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1 已知$\odot O$的半径为3cm，直线$l$上有一点到圆心$O$的距离为3cm，那么直线$l$与$\odot O$的位置关系是(
A.相切
B.相交
C.相离或相切
D.相切或相交
D
)。A.相切
B.相交
C.相离或相切
D.相切或相交
答案
D
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题给出直线l上存在一点到圆心O的距离等于半径3cm，需结合垂线段最短的性质分类讨论：①若该点是O向直线l作垂线的垂足，则圆心到直线的距离等于半径，此时直线与圆相切；②若该点不是垂足，根据垂线段最短，圆心到直线的距离会小于该点到圆心的距离3cm，即d＜r，此时直线与圆相交。因此两种位置关系都有可能。
【解析】
已知⊙O的半径r=3cm，设圆心O到直线l的距离为d。
∵直线l上有一点到圆心O的距离为3cm，根据垂线段最短的性质可得：d≤3cm。
分两种情况讨论：
1. 当d=3cm时，d=r，此时直线l与⊙O相切；
2. 当d＜3cm时，d＜r，此时直线l与⊙O相交。
综上，直线l与⊙O的位置关系为相切或相交，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，垂线段的性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的易错题，解题时容易误将“直线上一点到圆心的距离”等同于“圆心到直线的距离”而漏选相交的情况，核心考察对位置关系判定依据的理解以及分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题给出直线l上存在一点到圆心O的距离等于半径3cm，需结合垂线段最短的性质分类讨论：①若该点是O向直线l作垂线的垂足，则圆心到直线的距离等于半径，此时直线与圆相切；②若该点不是垂足，根据垂线段最短，圆心到直线的距离会小于该点到圆心的距离3cm，即d＜r，此时直线与圆相交。因此两种位置关系都有可能。
【解析】
已知⊙O的半径r=3cm，设圆心O到直线l的距离为d。
∵直线l上有一点到圆心O的距离为3cm，根据垂线段最短的性质可得：d≤3cm。
分两种情况讨论：
1. 当d=3cm时，d=r，此时直线l与⊙O相切；
2. 当d＜3cm时，d＜r，此时直线l与⊙O相交。
综上，直线l与⊙O的位置关系为相切或相交，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，垂线段的性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的易错题，解题时容易误将“直线上一点到圆心的距离”等同于“圆心到直线的距离”而漏选相交的情况，核心考察对位置关系判定依据的理解以及分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
2 下列说法正确的是(
A.长度相等的弧是等弧
B.三点确定一个圆
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.经过直径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线
D
)。A.长度相等的弧是等弧
B.三点确定一个圆
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.经过直径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线
答案
D
解析
【分析】
这是一道考查圆相关基础概念的辨析类选择题，解题时需要逐一对应每个选项涉及的定义、定理，重点核对每个结论成立的前提条件，缺漏前提的表述均为错误，通过排除法即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等弧的定义为：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧。仅长度相等的弧，弧度不一定相等，无法完全重合，不属于等弧，故A错误；
B. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过三点的圆，故B错误；
C. 切线的判定条件为：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线才是圆的切线。仅垂直于半径的直线可能与圆相交、相离，不一定是切线，故C错误；
D. 该表述符合圆的切线判定定理，直径属于特殊的半径，经过直径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线，故D正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等弧的定义；确定圆的条件；切线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略各个定理成立的前提条件，学习相关概念时要准确记忆完整表述，避免因漏记前提判断失误。
【难度系数】
0.75
这是一道考查圆相关基础概念的辨析类选择题，解题时需要逐一对应每个选项涉及的定义、定理，重点核对每个结论成立的前提条件，缺漏前提的表述均为错误，通过排除法即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等弧的定义为：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧。仅长度相等的弧，弧度不一定相等，无法完全重合，不属于等弧，故A错误；
B. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过三点的圆，故B错误；
C. 切线的判定条件为：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线才是圆的切线。仅垂直于半径的直线可能与圆相交、相离，不一定是切线，故C错误；
D. 该表述符合圆的切线判定定理，直径属于特殊的半径，经过直径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线，故D正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等弧的定义；确定圆的条件；切线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略各个定理成立的前提条件，学习相关概念时要准确记忆完整表述，避免因漏记前提判断失误。
【难度系数】
0.75
3 如图，P是$\odot O$外一点，PA、PB分别和$\odot O$切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作$\odot O$的切线分别交PA、PB于点D、E，若$△ PDE$的周长为12，则PA等于（
A.12
B.6
C.8
D.10
B
）。A.12
B.6
C.8
D.10
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。观察图形可知，PA、PB是点P向⊙O引的两条切线，DE是分别从点D、点E向⊙O引的切线，因此可以利用切线长相等的性质，将△PDE的周长的各段进行等量替换，最终转化为PA、PB的长度和，再结合PA=PB即可求出PA的长度。
【解析】
根据切线长定理：
∵ PA、PB分别与⊙O切于点A、B，
∴ PA = PB，
又
∵ DE是⊙O的切线，切点为C，分别交PA、PB于D、E，
∴ DA = DC，EC = EB。
△PDE的周长 = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE，
将DC=DA、CE=EB代入上式，可得：
△PDE的周长 = PD + DA + EB + PE = (PD + DA) + (PE + EB) = PA + PB，
∵ PA=PB，
∴ △PDE的周长 = 2PA，
已知△PDE的周长为12，
∴ 2PA = 12，解得PA=6。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是利用切线长定理实现线段的等量转化，将三角形周长转化为两条切线长的和，只要熟练掌握切线长定理，找准对应的相等线段，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。观察图形可知，PA、PB是点P向⊙O引的两条切线，DE是分别从点D、点E向⊙O引的切线，因此可以利用切线长相等的性质，将△PDE的周长的各段进行等量替换，最终转化为PA、PB的长度和，再结合PA=PB即可求出PA的长度。
【解析】
根据切线长定理：
∵ PA、PB分别与⊙O切于点A、B，
∴ PA = PB，
又
∵ DE是⊙O的切线，切点为C，分别交PA、PB于D、E，
∴ DA = DC，EC = EB。
△PDE的周长 = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE，
将DC=DA、CE=EB代入上式，可得：
△PDE的周长 = PD + DA + EB + PE = (PD + DA) + (PE + EB) = PA + PB，
∵ PA=PB，
∴ △PDE的周长 = 2PA，
已知△PDE的周长为12，
∴ 2PA = 12，解得PA=6。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是利用切线长定理实现线段的等量转化，将三角形周长转化为两条切线长的和，只要熟练掌握切线长定理，找准对应的相等线段，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
4 如图,在矩形ABCD中,BC=8,以AB为直径作$\odot O$,将矩形ABCD绕点B旋转,使所得矩形$A'BC'D'$的边$C'D'$与$\odot O$相切,切点为E,边$A'B$与$\odot O$相交于点F。若$BF=8$,则AB长为(
A.9
B.10
C.$8\sqrt{3}$
D.12
B
)。A.9
B.10
C.$8\sqrt{3}$
D.12
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到旋转后矩形的边长BC'=BC=8，且A'B与C'D'平行，因此两条平行线的距离为8；再结合切线的性质可知圆心O到切线C'D'的距离等于半径，接下来利用垂径定理得到弦BF的一半长度，通过勾股定理表示出圆心O到弦BF的距离，最后根据两平行线的距离等于O到两条直线的距离之和列方程求解半径，即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$2r$，则$\odot O$的半径为$r$，$OB=r$。
1. 由旋转的性质可得：矩形$A'BC'D'$中$BC'=BC=8$，且$A'B// C'D'$，因此平行线$A'B$和$C'D'$之间的距离为$BC'=8$。
2. 连接$OE$，$\because C'D'$与$\odot O$相切于点$E$，$\therefore OE⊥ C'D'$，$OE=r$，即点$O$到$C'D'$的距离为$r$。
3. 过点$O$作$OH⊥ BF$于点$H$，根据垂径定理可得：$BH=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×8=4$。
4. 在$Rt△ OBH$中，由勾股定理得：$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{r^2-4^2}=\sqrt{r^2-16}$，$OH$即点$O$到$A'B$的距离。
5. $\because$点$O$在平行线$A'B$和$C'D'$之间，$\therefore$点$O$到两条直线的距离之和等于两平行线的距离，即$OH+OE=8$，代入得$\sqrt{r^2-16}+r=8$。
6. 移项得$\sqrt{r^2-16}=8-r$，两边平方得$r^2-16=64-16r+r^2$，化简得$16r=80$，解得$r=5$。
7. 因此$AB=2r=2×5=10$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，垂径定理，旋转的性质
【点评】
本题是几何变换与圆结合的典型题型，综合性较强，解题的关键是合理作出辅助线，找到平行线距离、半径、弦心距之间的等量关系列方程求解，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用旋转的性质得到旋转后矩形的边长BC'=BC=8，且A'B与C'D'平行，因此两条平行线的距离为8；再结合切线的性质可知圆心O到切线C'D'的距离等于半径，接下来利用垂径定理得到弦BF的一半长度，通过勾股定理表示出圆心O到弦BF的距离，最后根据两平行线的距离等于O到两条直线的距离之和列方程求解半径，即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$2r$，则$\odot O$的半径为$r$，$OB=r$。
1. 由旋转的性质可得：矩形$A'BC'D'$中$BC'=BC=8$，且$A'B// C'D'$，因此平行线$A'B$和$C'D'$之间的距离为$BC'=8$。
2. 连接$OE$，$\because C'D'$与$\odot O$相切于点$E$，$\therefore OE⊥ C'D'$，$OE=r$，即点$O$到$C'D'$的距离为$r$。
3. 过点$O$作$OH⊥ BF$于点$H$，根据垂径定理可得：$BH=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×8=4$。
4. 在$Rt△ OBH$中，由勾股定理得：$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{r^2-4^2}=\sqrt{r^2-16}$，$OH$即点$O$到$A'B$的距离。
5. $\because$点$O$在平行线$A'B$和$C'D'$之间，$\therefore$点$O$到两条直线的距离之和等于两平行线的距离，即$OH+OE=8$，代入得$\sqrt{r^2-16}+r=8$。
6. 移项得$\sqrt{r^2-16}=8-r$，两边平方得$r^2-16=64-16r+r^2$，化简得$16r=80$，解得$r=5$。
7. 因此$AB=2r=2×5=10$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，垂径定理，旋转的性质
【点评】
本题是几何变换与圆结合的典型题型，综合性较强，解题的关键是合理作出辅助线，找到平行线距离、半径、弦心距之间的等量关系列方程求解，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
5 如图，$\odot O$ 的直径 $AB=10$，$DE$ 是弦，$AB ⊥ DE$，$\overset{\frown}{CEB}=\overset{\frown}{EBD}$，$\sin∠ BAC=\frac{4}{5}$，$AD$ 的延长线与 $CB$ 的延长线相交于点 $F$，$DB$ 的延长线与 $OE$ 的延长线相交于点 $G$，连接 $CG$。有下列结论：① $∠ DBF=3∠ DAB$；② $CG$ 是 $\odot O$ 的切线；③ $B$、$E$ 两点间的距离是 $2\sqrt{3}$；④ $AD=4\sqrt{5}$，其中正确的个数有(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用圆的基本性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理、等弧对等角/等弦）推导基础边角关系，再逐个验证4个结论：①利用三角形外角性质判断角度关系；②通过全等三角形推导垂直关系判定切线；③结合三角函数和勾股定理求BE长度；④用勾股定理计算AD长度，最终统计正确结论的个数。
【解析】
已知⊙O直径$AB=10$，故半径$OA=OB=OC=OE=5$，且直径所对圆周角为直角，得$∠ACB=∠ADB=90°$。
由$\sin∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，代入$AB=10$得$BC=8$，再由勾股定理得$AC=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
1. 验证结论①：
$∠DBF$是$△ ABD$的外角，故$∠DBF=∠DAB+∠ADB=∠DAB+90°$。若$∠DBF=3∠DAB$，则$2∠DAB=90°$即$∠DAB=45°$，此时$AD=BD$，但由后续计算可知$BD≠AD$，故①错误。
2. 验证结论②：
由$AB⊥DE$，根据垂径定理得$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，结合题设$\overset{\frown}{CEB}=\overset{\frown}{EBD}$，可推导得$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，故圆心角$∠COE=∠BOE$，即$∠COG=∠BOG$。
在$△ COG$和$△ BOG$中：$OC=OB$，$∠COG=∠BOG$，$OG=OG$，故$△ COG≌△ BOG(\mathrm{SAS})$，得$∠OCG=∠OBG$。
由$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$得$BE=BD$，结合$OE=OD$，可知$OG$是$BD$的垂直平分线，故$OG⊥BD$即$∠OBG=90°$，因此$∠OCG=90°$，$OC⊥CG$，$CG$是$\odot O$的切线，故②正确。
3. 验证结论③：
过$E$作$EH⊥OB$于$H$，$∠EOH=∠BAC$，故$\sin∠EOH=\frac{4}{5}$，$\cos∠EOH=\frac{3}{5}$。
则$EH=OE·\sin∠EOH=5×\frac{4}{5}=4$，$OH=OE·\cos∠EOH=5×\frac{3}{5}=3$，$BH=OB-OH=5-3=2$，由勾股定理得$BE=\sqrt{EH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}≠2\sqrt{3}$，故③错误。
4. 验证结论④：
由等弧对等弦得$BD=BE=2\sqrt{5}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，故④正确。
综上，②④2个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，切线的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质、切线判定、勾股定理与三角函数的应用，需要熟练掌握等弧与角、弦的转化关系，逐个验证结论，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先利用圆的基本性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理、等弧对等角/等弦）推导基础边角关系，再逐个验证4个结论：①利用三角形外角性质判断角度关系；②通过全等三角形推导垂直关系判定切线；③结合三角函数和勾股定理求BE长度；④用勾股定理计算AD长度，最终统计正确结论的个数。
【解析】
已知⊙O直径$AB=10$，故半径$OA=OB=OC=OE=5$，且直径所对圆周角为直角，得$∠ACB=∠ADB=90°$。
由$\sin∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，代入$AB=10$得$BC=8$，再由勾股定理得$AC=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
1. 验证结论①：
$∠DBF$是$△ ABD$的外角，故$∠DBF=∠DAB+∠ADB=∠DAB+90°$。若$∠DBF=3∠DAB$，则$2∠DAB=90°$即$∠DAB=45°$，此时$AD=BD$，但由后续计算可知$BD≠AD$，故①错误。
2. 验证结论②：
由$AB⊥DE$，根据垂径定理得$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，结合题设$\overset{\frown}{CEB}=\overset{\frown}{EBD}$，可推导得$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，故圆心角$∠COE=∠BOE$，即$∠COG=∠BOG$。
在$△ COG$和$△ BOG$中：$OC=OB$，$∠COG=∠BOG$，$OG=OG$，故$△ COG≌△ BOG(\mathrm{SAS})$，得$∠OCG=∠OBG$。
由$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$得$BE=BD$，结合$OE=OD$，可知$OG$是$BD$的垂直平分线，故$OG⊥BD$即$∠OBG=90°$，因此$∠OCG=90°$，$OC⊥CG$，$CG$是$\odot O$的切线，故②正确。
3. 验证结论③：
过$E$作$EH⊥OB$于$H$，$∠EOH=∠BAC$，故$\sin∠EOH=\frac{4}{5}$，$\cos∠EOH=\frac{3}{5}$。
则$EH=OE·\sin∠EOH=5×\frac{4}{5}=4$，$OH=OE·\cos∠EOH=5×\frac{3}{5}=3$，$BH=OB-OH=5-3=2$，由勾股定理得$BE=\sqrt{EH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}≠2\sqrt{3}$，故③错误。
4. 验证结论④：
由等弧对等弦得$BD=BE=2\sqrt{5}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，故④正确。
综上，②④2个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，切线的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质、切线判定、勾股定理与三角函数的应用，需要熟练掌握等弧与角、弦的转化关系，逐个验证结论，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
