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8. [2026上饶月考]在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（
甲：$9 - 3^2 ÷ 8 = 0 ÷ 8 = 0$。
乙：$24 - (4 × 3^2) = 24 - 4 × 6 = 0$。
丙：$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 16$。
丁：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 ÷ 1 = 9$。
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）甲：$9 - 3^2 ÷ 8 = 0 ÷ 8 = 0$。
乙：$24 - (4 × 3^2) = 24 - 4 × 6 = 0$。
丙：$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 16$。
丁：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 ÷ 1 = 9$。
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
$9 - 3^2 ÷8 =9 -9÷8 =9 -\frac{9}{8} =\frac{63}{8}$，故甲做错了；$24 -(4×3^2)=24-(4×9)=24-36=-12$，故乙做错了；$(36-12)÷\frac{3}{2}=(36-12)×\frac{2}{3}=36×\frac{2}{3}-12×\frac{2}{3}=24-8=16$，故丙做对了；$(-3)^2÷\frac{1}{3}×3=9÷\frac{1}{3}×3=9×3×3=81$，故丁做错了。
9. [2026 石家庄七中月考] 要使算式 $-3^4 □ [2^3 - (-2)^3]$ 的计算结果最大，在“”里填入的运算符号应是 (
A.+
B.-
C.×
D.÷
D
)A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
$-3^4 + [2^3 - (-2)^3] = -81 +16 = -65$，$-3^4 - [2^3 - (-2)^3] = -81 -16 = -97$，$-3^4 × [2^3 - (-2)^3] = -81 ×16 = -1296$，$-3^4 ÷ [2^3 - (-2)^3] = -81 ÷16 = -\frac{81}{16}$，则要使算式$-3^4□[2^3 - (-2)^3]$的计算结果最大，在“”里填入的运算符号应是$÷$。
10. [2026永州期中]定义一种新运算*，规定运算法则为$m*n = m^n - mn$（$m,n$均为整数，且$m≠0$）。例：$2*3 = 2^3 - 2×3 = 2$，则$(-2)*2 =$
8
。答案
由题意，得$(-2)*2 = (-2)^2 - (-2)×2 =4 +4 =8$。
11. [2026青岛市南区月考]图2是一卷空心卷筒纸（如图1所示）的截面示意图，其外直径为20 cm，内直径为10 cm，每层纸的厚度为0.02 cm。假如把这卷空心卷筒纸全部拉开，那么这卷空心卷筒纸的总长度为
3 750π
cm。答案
$π×[(\frac{20}{2})^2 - (\frac{10}{2})^2] ÷0.02 = 3\ 750π(cm)$，所以这卷空心卷筒纸的总长度为$3\ 750π$ cm。
12. 教材P68T3变式 [2025安康期中] 计算$-2^2 ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ) - (-2)^3$。小刚的计算过程如下：
$-2^2 ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ) - (-2)^3$
$=4 ÷ \frac{2}{3} - 4 ÷ \frac{1}{2} + 8$
$=6 - 8 + 8$
$=6$。
(1)请用“ ”画出最早开始出错的步骤；
(2)写出你的解答过程。
$-2^2 ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ) - (-2)^3$
$=4 ÷ \frac{2}{3} - 4 ÷ \frac{1}{2} + 8$
$=6 - 8 + 8$
$=6$。
(1)请用“ ”画出最早开始出错的步骤；
(2)写出你的解答过程。
答案
(1)最早出错的步骤：“$=4 ÷ \frac{2}{3} - 4 ÷ \frac{1}{2} + 8$”
(2)
$-2^2 ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ) - (-2)^3$
$= -4 ÷ (\frac{4}{6} - \frac{3}{6}) - (-8)$
$= -4 ÷ \frac{1}{6} +8$
$= -24 +8$
$= -16$。
(2)
$-2^2 ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ) - (-2)^3$
$= -4 ÷ (\frac{4}{6} - \frac{3}{6}) - (-8)$
$= -4 ÷ \frac{1}{6} +8$
$= -24 +8$
$= -16$。
13. 运算能力 [2026 定西期中改编]求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等。类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2^{③}$,读作“2 的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)^{④}$,读作“-3 的圈4次方”。一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)$记作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈n次方”。
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
(2)我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算,归纳如下:一个非零有理数的圈n次方等于
(3)请利用(2)中结论计算:$-9^{2}÷(-\frac{1}{3})^{⑤}×(-\frac{1}{4})^{④}-(-\frac{1}{5})^{4}÷5^{④}$。
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
$\frac{1}{2}$
, $(-3)^{④}=$$\frac{1}{9}$
, $(-\frac{1}{2})^{⑤}=$$-8$
。(2)我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算,归纳如下:一个非零有理数的圈n次方等于
这个数的倒数的$(n-2)$次方
。(3)请利用(2)中结论计算:$-9^{2}÷(-\frac{1}{3})^{⑤}×(-\frac{1}{4})^{④}-(-\frac{1}{5})^{4}÷5^{④}$。
答案
(1)$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{9}$；$-8$
(2)这个数的倒数的$(n-2)$次方
(3)
$-9^2 ÷ (-\frac{1}{3})^{⑤} × (-\frac{1}{4})^{④} - (-\frac{1}{5})^{4} ÷5^{④}$
$= -81 ÷ (-3)^3 × (-4)^2 - \frac{1}{625} ÷ (\frac{1}{5})^2$
$= -81 ÷ (-27) ×16 - \frac{1}{625} ÷ \frac{1}{25}$
$=3 ×16 - \frac{1}{625} ×25$
$=48 - \frac{1}{25}$
$=47\frac{24}{25}$。
(2)这个数的倒数的$(n-2)$次方
(3)
$-9^2 ÷ (-\frac{1}{3})^{⑤} × (-\frac{1}{4})^{④} - (-\frac{1}{5})^{4} ÷5^{④}$
$= -81 ÷ (-3)^3 × (-4)^2 - \frac{1}{625} ÷ (\frac{1}{5})^2$
$= -81 ÷ (-27) ×16 - \frac{1}{625} ÷ \frac{1}{25}$
$=3 ×16 - \frac{1}{625} ×25$
$=48 - \frac{1}{25}$
$=47\frac{24}{25}$。
