沿某条直线折叠后能够完全重合即为轴对称：
① 当C为(-1,0)时，△BOC和△ABO沿y轴折叠后完全重合，符合轴对称要求；
② 当C为(-1,2)时（对应△BOC≌△BAO的全等情况），△BOC和△ABO沿过OB中点且平行于x轴的直线折叠后完全重合，也符合轴对称要求；
综上共有2个符合要求的三角形。
【答案】
-1或1；2
【知识点】
全等三角形的判定，轴对称的识别，平面直角坐标系性质
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，易错点是忽略全等的不同对应情况导致漏解，掌握全等三角形的判定规则和轴对称的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.6
7.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF.求证DE=DF.
答案
7.提示:证明$△ BDE≌△ CDF$.
解析
【分析】
要证明DE=DF，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知DE在△BDE中，DF在△CDF中，因此只需证明△BDE≌△CDF即可。首先由AB=AC可得等腰△ABC的底角∠B=∠C；由D是BC中点可得BD=CD；再结合已知AE=AF，可推出AB-AE=AC-AF，即BE=CF，此时已满足全等三角形的SAS判定条件，证得全等后即可得到对应边DE=DF。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $AE=AF$，
∴ $AB-AE=AC-AF$，即$BE=CF$。
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}BE=CF \\∠ B=∠ C \\BD=CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（SAS），
∴ $DE=DF$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DE=DF$，证明成立。
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.全等三角形SAS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合基础题，主要考察利用等腰三角形性质推导全等所需条件，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明DE=DF，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知DE在△BDE中，DF在△CDF中，因此只需证明△BDE≌△CDF即可。首先由AB=AC可得等腰△ABC的底角∠B=∠C；由D是BC中点可得BD=CD；再结合已知AE=AF，可推出AB-AE=AC-AF，即BE=CF，此时已满足全等三角形的SAS判定条件，证得全等后即可得到对应边DE=DF。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $AE=AF$，
∴ $AB-AE=AC-AF$，即$BE=CF$。
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}BE=CF \\∠ B=∠ C \\BD=CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（SAS），
∴ $DE=DF$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DE=DF$，证明成立。
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.全等三角形SAS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合基础题，主要考察利用等腰三角形性质推导全等所需条件，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
