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17.（本小题满分8分）
已知关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，若$(x_1+1)(x_2+1)=-1$，求$k$的值.
已知关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，若$(x_1+1)(x_2+1)=-1$，求$k$的值.
答案
17. 解：(1)由题意知，
$(-2)^2-4(k-1)＞0,$
解得 $k＜2,$
又$\because k-1≠0,$
$\therefore k≠1.$
$\therefore k$ 的取值范围是 $k＜2$ 且 $k≠1.$
(2)$\because$方程的两个实数根分别为 $x_1,\ x_2,$
$\therefore x_1+x_2=\frac{2}{k-1},\ x_1x_2=\frac{1}{k-1}.$
$\because (x_1+1)(x_2+1)=-1,$
$\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=-1,$
即$\frac{1}{k-1}+\frac{2}{k-1}+1=-1,$
解得 $k=-\frac{1}{2}.$
$(-2)^2-4(k-1)＞0,$
解得 $k＜2,$
又$\because k-1≠0,$
$\therefore k≠1.$
$\therefore k$ 的取值范围是 $k＜2$ 且 $k≠1.$
(2)$\because$方程的两个实数根分别为 $x_1,\ x_2,$
$\therefore x_1+x_2=\frac{2}{k-1},\ x_1x_2=\frac{1}{k-1}.$
$\because (x_1+1)(x_2+1)=-1,$
$\therefore x_1x_2+(x_1+x_2)+1=-1,$
即$\frac{1}{k-1}+\frac{2}{k-1}+1=-1,$
解得 $k=-\frac{1}{2}.$
