26 如图,已知AB是$\odot O$的直径,$AB=8$,点C在半径OA上(点C与点O、A不重合),过点C作AB的垂线交$\odot O$于点D,连接OD,过点B作OD的平行线交$\odot O$于点E、交射线CD于点F。
(1) 若$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{BE}$,求$∠ F$的度数。
(2) 设$CO=x$,$EF=y$,写出$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围。
(3) 将$△ COD$沿OD翻折至$△ POD$,若$△ PBE$为等腰三角形,求OC的长。

第26题图 备用图

(1) 连接OE。因为$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{BE}$,所以∠BOE=∠EOD。因为OD // BF,所以∠DOE=∠BEO。因为OB=OE,所以∠OBE=∠OEB,所以∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°。因为CF ⊥ AB,所以∠FCB=90°,所以∠F=30°。
(2) 如图①,连接OE,作OH ⊥ BE,垂足为点H。在△HBO和△COD中,因为$\begin{cases}∠DCO=∠OHB=90°,\\∠OBE=∠COD,\\OB=OD,\end{cases}$所以△HBO ≌ △COD,所以CO=BH=x,所以BE=2x。因为OD // BF,所以△COD ∽ △CBF,所以$\frac{OD}{BF}=\frac{OC}{BC}$,所以$\frac{4}{2x+y}=\frac{x}{4+x}$,所以$y=\frac{4x+16-2x^2}{x}(0＜x＜4)$。
(3) 因为∠COD=∠OBE,∠OBE=∠OEB,∠DOE=∠OEB,所以∠COD=∠DOE,所以C关于直线OD的对称点P在线段OE上。如图②,设CO=x,则OP=OC=x,则PE=OE-OP=4-x,则(2)得BE=2x。
① 当PB=PE时,∠PBE=∠PEB,所以∠PBE=∠OBE,不合题意,舍去;
② 当EB=EP时,2x=4-x,解得x=$\frac{4}{3}$;
③ 当BE=BP时,作BM ⊥ OE,垂足为点M,所以EM=$\frac{1}{2}PE=\frac{4-x}{2}$,所以∠OEB=∠COD,∠BME=∠DCO=90°,所以△BEM ∽ △DOC,所以$\frac{BE}{DO}=\frac{EM}{OC}$,所以$\frac{2x}{4}=\frac{\frac{4-x}{2}}{x}$,整理得$x^2+x-4=0$,解得$x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$(舍去)。
综上所述,当OC的长为$\frac{4}{3}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$时,△PBE为等腰三角形。

【分析】
(1) 求∠F的度数时，先结合弧相等推出对应圆心角相等，再利用平行线性质和等腰三角形性质证明△OBE是等边三角形，得到∠OBE的度数，最后结合CF⊥AB，利用直角三角形两锐角互余求解即可。
(2) 求y与x的函数表达式时，先作OH⊥BE，通过AAS证明△HBO≌△COD得到BE=2x，再根据OD//BF证明△COD∽△CBF，利用相似三角形对应边成比例列等式，整理即可得到函数关系，结合点C的位置确定x的取值范围。
(3) 先根据角度关系和翻折性质确定点P在OE上，再分PB=PE、EB=EP、BE=BP三种情况讨论△PBE为等腰三角形的情况，舍去不符合题意的情况，列方程求解后舍去负根即可得到OC的长。
【解析】
(1) 连接OE。
∵ $\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ ∠BOE=∠EOD。
∵ OD//BF，
∴ ∠DOE=∠BEO。
∵ OB=OE，
∴ ∠OBE=∠OEB，
∴ ∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°。
∵ CF⊥AB，
∴ ∠FCB=90°，
∴ ∠F=90°-60°=30°。
(2) 如图①，连接OE，作OH⊥BE，垂足为点H。
在△HBO和△COD中，
$\begin{cases}∠DCO=∠OHB=90°,\\∠OBE=∠COD,\\OB=OD,\end{cases}$
∴ △HBO ≌ △COD（AAS），
∴ CO=BH=x，
∵ OH⊥BE，
∴ BE=2BH=2x。
∵ OD//BF，
∴ △COD ∽ △CBF，
∴ $\frac{OD}{BF}=\frac{OC}{BC}$，
∵ AB=8，
∴ OD=OB=4，BC=OB+OC=4+x，BF=BE+EF=2x+y，
∴ $\frac{4}{2x+y}=\frac{x}{4+x}$，
整理得 $y=\frac{4x+16-2x^2}{x}$，
∵ 点C与点O、A不重合，
∴ $0＜x＜4$。
(3)
∵ ∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴ ∠COD=∠DOE，
∴ 点C关于直线OD的对称点P在线段OE上。
如图②，设CO=x，则由翻折性质得OP=OC=x，
∴ PE=OE-OP=4-x，由(2)得BE=2x。
分三种情况讨论：
① 当PB=PE时，∠PBE=∠PEB，此时∠PBE=∠OBE，点P与点O重合，不符合题意，舍去；
② 当EB=EP时，$2x=4-x$，解得$x=\frac{4}{3}$；
③ 当BE=BP时，作BM⊥OE，垂足为点M，
∴ EM=$\frac{1}{2}PE=\frac{4-x}{2}$，
∵ ∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴ △BEM ∽ △DOC，
∴ $\frac{BE}{DO}=\frac{EM}{OC}$，即$\frac{2x}{4}=\frac{\frac{4-x}{2}}{x}$，
整理得$x^2+x-4=0$，解得$x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（不符合x＞0，舍去）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠F=30°}$

(2) $\boldsymbol{y=\frac{4x+16-2x^2}{x}(0＜x＜4)}$
(3) OC的长为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$或$\boldsymbol{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}$

【知识点】
圆的基本性质，全等与相似三角形的判定与性质，图形翻折的性质
【点评】
本题属于圆的综合题，融合了弧与圆心角的关系、全等/相似三角形、图形翻折、等腰三角形分类讨论等多个考点，综合性较强。解题时要学会结合已知条件构造合适的辅助线，分类讨论时需注意验证解是否符合题意，避免出现多解、错解的问题。
【难度系数】
0.3