3.[2025南通]综合与实践:学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动,已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成,兴趣小组设计了以下两种方案:

(1)求方案一中与墙垂直的边的长度;
(2)要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为多少米?

(1)设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，
根据题意，得$x(60-2x)=450$,解得$x_1=x_2=15$.
答：与墙垂直的边的长度为15 m.
(2)设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，
根据题意，得$S=\frac{1}{3}t(60+3+3-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363$.
∵$-\frac{1}{3}＜0$,
∴当t=33时，S有最大值363.
答：当与墙平行的边的长度为33 m时，花圃的面积最大.

4. 如图①,在平面直角坐标系中,O为原点,∠OBA=90°,BO=BA,顶点A(4,0),点B在第一象限,矩形OCDE的顶点E的坐标为$(-\frac{7}{2},0)$,点C在y轴的正半轴上,点D在第二象限,射线DC经过点B.
(1)求点B的坐标.
(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移,得到矩形O'C'D'E',点O,C,D,E的对应点分别为O',C',D',E'.设OO'=t,矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②,当点E'在x轴正半轴上,且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为四边形时,D'E'与OB相交于点F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②当$\frac{5}{2}≤t≤\frac{9}{2}$时,求S的取值范围.(直接写出结果即可)

(1)如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H. 由点A(4,0)，得OA=4.
∵BO=BA，∠OBA = 90°，
∴$OH = BH =\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×4=2$,
∴点B的坐标为(2,2).

(2)①由点$E(-\frac{7}{2},0)$得$OE=\frac{7}{2}$，由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，
∴∠O'E'D'=90°,$O'E'=OE=\frac{7}{2}$，
∴$OE'=OO'-O'E'=t-\frac{7}{2}$,∠FE'O=90°.
∵BO=BA，∠OBA=90°,
∴∠BOA=∠BAO=45°,
∴∠OFE'=90°-∠BOA=45°,
∴∠FOE'=∠OFE',
∴$FE'=OE'=t-\frac{7}{2}$，
∴$S_{△ FOE'}=\frac{1}{2}OE'·FE'=\frac{1}{2}(t-\frac{7}{2})^2$.
∴$S=S_{△ OAB}-S_{△ FOE'}=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}(t-\frac{7}{2})^2$,即$S=-\frac{1}{2}t^2+\frac{7}{2}t-\frac{17}{8}(4＜t＜\frac{11}{2})$.
②S的取值范围为$\frac{23}{8}≤S≤\frac{63}{16}$. 【点拨】当$4≤t≤\frac{9}{2}$时，由①知$S=-\frac{1}{2}t^2+\frac{7}{2}t-\frac{17}{8}=-\frac{1}{2}(t-\frac{7}{2})^2+4$，
∴当$t=\frac{9}{2}$时，S有最小值为$\frac{7}{2}$,当t=4时，S有最大值为$\frac{31}{8}$.
∴此时$\frac{7}{2}≤S≤\frac{31}{8}$;当$\frac{7}{2}＜t＜4$时，如图②，令O'C'与AB交于点M,D'E'与OB交于点N,
∴易得$S=S_{△ OAB}-S_{△ OE'N}-S_{△ O'AM}=4-\frac{1}{2}(t-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{2}(4-t)^2=-t^2+\frac{15}{2}t-\frac{81}{8}=-(t-\frac{15}{4})^2+\frac{63}{16}$.
∵-1＜0,
∴当$t=\frac{15}{4}$时，S有最大值为$\frac{63}{16}$,当$t=\frac{7}{2}$或4时，$S=\frac{31}{8}$,
∴$\frac{31}{8}＜S≤\frac{63}{16}$;当$\frac{5}{2}≤t≤\frac{7}{2}$时，如图③，令O'C'与AB交于点Q，
∴易得$S=S_{△ OAB}-S_{△ O'AQ}=4-\frac{1}{2}(4-t)^2=-\frac{1}{2}(t-4)^2+4$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当$t=\frac{5}{2}$时，S有最小值为$\frac{23}{8}$,当$t=\frac{7}{2}$时，S有最大值为$\frac{31}{8}$,
∴$\frac{23}{8}≤S≤\frac{31}{8}$.
综上，S的取值范围为$\frac{23}{8}≤S≤\frac{63}{16}$.