登录
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为E。若CE=2，OC=3，则矩形ABCD的面积为（
A.24
B.12
C.10
D.8
B
）A.24
B.12
C.10
D.8
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先利用矩形对角线的性质：矩形对角线相等且互相平分，由已知OC的长度求出对角线BD的长度；再根据CE⊥BD，CE是BD边上的高，先计算出△BCD的面积，由于矩形的面积是△BCD面积的2倍，即可求出矩形的总面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$AC=BD$，$AC=2OC$
已知$OC=3$，则$AC=2×3=6$，因此$BD=AC=6$
∵$CE⊥ BD$，$CE=2$
∴$△ BCD$的面积为：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× CE=\frac{1}{2}×6×2=6$
∵矩形对角线将矩形分为两个面积相等的直角三角形
∴矩形ABCD的面积为：$S_{矩形ABCD}=2× S_{△ BCD}=2×6=12$
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、三角形面积计算、矩形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查矩形对角线性质的应用，解题的核心是通过矩形对角线的性质求出BD的长度，再结合高计算对应三角形面积进而得到矩形面积，熟练掌握矩形性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形对角线的性质：矩形对角线相等且互相平分，由已知OC的长度求出对角线BD的长度；再根据CE⊥BD，CE是BD边上的高，先计算出△BCD的面积，由于矩形的面积是△BCD面积的2倍，即可求出矩形的总面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$AC=BD$，$AC=2OC$
已知$OC=3$，则$AC=2×3=6$，因此$BD=AC=6$
∵$CE⊥ BD$，$CE=2$
∴$△ BCD$的面积为：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× CE=\frac{1}{2}×6×2=6$
∵矩形对角线将矩形分为两个面积相等的直角三角形
∴矩形ABCD的面积为：$S_{矩形ABCD}=2× S_{△ BCD}=2×6=12$
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、三角形面积计算、矩形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查矩形对角线性质的应用，解题的核心是通过矩形对角线的性质求出BD的长度，再结合高计算对应三角形面积进而得到矩形面积，熟练掌握矩形性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$DE⊥ AC$于点$E$，$DF⊥ BC$于点$F$，连接$EF$。若$AC=3$，$AB=5$，则$EF$的长为________。
答案
7.$\frac{12}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的直角边BC的长度；②根据DE⊥AC、DF⊥BC、∠ACB=90°，判定四边形ECFD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=CD，将求EF的长度转化为求CD的长度；③CD是Rt△ABC斜边上的高，用等面积法，结合△ABC面积的两种计算方式即可求出CD的长度，也就是EF的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
∵$DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
∴$∠ DEC=∠ ECF=∠ CFD=90°$，
∴四边形$DECF$是矩形，
根据矩形对角线相等的性质，得$EF=CD$。
∵$CD⊥ AB$，$△ ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得：$CD=\frac{12}{5}$，
∴$EF=CD=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理；矩形的判定与性质；等面积法求高
【点评】
本题是基础的几何综合题，将所求线段长度通过矩形性质转化为直角三角形斜边上的高是解题的突破口，解题过程用到了转化思想，需要熟练掌握矩形的判定、性质以及直角三角形的相关计算方法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的直角边BC的长度；②根据DE⊥AC、DF⊥BC、∠ACB=90°，判定四边形ECFD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=CD，将求EF的长度转化为求CD的长度；③CD是Rt△ABC斜边上的高，用等面积法，结合△ABC面积的两种计算方式即可求出CD的长度，也就是EF的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
∵$DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
∴$∠ DEC=∠ ECF=∠ CFD=90°$，
∴四边形$DECF$是矩形，
根据矩形对角线相等的性质，得$EF=CD$。
∵$CD⊥ AB$，$△ ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得：$CD=\frac{12}{5}$，
∴$EF=CD=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理；矩形的判定与性质；等面积法求高
【点评】
本题是基础的几何综合题，将所求线段长度通过矩形性质转化为直角三角形斜边上的高是解题的突破口，解题过程用到了转化思想，需要熟练掌握矩形的判定、性质以及直角三角形的相关计算方法。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$D$,$E$分别为$AB$,$AC$的中点,$DF ⊥ BC$,垂足为$F$,点$G$在$DE$的延长线上,$DG=FC$,连接$CG$.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求$BC$和$AC$的长.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求$BC$和$AC$的长.
答案
8.(1)证明:$\because D,E$分别为$AB,AC$的中点,
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC.$
$\because DG=FC,$
$\therefore$ 四边形$DFCG$是平行四边形.
又$DF⊥ BC$,
$\therefore ∠ DFC=90°,$
$\therefore$ 四边形$DFCG$是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC,$
$\therefore ∠ DFB=90°.$
$\because ∠ B=45°,$
$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形,
$\therefore BF=DF=3.$
$\because FC=DG=5,$
$\therefore BC=BF+FC=3+5=8.$
由(1)可知,$DE$是$△ ABC$的中位线,四边形$DFCG$是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4,CG=DF=3,∠ G=90°,$
$\therefore EG=DG-DE=5-4=1,$
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.$
$\because E$为$AC$的中点,
$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}.$
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,
$\therefore DE// BC.$
$\because DG=FC,$
$\therefore$ 四边形$DFCG$是平行四边形.
又$DF⊥ BC$,
$\therefore ∠ DFC=90°,$
$\therefore$ 四边形$DFCG$是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC,$
$\therefore ∠ DFB=90°.$
$\because ∠ B=45°,$
$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形,
$\therefore BF=DF=3.$
$\because FC=DG=5,$
$\therefore BC=BF+FC=3+5=8.$
由(1)可知,$DE$是$△ ABC$的中位线,四边形$DFCG$是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4,CG=DF=3,∠ G=90°,$
$\therefore EG=DG-DE=5-4=1,$
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.$
$\because E$为$AC$的中点,
$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}.$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形DFCG是矩形，可先证它是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥BC得到直角，即可证得矩形。
(2) 求BC的长时，可将BC拆分为BF+FC两段计算：已知∠B=45°、DF⊥BC，可得△BDF是等腰直角三角形，因此BF=DF=3；再结合已知DG=FC=5，即可求出BC。求AC的长时，利用E是AC中点，只需先求出CE的长：先由中位线定理得DE的长度，进而求出EG的长度，再结合矩形的性质得到CG的长度和∠G为直角，用勾股定理算出CE，乘以2即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC。
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形。
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 四边形DFCG是矩形。
(2) 解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°。
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3。
∵ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=4$，$CG=DF=3$，$∠G=90°$，
∴ $EG=DG-DE=5-4=1$，
∴ $CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵ E为AC的中点，
∴ $AC=2CE=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形DFCG是矩形，得证；
(2) BC的长为8，AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形和四边形的知识结合考察，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定逻辑、中位线的性质，以及特殊直角三角形和勾股定理的应用，理清线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形DFCG是矩形，可先证它是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥BC得到直角，即可证得矩形。
(2) 求BC的长时，可将BC拆分为BF+FC两段计算：已知∠B=45°、DF⊥BC，可得△BDF是等腰直角三角形，因此BF=DF=3；再结合已知DG=FC=5，即可求出BC。求AC的长时，利用E是AC中点，只需先求出CE的长：先由中位线定理得DE的长度，进而求出EG的长度，再结合矩形的性质得到CG的长度和∠G为直角，用勾股定理算出CE，乘以2即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC。
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形。
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 四边形DFCG是矩形。
(2) 解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°。
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3。
∵ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=4$，$CG=DF=3$，$∠G=90°$，
∴ $EG=DG-DE=5-4=1$，
∴ $CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵ E为AC的中点，
∴ $AC=2CE=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形DFCG是矩形，得证；
(2) BC的长为8，AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形和四边形的知识结合考察，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定逻辑、中位线的性质，以及特殊直角三角形和勾股定理的应用，理清线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
