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1.在$\sqrt{8}$，$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[3]{4x}$，$\sqrt{2x^2}$中，属于二次根式的是
$\sqrt{8},\sqrt{2x^2}$
。答案
1. $\sqrt{8},\sqrt{2x^2}$
解析
【分析】
解题的核心依据是二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数。我们只需逐个验证给出的四个式子是否满足这两个条件，即可筛选出符合要求的二次根式。
【解析】
根据二次根式的判定条件逐一分析：
1. 对于$\sqrt{8}$：根指数为2，被开方数$8＞0$，满足二次根式的两个条件，属于二次根式；
2. 对于$\sqrt[3]{3}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的要求；
3. 对于$\sqrt[3]{4x}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的要求；
4. 对于$\sqrt{2x^2}$：根指数为2，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此被开方数$2x^2≥0$，满足二次根式的两个条件，属于二次根式。
综上，属于二次根式的是$\sqrt{8}$、$\sqrt{2x^2}$。
【答案】
$\sqrt{8},\sqrt{2x^2}$
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，判断时既要注意根指数的大小，也要验证被开方数的取值是否为非负数，避免忽略含字母的被开方数的非负性。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数。我们只需逐个验证给出的四个式子是否满足这两个条件，即可筛选出符合要求的二次根式。
【解析】
根据二次根式的判定条件逐一分析：
1. 对于$\sqrt{8}$：根指数为2，被开方数$8＞0$，满足二次根式的两个条件，属于二次根式；
2. 对于$\sqrt[3]{3}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的要求；
3. 对于$\sqrt[3]{4x}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的要求；
4. 对于$\sqrt{2x^2}$：根指数为2，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此被开方数$2x^2≥0$，满足二次根式的两个条件，属于二次根式。
综上，属于二次根式的是$\sqrt{8}$、$\sqrt{2x^2}$。
【答案】
$\sqrt{8},\sqrt{2x^2}$
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，判断时既要注意根指数的大小，也要验证被开方数的取值是否为非负数，避免忽略含字母的被开方数的非负性。
【难度系数】
0.8
2.当x
$≤ \frac{3}{2}$
时，根式$\sqrt{3 - 2x}$有意义。答案
2. $≤ \frac{3}{2}$
解析
【分析】
要判断根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的性质：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。因此我们先找到根号内的代数式3-2x，令其大于等于0得到一元一次不等式，再正确解不等式即可，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
要使根式$\sqrt{3 - 2x}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$3 - 2x ≥ 0$
移项可得：
$-2x ≥ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$x ≤ \frac{3}{2}$
【答案】
$≤ \frac{3}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基本性质，只要掌握被开方数非负的要求，正确解不等式即可得分，解题时需注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.9
要判断根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的性质：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。因此我们先找到根号内的代数式3-2x，令其大于等于0得到一元一次不等式，再正确解不等式即可，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
要使根式$\sqrt{3 - 2x}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$3 - 2x ≥ 0$
移项可得：
$-2x ≥ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$x ≤ \frac{3}{2}$
【答案】
$≤ \frac{3}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基本性质，只要掌握被开方数非负的要求，正确解不等式即可得分，解题时需注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.9
3.已知$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}+3$，则$x^y=$
8
.答案
3. 8
解析
【分析】
要解答本题，首先需明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。本题中y的表达式包含两个二次根式$\sqrt{2-x}$和$\sqrt{x-2}$，因此两个被开方数都要满足大于等于0的要求，据此可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值后，代入原式就能算出y的值，最后代入$x^y$计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解不等式$2-x≥0$，得$x≤2$；
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
因此不等式组的解为$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}+3$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+3=3$
则$x^y=2^3=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是掌握二次根式被开方数的非负性，通过该性质确定未知数值后即可顺利计算，考查对基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先需明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。本题中y的表达式包含两个二次根式$\sqrt{2-x}$和$\sqrt{x-2}$，因此两个被开方数都要满足大于等于0的要求，据此可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值后，代入原式就能算出y的值，最后代入$x^y$计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解不等式$2-x≥0$，得$x≤2$；
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
因此不等式组的解为$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}+3$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+3=3$
则$x^y=2^3=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值；乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是掌握二次根式被开方数的非负性，通过该性质确定未知数值后即可顺利计算，考查对基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8
4.若整数$n$满足$|n| ≤ 3$，则使二次根式$\sqrt{7 - n}$为整数的$n$的值是
3，−2
。答案
4. 3，−2
解析
【分析】
解题时需结合题目的两个限制条件逐步推导：首先根据绝对值的性质求出整数n的取值范围，列出所有可能的n值；再根据二次根式为整数的要求，可知被开方数7 - n必须是非负的完全平方数，据此反推n的取值，最后筛选出同时符合两个条件的n即可。
【解析】
第一步：求解n的取值范围
已知$|n| ≤ 3$，根据绝对值的性质可得$-3 ≤ n ≤ 3$，又因为n是整数，所以n的可能取值为：-3、-2、-1、0、1、2、3。
第二步：结合二次根式为整数的条件筛选n
二次根式$\sqrt{7 - n}$为整数，首先需满足被开方数非负，即$7 - n ≥ 0$，得$n ≤ 7$，上述n的所有取值均满足该条件；其次$7 - n$必须是完全平方数。
因为$n ≥ -3$，所以$7 - n ≤ 7 - (-3) = 10$，小于等于10的非负完全平方数有0、1、4、9，分别计算对应的n：
当$7 - n = 0$时，$n = 7$，不在$-3 ≤ n ≤ 3$范围内，舍去；
当$7 - n = 1$时，$n = 6$，不在$-3 ≤ n ≤ 3$范围内，舍去；
当$7 - n = 4$时，$n = 3$，符合取值范围；
当$7 - n = 9$时，$n = -2$，符合取值范围；
更大的完全平方数16对应$n = -9$，小于-3，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的n的值为3、-2。
【答案】
3，−2
【知识点】
绝对值的性质、二次根式的定义、完全平方数
【点评】
本题综合考查了多个基础知识点的结合应用，解题关键是先确定未知数的取值范围，再结合二次根式的整数要求筛选符合条件的解，注意取值时要避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解题时需结合题目的两个限制条件逐步推导：首先根据绝对值的性质求出整数n的取值范围，列出所有可能的n值；再根据二次根式为整数的要求，可知被开方数7 - n必须是非负的完全平方数，据此反推n的取值，最后筛选出同时符合两个条件的n即可。
【解析】
第一步：求解n的取值范围
已知$|n| ≤ 3$，根据绝对值的性质可得$-3 ≤ n ≤ 3$，又因为n是整数，所以n的可能取值为：-3、-2、-1、0、1、2、3。
第二步：结合二次根式为整数的条件筛选n
二次根式$\sqrt{7 - n}$为整数，首先需满足被开方数非负，即$7 - n ≥ 0$，得$n ≤ 7$，上述n的所有取值均满足该条件；其次$7 - n$必须是完全平方数。
因为$n ≥ -3$，所以$7 - n ≤ 7 - (-3) = 10$，小于等于10的非负完全平方数有0、1、4、9，分别计算对应的n：
当$7 - n = 0$时，$n = 7$，不在$-3 ≤ n ≤ 3$范围内，舍去；
当$7 - n = 1$时，$n = 6$，不在$-3 ≤ n ≤ 3$范围内，舍去；
当$7 - n = 4$时，$n = 3$，符合取值范围；
当$7 - n = 9$时，$n = -2$，符合取值范围；
更大的完全平方数16对应$n = -9$，小于-3，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的n的值为3、-2。
【答案】
3，−2
【知识点】
绝对值的性质、二次根式的定义、完全平方数
【点评】
本题综合考查了多个基础知识点的结合应用，解题关键是先确定未知数的取值范围，再结合二次根式的整数要求筛选符合条件的解，注意取值时要避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
5. 数 $-\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{11}$ 在数轴上表示的点被如图1-1-1所示的墨迹覆盖的是
$\sqrt{7}$
。答案
5. $\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先观察数轴可得墨迹覆盖的是大于0且小于3的数的范围，解题时先通过平方法估算每个二次根式的大致取值范围，再逐一判断是否落在0~3的区间内即可得到答案。
【解析】
由数轴可知，墨迹覆盖的数的范围是$0＜x＜3$：
1. $-\sqrt{3}$是负数，满足$-\sqrt{3}＜0$，不在覆盖区间内，不符合要求；
2. 对$\sqrt{7}$：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，落在覆盖区间内，符合要求；
3. 对$\sqrt{11}$：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，不在覆盖区间内，不符合要求。
综上，被墨迹覆盖的是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
无理数大小估算，数轴表示数
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握利用完全平方数估算无理数取值范围的方法，结合数轴的区间范围筛选即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴可得墨迹覆盖的是大于0且小于3的数的范围，解题时先通过平方法估算每个二次根式的大致取值范围，再逐一判断是否落在0~3的区间内即可得到答案。
【解析】
由数轴可知，墨迹覆盖的数的范围是$0＜x＜3$：
1. $-\sqrt{3}$是负数，满足$-\sqrt{3}＜0$，不在覆盖区间内，不符合要求；
2. 对$\sqrt{7}$：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，落在覆盖区间内，符合要求；
3. 对$\sqrt{11}$：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，不在覆盖区间内，不符合要求。
综上，被墨迹覆盖的是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
无理数大小估算，数轴表示数
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握利用完全平方数估算无理数取值范围的方法，结合数轴的区间范围筛选即可得到结果。
【难度系数】
0.8
6.已知a,b为两个连续整数，且$a＜\sqrt{7}＜b$，则$a+b=$
5
。答案
6. 5
解析
【分析】
要解决本题，首先需要确定无理数$\sqrt{7}$的取值范围：我们可以先找到与7相邻的两个完全平方数，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能得到$\sqrt{7}$介于哪两个连续整数之间，从而确定a、b的取值，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
解：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ 根据算术平方根的大小比较规律，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$
即 $2＜\sqrt{7}＜3$
又
∵$a$、$b$为连续整数，且$a＜\sqrt{7}＜b$
∴ $a=2$，$b=3$
∴ $a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
无理数的估算；二次根式大小比较
【点评】
本题是基础常考题，主要考查学生对无理数大小估算的掌握程度，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需要确定无理数$\sqrt{7}$的取值范围：我们可以先找到与7相邻的两个完全平方数，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能得到$\sqrt{7}$介于哪两个连续整数之间，从而确定a、b的取值，最后代入计算$a+b$即可。
【解析】
解：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ 根据算术平方根的大小比较规律，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$
即 $2＜\sqrt{7}＜3$
又
∵$a$、$b$为连续整数，且$a＜\sqrt{7}＜b$
∴ $a=2$，$b=3$
∴ $a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
无理数的估算；二次根式大小比较
【点评】
本题是基础常考题，主要考查学生对无理数大小估算的掌握程度，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.85
7.三个二次根式$\sqrt{x}$，$\sqrt{x-1}$，$\sqrt{2-x}$都有意义应满足的条件是
$1 ≤ x ≤ 2$
。答案
7. $1 ≤ x ≤ 2$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式有意义的条件：二次根式$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a$为非负数，即$a≥0$。本题要求三个二次根式同时有意义，因此需要分别列出每个根式对应被开方数的非负条件，得到关于$x$的不等式组，最后求解不等式组的公共解集，即为$x$应满足的条件。
【解析】
要使三个二次根式都有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 对于$\sqrt{x}$，被开方数非负：$x≥0$；
2. 对于$\sqrt{x-1}$，被开方数非负：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
3. 对于$\sqrt{2-x}$，被开方数非负：$2-x≥0$，解得$x≤2$。
取上述三个条件的公共部分，可得$1≤ x≤2$。
【答案】
$1 ≤ x ≤ 2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式非负性的应用，解题关键是牢记所有二次根式的被开方数都需满足非负要求，正确求解不等式组的公共解集即可得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式有意义的条件：二次根式$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a$为非负数，即$a≥0$。本题要求三个二次根式同时有意义，因此需要分别列出每个根式对应被开方数的非负条件，得到关于$x$的不等式组，最后求解不等式组的公共解集，即为$x$应满足的条件。
【解析】
要使三个二次根式都有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 对于$\sqrt{x}$，被开方数非负：$x≥0$；
2. 对于$\sqrt{x-1}$，被开方数非负：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
3. 对于$\sqrt{2-x}$，被开方数非负：$2-x≥0$，解得$x≤2$。
取上述三个条件的公共部分，可得$1≤ x≤2$。
【答案】
$1 ≤ x ≤ 2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式非负性的应用，解题关键是牢记所有二次根式的被开方数都需满足非负要求，正确求解不等式组的公共解集即可得到答案。
【难度系数】
0.8
8.若代数式$\frac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$的值为正数，则x的取值范围是
$x ＞ 3$
。答案
8. $x ＞ 3$
解析
【分析】
要使分式的值为正数，需满足分子、分母同号（同正或同负）。首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a}≥0$（$a≥0$），因此分子$\sqrt{2x+1}$本身是非负数。要让分式值为正数，首先分子不能为0（否则分式值为0，不符合正数要求），因此分子必须为正，那么分母也必须为正才能满足同号为正，同时还要保证二次根式有意义、分式分母不为0。接下来分别列不等式求解，最后取解集的公共部分即可。
【解析】
解：
∵代数式$\frac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$的值为正数，
① 分析分子：根据二次根式的性质，$\sqrt{2x+1} ≥ 0$，要使分式值为正数，则分子不能为0，且被开方数需满足非负要求，因此：
$2x+1 ＞ 0$，解得$x ＞ -\frac{1}{2}$；
② 分析分母：因为分子为正，要使分式的商为正，则分母也必须为正，且分母不能为0，因此：
$x - 3 ＞ 0$，解得$x ＞ 3$；
③ 取两个解集的公共部分，最终可得$x ＞ 3$。
【答案】
$x ＞ 3$
【知识点】
二次根式的性质；分式有意义的条件；分式值的符号判断
【点评】
本题是二次根式与分式性质的综合应用题，解题的关键是明确二次根式的非负性，以及分式值为正需满足分子分母同号的要求，注意不要遗漏分子不能为0、分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
要使分式的值为正数，需满足分子、分母同号（同正或同负）。首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a}≥0$（$a≥0$），因此分子$\sqrt{2x+1}$本身是非负数。要让分式值为正数，首先分子不能为0（否则分式值为0，不符合正数要求），因此分子必须为正，那么分母也必须为正才能满足同号为正，同时还要保证二次根式有意义、分式分母不为0。接下来分别列不等式求解，最后取解集的公共部分即可。
【解析】
解：
∵代数式$\frac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$的值为正数，
① 分析分子：根据二次根式的性质，$\sqrt{2x+1} ≥ 0$，要使分式值为正数，则分子不能为0，且被开方数需满足非负要求，因此：
$2x+1 ＞ 0$，解得$x ＞ -\frac{1}{2}$；
② 分析分母：因为分子为正，要使分式的商为正，则分母也必须为正，且分母不能为0，因此：
$x - 3 ＞ 0$，解得$x ＞ 3$；
③ 取两个解集的公共部分，最终可得$x ＞ 3$。
【答案】
$x ＞ 3$
【知识点】
二次根式的性质；分式有意义的条件；分式值的符号判断
【点评】
本题是二次根式与分式性质的综合应用题，解题的关键是明确二次根式的非负性，以及分式值为正需满足分子分母同号的要求，注意不要遗漏分子不能为0、分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
9.当x满足条件
$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 4$
时，代数式$\frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 - x}}$有意义。答案
9. $\frac{1}{2} ≤ x ＜ 4$
解析
【分析】
要使含有二次根式的分式有意义，需同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不能为0。我们可以根据这两个要求分别列出关于x的不等式，再求解不等式组，取两个解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 - x}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 分子中二次根式的被开方数非负：$2x - 1 ≥ 0$
解这个不等式：$2x ≥ 1$，得$x ≥ \frac{1}{2}$
2. 分母中二次根式的被开方数大于0（分母不能为0，因此根号内的数不能等于0）：$4 - x ＞ 0$
解这个不等式：$-x ＞ -4$，得$x ＜ 4$
取两个解集的公共部分，可得$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 4$。
【答案】
$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 4$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式和分式有意义条件的综合应用题，易错点是容易忽略分母不为0的要求，误将分母中被开方数的条件写为$4-x≥0$，解题时要注意区分带根号的部分在分子还是分母，分别判断限制条件。
【难度系数】
0.8
要使含有二次根式的分式有意义，需同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数为非负数，二是分式的分母不能为0。我们可以根据这两个要求分别列出关于x的不等式，再求解不等式组，取两个解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{2x - 1}}{\sqrt{4 - x}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 分子中二次根式的被开方数非负：$2x - 1 ≥ 0$
解这个不等式：$2x ≥ 1$，得$x ≥ \frac{1}{2}$
2. 分母中二次根式的被开方数大于0（分母不能为0，因此根号内的数不能等于0）：$4 - x ＞ 0$
解这个不等式：$-x ＞ -4$，得$x ＜ 4$
取两个解集的公共部分，可得$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 4$。
【答案】
$\frac{1}{2} ≤ x ＜ 4$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式和分式有意义条件的综合应用题，易错点是容易忽略分母不为0的要求，误将分母中被开方数的条件写为$4-x≥0$，解题时要注意区分带根号的部分在分子还是分母，分别判断限制条件。
【难度系数】
0.8
10.下列各式：$\sqrt{x^2 + 1}$，$\sqrt{a - 2}(a ≥ 2)$，$\sqrt{-(b^2 + 1)^2}$，$\sqrt{(-\frac{y}{2})^2}$.属于二次根式的共有……………………【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要判断式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$的式子，当被开方数$a≥0$时，就是二次根式。解题时只需逐个验证每个式子的被开方数是否为非负数（题目给出字母取值范围的结合范围判断）即可：
1. 先看$\sqrt{x^2+1}$：由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1$恒大于0，满足条件；
2. 再看$\sqrt{a-2}(a≥2)$：题目明确$a≥2$，因此$a-2≥0$，满足条件；
3. 接着看$\sqrt{-(b^2+1)^2}$：$b^2≥0$，因此$b^2+1≥1$，平方后$(b^2+1)^2≥1$，加负号后被开方数恒小于0，不满足条件；
4. 最后看$\sqrt{(-\frac{y}{2})^2}$：平方数恒为非负数，因此被开方数满足$≥0$的要求，满足条件。
【解析】
解：根据二次根式的定义“形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子为二次根式”，逐个判断：
1. 对$\sqrt{x^2+1}$：
∵ $x^2≥0$，
∴ $x^2+1≥1＞0$，被开方数为非负数，是二次根式；
2. 对$\sqrt{a-2}(a≥2)$：
∵ $a≥2$，
∴ $a-2≥0$，被开方数为非负数，是二次根式；
3. 对$\sqrt{-(b^2+1)^2}$：
∵ $b^2≥0$，
∴ $b^2+1≥1$，则$(b^2+1)^2≥1$，
∴ $-(b^2+1)^2≤-1＜0$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式；
4. 对$\sqrt{(-\frac{y}{2})^2}$：
∵ 平方的结果非负，
∴ $(-\frac{y}{2})^2≥0$，被开方数为非负数，是二次根式。
综上，共有3个二次根式，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义，平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题关键是牢记二次根式对被开方数的非负要求，判断时不要忽略题目给出的字母取值限制条件。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$的式子，当被开方数$a≥0$时，就是二次根式。解题时只需逐个验证每个式子的被开方数是否为非负数（题目给出字母取值范围的结合范围判断）即可：
1. 先看$\sqrt{x^2+1}$：由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1$恒大于0，满足条件；
2. 再看$\sqrt{a-2}(a≥2)$：题目明确$a≥2$，因此$a-2≥0$，满足条件；
3. 接着看$\sqrt{-(b^2+1)^2}$：$b^2≥0$，因此$b^2+1≥1$，平方后$(b^2+1)^2≥1$，加负号后被开方数恒小于0，不满足条件；
4. 最后看$\sqrt{(-\frac{y}{2})^2}$：平方数恒为非负数，因此被开方数满足$≥0$的要求，满足条件。
【解析】
解：根据二次根式的定义“形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子为二次根式”，逐个判断：
1. 对$\sqrt{x^2+1}$：
∵ $x^2≥0$，
∴ $x^2+1≥1＞0$，被开方数为非负数，是二次根式；
2. 对$\sqrt{a-2}(a≥2)$：
∵ $a≥2$，
∴ $a-2≥0$，被开方数为非负数，是二次根式；
3. 对$\sqrt{-(b^2+1)^2}$：
∵ $b^2≥0$，
∴ $b^2+1≥1$，则$(b^2+1)^2≥1$，
∴ $-(b^2+1)^2≤-1＜0$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式；
4. 对$\sqrt{(-\frac{y}{2})^2}$：
∵ 平方的结果非负，
∴ $(-\frac{y}{2})^2≥0$，被开方数为非负数，是二次根式。
综上，共有3个二次根式，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义，平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题关键是牢记二次根式对被开方数的非负要求，判断时不要忽略题目给出的字母取值限制条件。
【难度系数】
0.8
11.当$-2 ＜ x ＜ 0$时,下列各式中有意义的是 ……………………【 】
A.$\sqrt{x - 2}$
B.$\sqrt{x - 1}$
C.$\sqrt{1 + x}$
D.$\sqrt{1 - x}$
A.$\sqrt{x - 2}$
B.$\sqrt{x - 1}$
C.$\sqrt{1 + x}$
D.$\sqrt{1 - x}$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心依据是二次根式有意义的条件：根号下的被开方数必须大于或等于0。首先我们需要分别求出每个选项的二次根式有意义时x的取值范围，再判断哪个选项的取值范围完全包含题目给出的区间$-2 ＜ x ＜ 0$，即在该区间内被开方数恒满足非负要求。
【解析】
二次根式有意义的条件为：被开方数$≥ 0$。
选项A：要使$\sqrt{x - 2}$有意义，需满足$x-2≥0$，解得$x≥2$。题给区间$-2＜x＜0$内的所有值都不满足$x≥2$，故A不符合要求。
选项B：要使$\sqrt{x - 1}$有意义，需满足$x-1≥0$，解得$x≥1$。题给区间$-2＜x＜0$内的所有值都不满足$x≥1$，故B不符合要求。
选项C：要使$\sqrt{1 + x}$有意义，需满足$1+x≥0$，解得$x≥-1$。题给区间内$-2＜x＜-1$的部分不满足$x≥-1$，故C不符合要求。
选项D：要使$\sqrt{1 - x}$有意义，需满足$1-x≥0$，解得$x≤1$。题给区间$-2＜x＜0$内的所有值都满足$x≤1$，此时被开方数$1-x＞1＞0$，恒满足非负要求，故D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；区间范围判断
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考察对二次根式有意义条件的掌握，只需结合要求逐一验证选项即可，解题时要注意完整验证给定区间内的所有取值是否都满足要求。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是二次根式有意义的条件：根号下的被开方数必须大于或等于0。首先我们需要分别求出每个选项的二次根式有意义时x的取值范围，再判断哪个选项的取值范围完全包含题目给出的区间$-2 ＜ x ＜ 0$，即在该区间内被开方数恒满足非负要求。
【解析】
二次根式有意义的条件为：被开方数$≥ 0$。
选项A：要使$\sqrt{x - 2}$有意义，需满足$x-2≥0$，解得$x≥2$。题给区间$-2＜x＜0$内的所有值都不满足$x≥2$，故A不符合要求。
选项B：要使$\sqrt{x - 1}$有意义，需满足$x-1≥0$，解得$x≥1$。题给区间$-2＜x＜0$内的所有值都不满足$x≥1$，故B不符合要求。
选项C：要使$\sqrt{1 + x}$有意义，需满足$1+x≥0$，解得$x≥-1$。题给区间内$-2＜x＜-1$的部分不满足$x≥-1$，故C不符合要求。
选项D：要使$\sqrt{1 - x}$有意义，需满足$1-x≥0$，解得$x≤1$。题给区间$-2＜x＜0$内的所有值都满足$x≤1$，此时被开方数$1-x＞1＞0$，恒满足非负要求，故D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；区间范围判断
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考察对二次根式有意义条件的掌握，只需结合要求逐一验证选项即可，解题时要注意完整验证给定区间内的所有取值是否都满足要求。
【难度系数】
0.8
12.如果$\sqrt{3m - 1}$有意义，那么$m$能取的最小整数值是…………【 】
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以根据这个条件先列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围后，再在范围内找出符合要求的最小整数值，即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵二次根式$\sqrt{3m - 1}$有意义
∴被开方数满足$3m - 1 ≥ 0$
解不等式：
$3m ≥ 1$
$m ≥ \frac{1}{3}$
大于等于$\frac{1}{3}$的整数依次为1、2、3……，其中最小的整数是1。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是基础题，主要考查二次根式成立的前提条件，解题时注意审题，明确要求的是最小整数值，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以根据这个条件先列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围后，再在范围内找出符合要求的最小整数值，即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵二次根式$\sqrt{3m - 1}$有意义
∴被开方数满足$3m - 1 ≥ 0$
解不等式：
$3m ≥ 1$
$m ≥ \frac{1}{3}$
大于等于$\frac{1}{3}$的整数依次为1、2、3……，其中最小的整数是1。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是基础题，主要考查二次根式成立的前提条件，解题时注意审题，明确要求的是最小整数值，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.9
13.若$x$为任意实数，则下列各式中恒成立的是 ……………………【 】
A.$\sqrt{x^4}=x^2$
B.$\sqrt{x^4}=-x^2$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{x^2}=-x$
A.$\sqrt{x^4}=x^2$
B.$\sqrt{x^4}=-x^2$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{x^2}=-x$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质应用，解题核心是牢记二次根式的运算结果具有非负性，且$\sqrt{a^2}=|a|$（a为任意实数）。解题时先将各选项中被开方数转化为平方形式，再结合绝对值的性质，判断选项是否对任意实数x恒成立即可。
【解析】
根据二次根式的性质：对于任意实数a，$\sqrt{a^2}=|a|$，且二次根式的计算结果一定是非负数，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}$，由于任意实数的平方非负，即$x^2≥0$，因此$\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|=x^2$，对任意实数x恒成立；
选项B：$\sqrt{x^4}$的结果是非负数，当$x≠0$时，$-x^2＜0$，二者不可能相等，因此不恒成立；
选项C：$\sqrt{x^2}=|x|$，仅当$x≥0$时$\sqrt{x^2}=x$，若$x＜0$则$\sqrt{x^2}=-x≠ x$，因此不恒成立；
选项D：$\sqrt{x^2}=|x|$，仅当$x≤0$时$\sqrt{x^2}=-x$，若$x＞0$则$\sqrt{x^2}=x≠ -x$，因此不恒成立。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式的性质；2. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础考查题，易错点是忽略x为任意实数的条件，忘记二次根式开方结果的非负性，只要牢固掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的化简规则，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的性质应用，解题核心是牢记二次根式的运算结果具有非负性，且$\sqrt{a^2}=|a|$（a为任意实数）。解题时先将各选项中被开方数转化为平方形式，再结合绝对值的性质，判断选项是否对任意实数x恒成立即可。
【解析】
根据二次根式的性质：对于任意实数a，$\sqrt{a^2}=|a|$，且二次根式的计算结果一定是非负数，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}$，由于任意实数的平方非负，即$x^2≥0$，因此$\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|=x^2$，对任意实数x恒成立；
选项B：$\sqrt{x^4}$的结果是非负数，当$x≠0$时，$-x^2＜0$，二者不可能相等，因此不恒成立；
选项C：$\sqrt{x^2}=|x|$，仅当$x≥0$时$\sqrt{x^2}=x$，若$x＜0$则$\sqrt{x^2}=-x≠ x$，因此不恒成立；
选项D：$\sqrt{x^2}=|x|$，仅当$x≤0$时$\sqrt{x^2}=-x$，若$x＞0$则$\sqrt{x^2}=x≠ -x$，因此不恒成立。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式的性质；2. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础考查题，易错点是忽略x为任意实数的条件，忘记二次根式开方结果的非负性，只要牢固掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的化简规则，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
14.如果$x＜0$，那么化简代数式$\frac{x - \sqrt{x^2}}{2x}$的结果是 ....................................【 】
A.0
B.$-1$
C.0或$-1$
D.1
A.0
B.$-1$
C.0或$-1$
D.1
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的基本性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合题目给出的$x＜0$的条件，先化简根号部分，再代入代数式约分计算即可得到结果。思考步骤：第一步先根据二次根式性质转化$\sqrt{x^2}$为绝对值形式，第二步根据$x$的取值范围去掉绝对值符号，第三步代入代数式计算分子，第四步约分化简分式得到最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
已知$x＜0$，因此$|x|=-x$，将其代入代数式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x - (-x)}{2x}\\&=\frac{x+x}{2x}\\&=\frac{2x}{2x}\end{aligned}$
由$x＜0$可知$x≠0$，分式有意义，约分后结果为$1$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分式约分
【点评】
本题易错点是忽略$x＜0$的取值范围，错误将$\sqrt{x^2}$化简为$x$进而得到错误结果。解题时要注意结合给定的字母取值范围正确化简二次根式，同时注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的基本性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合题目给出的$x＜0$的条件，先化简根号部分，再代入代数式约分计算即可得到结果。思考步骤：第一步先根据二次根式性质转化$\sqrt{x^2}$为绝对值形式，第二步根据$x$的取值范围去掉绝对值符号，第三步代入代数式计算分子，第四步约分化简分式得到最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$
已知$x＜0$，因此$|x|=-x$，将其代入代数式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x - (-x)}{2x}\\&=\frac{x+x}{2x}\\&=\frac{2x}{2x}\end{aligned}$
由$x＜0$可知$x≠0$，分式有意义，约分后结果为$1$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分式约分
【点评】
本题易错点是忽略$x＜0$的取值范围，错误将$\sqrt{x^2}$化简为$x$进而得到错误结果。解题时要注意结合给定的字母取值范围正确化简二次根式，同时注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
15. 已知$a＞0,b＜0$,则化简$\sqrt{a^2}-\sqrt{(a-b)^2}$的结果是…………【 】
A.$2a - b$
B.$2a + b$
C.$-b$
D.$b$
A.$2a - b$
B.$2a + b$
C.$-b$
D.$b$
答案
D
解析
【分析】
要化简这个含二次根式的式子，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式转化为含绝对值的式子；再根据已知$a＞0、b＜0$的条件，分别判断两个绝对值内表达式的正负性；最后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a| - |a - b|$
∵ $a＞0$，
∴ $|a|=a$
∵ $b＜0$，
∴ $-b＞0$，因此$a - b = a + (-b) ＞ 0$，故$|a - b|=a - b$
将上述结果代入原式得：
$原式=a - (a - b) = a - a + b = b$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握二次根式与绝对值的转化关系，解题的易错点在于去绝对值符号和去括号时的符号处理，只要准确判断绝对值内式子的正负，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
要化简这个含二次根式的式子，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式转化为含绝对值的式子；再根据已知$a＞0、b＜0$的条件，分别判断两个绝对值内表达式的正负性；最后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a| - |a - b|$
∵ $a＞0$，
∴ $|a|=a$
∵ $b＜0$，
∴ $-b＞0$，因此$a - b = a + (-b) ＞ 0$，故$|a - b|=a - b$
将上述结果代入原式得：
$原式=a - (a - b) = a - a + b = b$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握二次根式与绝对值的转化关系，解题的易错点在于去绝对值符号和去括号时的符号处理，只要准确判断绝对值内式子的正负，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
16.要使式子$\frac{\sqrt{2x+1}}{x-1}$有意义，求$x$的取值范围。
答案
$x≥-\frac{1}{2}$ 且 $x≠ 1$
解析
【分析】
要使同时含有二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两个核心要求：第一，二次根式的被开方数必须是非负数；第二，分式的分母不能为0。解题时先分别根据两个要求列出对应的不等式，再分别求解不等式，最终取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
解：要使式子$\frac{\sqrt{2x+1}}{x-1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：
$2x+1≥0$
移项得$2x≥-1$，解得$x≥-\frac{1}{2}$
2. 分式的分母不为0：
$x-1≠0$，解得$x≠1$
将两个解集取公共部分，可得x的取值范围。
【答案】
$x≥-\frac{1}{2}$ 且 $x≠ 1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查代数式有意义的限制条件，易错点是容易遗漏分母不为0的要求，解题时要注意全面梳理代数式中所有部分的限制规则，避免漏项。
【难度系数】
0.8
要使同时含有二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两个核心要求：第一，二次根式的被开方数必须是非负数；第二，分式的分母不能为0。解题时先分别根据两个要求列出对应的不等式，再分别求解不等式，最终取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
解：要使式子$\frac{\sqrt{2x+1}}{x-1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：
$2x+1≥0$
移项得$2x≥-1$，解得$x≥-\frac{1}{2}$
2. 分式的分母不为0：
$x-1≠0$，解得$x≠1$
将两个解集取公共部分，可得x的取值范围。
【答案】
$x≥-\frac{1}{2}$ 且 $x≠ 1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查代数式有意义的限制条件，易错点是容易遗漏分母不为0的要求，解题时要注意全面梳理代数式中所有部分的限制规则，避免漏项。
【难度系数】
0.8
