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4. 证明：顶角相等的两个等腰三角形相似. 
答案
如图
，已知：$∠A=∠A'$, $AB=AC$, $A'B'=A'C'$. 求证：$△ ABC∽△ A'B'C'$.证明：由 $AB=AC$，知$∠B=∠C$. 由三角形内角和知$∠C=\frac{180-∠A}{2}$. 同理，$∠C'=\frac{180-∠A'}{2}$. 因为$∠A=∠A'$，所以$∠C=∠C'$. 所以，$△ ABC∽△ A'B'C'$.
5. 如图，已知在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点E、F分别在边AB、AC上，EF//BC，EF把△ABC分成的两部分的周长相等. 求EF：BC的值.
拓展与思考
拓展与思考
答案
由 $AB=5$, $AC=6$, $BC=7$, 得$△ ABC$的周长$C_{△ ABC}=18$. 根据题意，$AE+AF+EF=BE+EF+FC+BC$, 即 $AE+AF=BE+FC+BC$, 所以 $AE+AF=\frac{AB+AC+BC}{2}=9$.
由 $EF// BC$, 得$△ AEF∽△ ABC$, 所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{AE+AF}{AB+AC}=\frac{9}{11}$, 因此$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{9}{11}$.
由 $EF// BC$, 得$△ AEF∽△ ABC$, 所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{AE+AF}{AB+AC}=\frac{9}{11}$, 因此$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{9}{11}$.
