登录
10.如图4-1-9，AC是电线杆AB的一根拉线，测得AB=7m，BC=6m，求拉线AC的长度。
答案
10. 利用勾股定理得 $AC = \sqrt{85}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题中AB是电线杆，因此AB垂直于地面BC，可确定△ABC是直角三角形，且∠B为直角。已知两条直角边AB和BC的长度，要求斜边AC的长度，只需运用勾股定理即可求解。
【解析】
因为AB是电线杆，所以AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠B=90°。根据勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，可得：
AC² = AB² + BC²
将AB=7m，BC=6m代入上式：
AC² = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
因此AC = √85 m。
【答案】
√85 m
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，核心是识别直角三角形并运用勾股定理计算斜边，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
本题中AB是电线杆，因此AB垂直于地面BC，可确定△ABC是直角三角形，且∠B为直角。已知两条直角边AB和BC的长度，要求斜边AC的长度，只需运用勾股定理即可求解。
【解析】
因为AB是电线杆，所以AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠B=90°。根据勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，可得：
AC² = AB² + BC²
将AB=7m，BC=6m代入上式：
AC² = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
因此AC = √85 m。
【答案】
√85 m
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，核心是识别直角三角形并运用勾股定理计算斜边，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
11. 如图4-1-10，要测量A，B两点间的距离，在O点设桩，取OA的中点为C，OB的中点为D，测得$CD=30\mathrm{m}$，求A，B两点间的距离.
答案
11. 提示:证 $△ OAB ∽ △ OCD$,求得 $AB = 60\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要计算A、B两点间的距离，观察图形可知C是OA中点，D是OB中点，因此CD是△OAB的中位线。结合相似三角形的判定，可通过中位线与第三边的关系求出AB的长度。
【解析】
∵ C为OA中点，D为OB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}OA$，$OD=\frac{1}{2}OB$，即 $\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$。
又
∵ ∠O是△OCD和△OAB的公共角，
∴ △OCD ∽ △OAB（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴ $AB=2CD$。
已知$CD=30\mathrm{m}$，代入得 $AB=2×30=60(\mathrm{m})$。
【答案】
60 m
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查三角形中位线性质与相似三角形的应用，属于基础题型，核心是利用中点关系推导线段比例。
【难度系数】
0.6
要计算A、B两点间的距离，观察图形可知C是OA中点，D是OB中点，因此CD是△OAB的中位线。结合相似三角形的判定，可通过中位线与第三边的关系求出AB的长度。
【解析】
∵ C为OA中点，D为OB中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}OA$，$OD=\frac{1}{2}OB$，即 $\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$。
又
∵ ∠O是△OCD和△OAB的公共角，
∴ △OCD ∽ △OAB（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴ $AB=2CD$。
已知$CD=30\mathrm{m}$，代入得 $AB=2×30=60(\mathrm{m})$。
【答案】
60 m
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查三角形中位线性质与相似三角形的应用，属于基础题型，核心是利用中点关系推导线段比例。
【难度系数】
0.6
12.如图4-1-11,小明拿一把刻度单位为厘米的直尺,他站在离电线杆约30m的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12cm恰好遮住电线杆,已知小明的手臂长约为60cm,小明能测量出电线杆的高度吗?
答案
12. 提示:用相似求得高为 6 m.
解析
【分析】
要测量电线杆的高度，可利用相似三角形的性质解题：小明的眼睛、小尺两端、电线杆两端分别构成两个相似的直角三角形（小尺与电线杆均竖直，地面水平，两个三角形有公共角且都是直角三角形，故相似）。解题时需先统一单位，再根据相似三角形对应边成比例的关系列比例式，进而求解电线杆高度。
【解析】
设电线杆的高度为$ h $，统一单位：小尺长度$ 12\mathrm{cm}=0.12\mathrm{m} $，手臂长$ 60\mathrm{cm}=0.6\mathrm{m} $，人到电线杆的距离为$ 30\mathrm{m} $。
由于小尺竖直、电线杆竖直，视线构成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小尺长度}}{\mathrm{电线杆高度}} = \frac{\mathrm{手臂长}}{\mathrm{人到电线杆的距离}}$
代入数据：
$\frac{0.12}{h} = \frac{0.6}{30}$
交叉相乘得：$0.6h = 0.12 × 30$
计算得：$0.6h = 3.6$
解得：$h = 6\mathrm{m}$
【答案】
能，电线杆高度为$6\mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的应用；比例线段
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，核心是找到相似三角形并利用其对应边成比例的性质，解题时需注意单位统一，避免因单位不一致导致计算错误，整体难度适中，考查学生对几何知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
要测量电线杆的高度，可利用相似三角形的性质解题：小明的眼睛、小尺两端、电线杆两端分别构成两个相似的直角三角形（小尺与电线杆均竖直，地面水平，两个三角形有公共角且都是直角三角形，故相似）。解题时需先统一单位，再根据相似三角形对应边成比例的关系列比例式，进而求解电线杆高度。
【解析】
设电线杆的高度为$ h $，统一单位：小尺长度$ 12\mathrm{cm}=0.12\mathrm{m} $，手臂长$ 60\mathrm{cm}=0.6\mathrm{m} $，人到电线杆的距离为$ 30\mathrm{m} $。
由于小尺竖直、电线杆竖直，视线构成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小尺长度}}{\mathrm{电线杆高度}} = \frac{\mathrm{手臂长}}{\mathrm{人到电线杆的距离}}$
代入数据：
$\frac{0.12}{h} = \frac{0.6}{30}$
交叉相乘得：$0.6h = 0.12 × 30$
计算得：$0.6h = 3.6$
解得：$h = 6\mathrm{m}$
【答案】
能，电线杆高度为$6\mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的应用；比例线段
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，核心是找到相似三角形并利用其对应边成比例的性质，解题时需注意单位统一，避免因单位不一致导致计算错误，整体难度适中，考查学生对几何知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
13.如图4-1-12，勘测飞机在勘测某岛屿时，飞机在西端点A的正上方距海平面160m的点C处测得东山坡的坡角为α，在东端点B的正上方距海平面250m的点D处测得西山坡的坡角为β，且α与β互为余角。利用以上数据能否求出岛屿两端点A，B之间的距离？试说明理由。
图4-1-12
图4-1-12
答案
13. 提示:易证 $△ ABC ∽ △ BDA$,则$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{AB}$,即 $AB^2 = AC · BD = 160 × 250 = 200^2$，$\therefore AB = 200\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据题意明确AC⊥AB、BD⊥AB，即两个直角三角形的直角相等；再结合α与β互余的条件，利用直角三角形内角和推导对应角相等，证明三角形相似，最后通过相似三角形的比例关系求出AB的长度。
【解析】
解：能求出A、B之间的距离，理由如下：
由题意可知，AC⊥AB，BD⊥AB，因此∠CAB=∠ABD=90°，即△CAB和△ABD均为直角三角形。
已知α与β互为余角，故α+β=90°。
在Rt△CAB中，∠ACB + ∠ABC=90°，而∠ACB=α，因此∠ABC=β；
在Rt△ABD中，∠ADB + ∠BAD=90°，而∠ADB=β，因此∠BAD=α；
由此可得∠ACB=∠BAD，结合∠CAB=∠ABD=90°，可证△CAB∽△ABD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{AB}$，即$AB^2 = AC · BD$。
代入AC=160m，BD=250m，得$AB^2 = 160 × 250 = 40000$，因此$AB = \sqrt{40000} = 200\ \mathrm{m}$。
【答案】
200 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题通过直角三角形的内角关系结合互余条件推导相似三角形，利用相似比求解线段长度，关键在于找准对应角相等，属于中等难度的几何应用题，适合多数学生通过逻辑推导完成。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先根据题意明确AC⊥AB、BD⊥AB，即两个直角三角形的直角相等；再结合α与β互余的条件，利用直角三角形内角和推导对应角相等，证明三角形相似，最后通过相似三角形的比例关系求出AB的长度。
【解析】
解：能求出A、B之间的距离，理由如下：
由题意可知，AC⊥AB，BD⊥AB，因此∠CAB=∠ABD=90°，即△CAB和△ABD均为直角三角形。
已知α与β互为余角，故α+β=90°。
在Rt△CAB中，∠ACB + ∠ABC=90°，而∠ACB=α，因此∠ABC=β；
在Rt△ABD中，∠ADB + ∠BAD=90°，而∠ADB=β，因此∠BAD=α；
由此可得∠ACB=∠BAD，结合∠CAB=∠ABD=90°，可证△CAB∽△ABD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{AB}$，即$AB^2 = AC · BD$。
代入AC=160m，BD=250m，得$AB^2 = 160 × 250 = 40000$，因此$AB = \sqrt{40000} = 200\ \mathrm{m}$。
【答案】
200 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题通过直角三角形的内角关系结合互余条件推导相似三角形，利用相似比求解线段长度，关键在于找准对应角相等，属于中等难度的几何应用题，适合多数学生通过逻辑推导完成。
【难度系数】
0.5
14.图4-1-13是一个长为5cm、宽为1cm的长方形，将这个长方形沿图中虚线剪成五块再拼成一个正方形，请画出拼接的正方形示意图，并求出正方形的边长。
图4-1-13
图4-1-13
答案
14. 提示:拼接示意图如图
.设正方形边长为 $a\ \mathrm{cm}$.则
$a = \sqrt{a^2} = \sqrt{5 × 1} = \sqrt{5}(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
解决本题的关键是利用图形拼接前后面积不变的性质，先计算原长方形的面积，拼接后正方形的面积与长方形面积相等，再根据正方形面积公式即可求出边长。
【解析】
1. 计算原长方形的面积：长方形面积 = 长×宽 = $5×1 = 5$（$\mathrm{cm}^2$）。
2. 由于拼接前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积等于原长方形面积，即正方形面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$。
3. 设正方形的边长为 $a\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式 $S=a^2$，可得 $a^2=5$。因为边长为正数，所以 $a=\sqrt{5}$（$\mathrm{cm}$）。
【答案】
正方形的边长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，拼接示意图见题目提示。
【知识点】
长方形面积、正方形面积、算术平方根
【点评】
本题考查图形拼接的面积不变性，通过面积相等建立数量关系求解，属于基础几何应用题目，重点考查面积公式的应用。
【难度系数】
0.5
解决本题的关键是利用图形拼接前后面积不变的性质，先计算原长方形的面积，拼接后正方形的面积与长方形面积相等，再根据正方形面积公式即可求出边长。
【解析】
1. 计算原长方形的面积：长方形面积 = 长×宽 = $5×1 = 5$（$\mathrm{cm}^2$）。
2. 由于拼接前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积等于原长方形面积，即正方形面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$。
3. 设正方形的边长为 $a\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式 $S=a^2$，可得 $a^2=5$。因为边长为正数，所以 $a=\sqrt{5}$（$\mathrm{cm}$）。
【答案】
正方形的边长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，拼接示意图见题目提示。
【知识点】
长方形面积、正方形面积、算术平方根
【点评】
本题考查图形拼接的面积不变性，通过面积相等建立数量关系求解，属于基础几何应用题目，重点考查面积公式的应用。
【难度系数】
0.5
