23. (9分)观察下列三行数：
(1) $-2$，$4$，$-8$，$16$，$-32$，…，$a_n$；
(2) $-\dfrac{1}{2}$，$1$，$-2$，$4$，$-8$，…，$b_n$；
(3) $-1$，$5$，$-7$，$17$，$-31$，…，$c_n$。
如图，第一行数的第$n$（$n$为正整数）个数用$a_n$来表示，第二行数的第$n$个数用$b_n$来表示，第三行数的第$n$个数用$c_n$来表示。
(1) 取每行的第6个数，计算这三个数的和；
(2) 根据你发现的规律，请用含$n$的代数式表示数$a_n, b_n, c_n$的值：$a_n=$，$b_n=$，$c_n=$；
(3) 若$a_n$记为$x$，求$a_n + b_n + c_n$（结果用含$x$的式子表示并化简）。

解：
(1) 第一行第6个数为$(-2)^6=64$，
第二行第6个数为$16×(-2)=16$，
第三行第6个数为$64+1=65$，
这三个数的和为$64+16+65=145$。
(2) $a_n=\boldsymbol{(-2)^n}$，$b_n=\boldsymbol{\dfrac{(-2)^n}{4}}$，$c_n=\boldsymbol{(-2)^n + 1}$；
(3) 由题意得$a_n=x$，
则$b_n=\dfrac{a_n}{4}=\dfrac{x}{4}$，$c_n=a_n+1=x+1$，
$a_n+b_n+c_n=x+\dfrac{x}{4}+x+1=\dfrac{9}{4}x+1$。

24.(10分)点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a−b|,当A,B两点都不在原点时有以下三种情况:
①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=b−a=|a−b|;
②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=−b−(−a)=|a−b|;
③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=−b+(+a)=|a−b|;
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a−b|.

回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是,数轴上表示1和−3的两点之间的距离是;
(2)数轴上表示x和−1的两点分别是点A和B,则A,B两点之间的距离是,如果|AB|=2,那么x=;
(3)$|x+1|+|x-2|+|x-\frac{1}{2}|$的最小值为,当取得最小值时相应的x的取值或取值范围是.

(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{|x+1|}$，$\boldsymbol{1或-3}$
(3) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$

解：
(1) 数轴上表示2和5的两点之间的距离是$|2-5|=3$，
数轴上表示$-2$和$-5$的两点之间的距离是$|-2-(-5)|=3$，
数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离是$|1-(-3)|=4$；
(2) 数轴上表示$x$和$-1$的两点之间的距离是$|x-(-1)|=|x+1|$，
若$|AB|=2$，即$|x+1|=2$，则$x+1=2$或$x+1=-2$，解得$x=1$或$x=-3$；
(3) $|x+1|+|x-2|+|x-\frac{1}{2}|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点到表示$-1$、$\frac{1}{2}$、$2$的三个点的距离之和，当$x=\frac{1}{2}$时，距离之和最小，代入得：
$|\frac{1}{2}+1|+|\frac{1}{2}-2|+|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+0=3$。
故最小值为$3$，相应的$x$的取值为$x=\frac{1}{2}$。