28.(9分)现将正方形纸片作如下切割：
第1次切下正方形的$\frac{1}{2}$记作$a_1$，第2次切下剩余部分的$\frac{1}{3}$记作$a_2$，第3次切下剩余部分的$\frac{1}{4}$记作$a_3$，第4次切下剩余部分的$\frac{1}{5}$记作$a_4$，……，如此进行下去，第$n$次切下剩余部分的________记作$a_n$，这时正方形的剩余部分还有多少？(正方形换为一条线段如何？)

图7-21
根据题意，结合图形解答下列问题：
(1)$a_2=\_\_\_\_\_\_$，$a_3=\_\_\_\_\_\_$，$a_4=\_\_\_\_\_\_$，$a_5=\_\_\_\_\_\_$，…，$a_n=\_\_\_\_\_\_$.
(2)我们知道，
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}=\_\_\_\_\_\_$，$\frac{1}{4×5}=\_\_\_\_\_\_$，…，$\frac{1}{n(n+1)}=\_\_\_\_\_\_$.
(3)运用以上结论计算：
$a_1+a_2+a_3+···+a_{19}+a_{20}$；
$a_1+a_2+a_3+···+a_{n-1}+a_n$.

28. 第$n$次切下剩余部分的$\frac{1}{n+1}$记作$a_n$。

(1) $a_2=\frac{1}{3}a_1$
$= \frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
$a_3=\frac{1}{4}×2a_2$
$= \frac{1}{4}×\frac{2}{6}=\frac{1}{12}$，
$a_4=\frac{1}{5}×3a_3=\frac{1}{5}×\frac{3}{12}=\frac{1}{20}$， …
根据以上规律可猜想：
$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$。
(2) $\frac{1}{3×4}=\frac{4-3}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{4×5}=\frac{5-4}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(3) $a_1+a_2+a_3+…+a_{19}+a_{20}$
$= \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{380}+\frac{1}{420}$
$= \frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{19×20}+\frac{1}{20×21}$
$= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…$
$+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}$。
$a_1+a_2+a_3+…+a_{n-1}+a_n$
$= \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}$
$= \frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…$
$+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}$
$= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…$
$+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$= 1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。
结合图形可以发现，正方形纸片被切割$n$次后，剩余部分是
$1-(a_1+a_2+a_3+…+a_{n-1}+a_n)$
$= 1-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。