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1. 下列说法中,正确的是 ()
A.相等的弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中,较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等
A.相等的弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等
C.在同圆或等圆中,较长的弧所对的弦较长
D.相等的圆心角所对的弧相等
答案
1.B
2. 在$\odot O$中,弦AB的长等于圆的半径,则该弦所对的弧的度数为 ()
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.以上都不对
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.以上都不对
答案
2.D
解析
连接OA、OB，OA=OB=AB，△OAB为等边三角形，∠AOB=60°。弦AB所对的弧有优弧和劣弧，劣弧度数为60°，优弧度数为360°-60°=300°。题目未明确弧的类型，故答案为D。
3. 如图,AB是半圆O的直径,E是半圆O上一点,且$OE⊥AB$,C为$\overset{\frown}{BE}$的中点,则$∠A=$
22.5
$^{\circ}$.答案
3.22.5
解析
解：连接OC。
∵AB是半圆O的直径，OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°。
∵C为$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠BOC=∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOE=45°。
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA。
∵∠A+∠OCA=∠BOC=45°，
∴∠A=22.5°。
22.5
∵AB是半圆O的直径，OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°。
∵C为$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠BOC=∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOE=45°。
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA。
∵∠A+∠OCA=∠BOC=45°，
∴∠A=22.5°。
22.5
4. 如图,在$\odot O$中,AB、CD为弦,且$AB=CD$,则AC
=
BD(填“＞”“＜”或“=”).答案
4.=
解析
证明：
∵在$\odot O$中，$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AC=BD$。
=
∵在$\odot O$中，$AB=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AC=BD$。
=
5. 已知$\odot O$的一条弦AB把圆的周长分成$1:4$的两部分,则弦AB所对的圆心角的度数为
$72^{\circ}$
.答案
5.$72^{\circ}$
解析
弦AB把圆的周长分成$1:4$的两部分，圆的周长对应的圆心角为$360^{\circ}$，则弦AB所对的圆心角的度数为$\frac{1}{1 + 4} × 360^{\circ} = 72^{\circ}$。
$72^{\circ}$
$72^{\circ}$
6. 如图,正方形ABCD的四个顶点都在$\odot O$上,M为$\overset{\frown}{AD}$的中点,连接BM、CM.求证:$BM=CM$.
答案
6.
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ $M$ 为 $\overset{\frown}{AD}$ 的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即 $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $BM = CM$
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ $M$ 为 $\overset{\frown}{AD}$ 的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即 $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $BM = CM$
7. 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠A=50^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为 ()
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
7.A
解析
解：连接OA，OB。
∵OA=OB，∠A=50°，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-50°-50°=80°。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×80°=40°$。
答案：A
∵OA=OB，∠A=50°，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-50°-50°=80°。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×80°=40°$。
答案：A
8. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}$的度数是$\overset{\frown}{CD}$度数的2倍,则AB与2CD之间的数量关系为 ()
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB≤2CD$
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB≤2CD$
答案
8.C
解析
解：设$\overset{\frown}{CD}$的度数为$n°$，则$\overset{\frown}{AB}$的度数为$2n°$。
在$\odot O$上取点$E$，使$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}=n°$，连接$CE$、$ED$、$CD$。
则$\triangle CED$为等腰三角形，$CE=ED=CD$。
在$\triangle CED$中，根据三角形两边之和大于第三边，得$CE+ED＞CD$，即$2CD＞CD$（此步可省略，直接考虑$\triangle CED$中$CE+ED＞CD$不适用，应为在$\triangle CED$中，$CE=ED=CD$时为等边三角形，此处应构造$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=n°$，连接$AE$、$EB$，则$AE=EB=CD$）。
在$\triangle AEB$中，$AE=EB=CD$，$AB$为第三边，根据三角形两边之和大于第三边，得$AE+EB＞AB$，即$2CD＞AB$。
$\therefore AB＜2CD$。
答案：C
在$\odot O$上取点$E$，使$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}=n°$，连接$CE$、$ED$、$CD$。
则$\triangle CED$为等腰三角形，$CE=ED=CD$。
在$\triangle CED$中，根据三角形两边之和大于第三边，得$CE+ED＞CD$，即$2CD＞CD$（此步可省略，直接考虑$\triangle CED$中$CE+ED＞CD$不适用，应为在$\triangle CED$中，$CE=ED=CD$时为等边三角形，此处应构造$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=n°$，连接$AE$、$EB$，则$AE=EB=CD$）。
在$\triangle AEB$中，$AE=EB=CD$，$AB$为第三边，根据三角形两边之和大于第三边，得$AE+EB＞AB$，即$2CD＞AB$。
$\therefore AB＜2CD$。
答案：C
