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1 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且$BD=CE$，连接DE交BC于点F，试说明$DF=EF$。
答案
证明:如图,过点 D 作 $DG// AC$ 交 BC 于点 G.
因为 $AB=AC$,所以$∠ B=∠ ACB$.
因为 $DG// AC$,所以$∠ ACB=∠ DGB,∠ DGC=∠ BCE$,
所以$∠ DGB=∠ B$,所以 $DG=DB=CE$.
在$△ DFG$ 和$△ EFC$ 中,$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC,\\∠ DGF=∠ ECF,\\DG=EC,\end{cases}$
所以$△ DFG≌△ EFC$(AAS),所以 $DF=EF$.
解析
【分析】
要证明$DF=EF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知，$DF$所在的$△ DFB$和$EF$所在的$△ EFC$不满足全等条件，因此需要添加辅助线构造全等三角形。我们可以过点$D$作$DG// AC$交$BC$于$G$，先利用等腰三角形和平行线的性质推出$DG=CE$，再证明$△ DFG$和$△ EFC$全等，即可得到结论。
【解析】
证明:如图,过点 D 作 $DG// AC$ 交 BC 于点 G.
因为 $AB=AC$,所以$∠ B=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）.
因为 $DG// AC$,所以$∠ ACB=∠ DGB,∠ DGC=∠ BCE$（两直线平行，同位角、内错角相等）,
所以$∠ DGB=∠ B$,根据等角对等边可得$DG=DB$，又因为$BD=CE$，所以$DG=CE$.
在$△ DFG$ 和$△ EFC$ 中,
$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC（对顶角相等）,\\∠ DGF=∠ ECF,\\DG=EC,\end{cases}$
所以$△ DFG≌△ EFC$(AAS),
根据全等三角形对应边相等，可得 $DF=EF$.
【答案】
证明:如图,过点 D 作 $DG// AC$ 交 BC 于点 G.
因为 $AB=AC$,所以$∠ B=∠ ACB$.
因为 $DG// AC$,所以$∠ ACB=∠ DGB,∠ DGC=∠ BCE$,
所以$∠ DGB=∠ B$,所以 $DG=DB=CE$.
在$△ DFG$ 和$△ EFC$ 中,$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC,\\∠ DGF=∠ ECF,\\DG=EC,\end{cases}$
所以$△ DFG≌△ EFC$(AAS),所以 $DF=EF$.
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段相等的典型题型，通过作平行线的辅助线，既构造出等腰三角形得到相等的边，又得到了全等需要的等角，将分散的已知条件整合，体现了转化的数学思想，这类作辅助线的方法在几何证明中非常常用。
【难度系数】
0.6
要证明$DF=EF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知，$DF$所在的$△ DFB$和$EF$所在的$△ EFC$不满足全等条件，因此需要添加辅助线构造全等三角形。我们可以过点$D$作$DG// AC$交$BC$于$G$，先利用等腰三角形和平行线的性质推出$DG=CE$，再证明$△ DFG$和$△ EFC$全等，即可得到结论。
【解析】
证明:如图,过点 D 作 $DG// AC$ 交 BC 于点 G.
因为 $AB=AC$,所以$∠ B=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）.
因为 $DG// AC$,所以$∠ ACB=∠ DGB,∠ DGC=∠ BCE$（两直线平行，同位角、内错角相等）,
所以$∠ DGB=∠ B$,根据等角对等边可得$DG=DB$，又因为$BD=CE$，所以$DG=CE$.
在$△ DFG$ 和$△ EFC$ 中,
$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC（对顶角相等）,\\∠ DGF=∠ ECF,\\DG=EC,\end{cases}$
所以$△ DFG≌△ EFC$(AAS),
根据全等三角形对应边相等，可得 $DF=EF$.
【答案】
证明:如图,过点 D 作 $DG// AC$ 交 BC 于点 G.
因为 $AB=AC$,所以$∠ B=∠ ACB$.
因为 $DG// AC$,所以$∠ ACB=∠ DGB,∠ DGC=∠ BCE$,
所以$∠ DGB=∠ B$,所以 $DG=DB=CE$.
在$△ DFG$ 和$△ EFC$ 中,$\begin{cases}∠ DFG=∠ EFC,\\∠ DGF=∠ ECF,\\DG=EC,\end{cases}$
所以$△ DFG≌△ EFC$(AAS),所以 $DF=EF$.
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段相等的典型题型，通过作平行线的辅助线，既构造出等腰三角形得到相等的边，又得到了全等需要的等角，将分散的已知条件整合，体现了转化的数学思想，这类作辅助线的方法在几何证明中非常常用。
【难度系数】
0.6
2 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=3∠ C$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$BE⊥ AD$，垂足为$E$. 求证：$BE=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$. 
答案
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
因为 AD 是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAD=∠ CAD$.
因为 $BE⊥ AD$,所以$∠ AEB=∠ AEF=90°$.
在$△ BAE$ 和$△ FAE$ 中,$\begin{cases}∠ BAE=∠ FAE,\\AE=AE,\\∠ AEB=∠ AEF,\end{cases}$
所以$△ BAE≌△ FAE$(ASA),
所以 $BE=EF=\dfrac{1}{2}BF,AB=AF,∠ ABF=∠ AFB$.
因为$∠ AFB=∠ CBF+∠ C$,
所以$∠ ABF=∠ CBF+∠ C$.
因为$∠ ABC=3∠ C$,所以$∠ ABF+∠ CBF=3∠ C$,
所以$∠ CBF+∠ C+∠ CBF=3∠ C$,
所以$∠ CBF=∠ C$,所以 $FB=FC$,
所以 $BE=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{1}{2}(AC-AF)=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.
解析
【分析】
要证明线段的倍分关系$BE=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$，可从已知特征入手推导：首先看到AD是$∠ BAC$的平分线，且$BE⊥ AD$，遇到“角平分线+边上的垂线”的结构，通常通过延长BE交AC于点F构造全等三角形，可先得到$AB=AF$、$BE=\dfrac{1}{2}BF$，此时$AC-AB$即可转化为$AC-AF=CF$，接下来只需证明$BF=CF$即可推出结论；再结合已知$∠ ABC=3∠ C$，利用三角形外角性质推导角的等量关系，证明$∠ CBF=∠ C$就能得到$FB=FC$，完成证明。
【解析】
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
因为 AD 是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAD=∠ CAD$.
因为 $BE⊥ AD$,所以$∠ AEB=∠ AEF=90°$.
在$△ BAE$ 和$△ FAE$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ FAE,\\AE=AE,\\∠ AEB=∠ AEF,\end{cases}$
所以$△ BAE≌△ FAE$(ASA),
所以 $BE=EF=\dfrac{1}{2}BF,AB=AF,∠ ABF=∠ AFB$.
因为$∠ AFB$是$△ BCF$的外角，所以$∠ AFB=∠ CBF+∠ C$,
因此$∠ ABF=∠ CBF+∠ C$.
因为$∠ ABC=3∠ C$,所以$∠ ABF+∠ CBF=3∠ C$,
将$∠ ABF=∠ CBF+∠ C$代入得：$∠ CBF+∠ C+∠ CBF=3∠ C$,
化简得$∠ CBF=∠ C$,根据等角对等边得 $FB=FC$,
所以 $BE=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{1}{2}(AC-AF)=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.
【答案】
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是构造辅助线解决几何证明的典型题型，解题核心是掌握“角平分线+垂线构造全等/等腰三角形”的辅助线技巧，通过辅助线将待证的线段倍分关系逐步转化，再结合角的数量关系推导边的等量关系即可解题，这类方法是处理角平分线相关线段证明题的常用思路。
【难度系数】
0.6
要证明线段的倍分关系$BE=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$，可从已知特征入手推导：首先看到AD是$∠ BAC$的平分线，且$BE⊥ AD$，遇到“角平分线+边上的垂线”的结构，通常通过延长BE交AC于点F构造全等三角形，可先得到$AB=AF$、$BE=\dfrac{1}{2}BF$，此时$AC-AB$即可转化为$AC-AF=CF$，接下来只需证明$BF=CF$即可推出结论；再结合已知$∠ ABC=3∠ C$，利用三角形外角性质推导角的等量关系，证明$∠ CBF=∠ C$就能得到$FB=FC$，完成证明。
【解析】
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
因为 AD 是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAD=∠ CAD$.
因为 $BE⊥ AD$,所以$∠ AEB=∠ AEF=90°$.
在$△ BAE$ 和$△ FAE$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ FAE,\\AE=AE,\\∠ AEB=∠ AEF,\end{cases}$
所以$△ BAE≌△ FAE$(ASA),
所以 $BE=EF=\dfrac{1}{2}BF,AB=AF,∠ ABF=∠ AFB$.
因为$∠ AFB$是$△ BCF$的外角，所以$∠ AFB=∠ CBF+∠ C$,
因此$∠ ABF=∠ CBF+∠ C$.
因为$∠ ABC=3∠ C$,所以$∠ ABF+∠ CBF=3∠ C$,
将$∠ ABF=∠ CBF+∠ C$代入得：$∠ CBF+∠ C+∠ CBF=3∠ C$,
化简得$∠ CBF=∠ C$,根据等角对等边得 $FB=FC$,
所以 $BE=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{1}{2}(AC-AF)=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.
【答案】
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是构造辅助线解决几何证明的典型题型，解题核心是掌握“角平分线+垂线构造全等/等腰三角形”的辅助线技巧，通过辅助线将待证的线段倍分关系逐步转化，再结合角的数量关系推导边的等量关系即可解题，这类方法是处理角平分线相关线段证明题的常用思路。
【难度系数】
0.6
3 如图，在$△ ABC$中，$BC=AC$，$∠ ACB=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，$AE⊥ BD$，交$BD$延长线于点$E$。
（1）求证：$∠ BAE=∠ ADE$；
（2）请写出$AE$与$BD$的数量关系，并说明理由。
（1）求证：$∠ BAE=∠ ADE$；
（2）请写出$AE$与$BD$的数量关系，并说明理由。
答案
（1）证明:因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ CBD=∠ ABD$.
因为 $AE⊥ BD$,所以$∠ AEB=90°$.
又$∠ ACB=90°,∠ BDC=∠ ADE$,
所以$∠ CBD=∠ DAE$,所以$∠ ABD=∠ DAE$,
所以$∠ ADE=∠ BAE$.
（2）解:$BD=2AE$.理由如下:
如图,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.
在$△ CBD$ 和$△ CAF$ 中,$\begin{cases}∠ CBD=∠ CAF,\\CB=CA,\\∠ BCD=∠ ACF,\end{cases}$
所以$△ CBD≌△ CAF$ (ASA),所以 $BD=AF$.
因为 BD 平分$∠ ABC,BE⊥ AF$,
所以 $AE=EF$,所以 $BD=2AE$.
解析
【分析】
（1）要证明∠BAE=∠ADE，首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余的性质、对顶角相等的性质，通过多次角的等量代换即可推导得出结论。
（2）要探究AE与BD的数量关系，观察到BD是角平分线且BE垂直于AE，可通过延长AE交BC的延长线于点F，先利用等腰三角形“三线合一”得到AF=2AE，再证明△CBD和△CAF全等得到BD=AF，即可推出二者的数量关系。
【解析】
（1）证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABD+∠BAE=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°，且∠BDC=∠ADE（对顶角相等），
∴∠CBD=∠DAE，结合∠CBD=∠ABD可得∠ABD=∠DAE。
∵∠ADE+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABD=90°，且∠ABD=∠DAE，
∴∠BAE=∠ADE。
（2）解：$BD=2AE$，理由如下：
如图，延长AE交BC的延长线于点F。
在$△ CBD$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠CBD=∠CAF,\\CB=CA,\\∠BCD=∠ACF=90°,\end{cases}$
∴$△ CBD≌△ CAF$（ASA），
∴$BD=AF$。
∵BD平分∠ABC，$BE⊥AF$，
∴$△ ABF$为等腰三角形，BE是AF边上的中线，即$AE=EF$，
∴$AF=2AE$，结合$BD=AF$可得$BD=2AE$。
【答案】
（1）∠BAE=∠ADE得证；
（2）$BD=2AE$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题以等腰直角三角形为背景，考查角的等量关系证明和线段倍分关系推导，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”条件下构造等腰三角形的辅助线作法，熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质解题。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠BAE=∠ADE，首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余的性质、对顶角相等的性质，通过多次角的等量代换即可推导得出结论。
（2）要探究AE与BD的数量关系，观察到BD是角平分线且BE垂直于AE，可通过延长AE交BC的延长线于点F，先利用等腰三角形“三线合一”得到AF=2AE，再证明△CBD和△CAF全等得到BD=AF，即可推出二者的数量关系。
【解析】
（1）证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABD+∠BAE=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°，且∠BDC=∠ADE（对顶角相等），
∴∠CBD=∠DAE，结合∠CBD=∠ABD可得∠ABD=∠DAE。
∵∠ADE+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABD=90°，且∠ABD=∠DAE，
∴∠BAE=∠ADE。
（2）解：$BD=2AE$，理由如下：
如图，延长AE交BC的延长线于点F。
在$△ CBD$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠CBD=∠CAF,\\CB=CA,\\∠BCD=∠ACF=90°,\end{cases}$
∴$△ CBD≌△ CAF$（ASA），
∴$BD=AF$。
∵BD平分∠ABC，$BE⊥AF$，
∴$△ ABF$为等腰三角形，BE是AF边上的中线，即$AE=EF$，
∴$AF=2AE$，结合$BD=AF$可得$BD=2AE$。
【答案】
（1）∠BAE=∠ADE得证；
（2）$BD=2AE$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题以等腰直角三角形为背景，考查角的等量关系证明和线段倍分关系推导，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”条件下构造等腰三角形的辅助线作法，熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质解题。
【难度系数】
0.6
4 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE=AC，求证：∠BED=∠CAD.
答案
证明:如图,延长 AD 到点 F,使 $DF=AD$,连接 BF.
因为 AD 是$△ ABC$的中线,所以 $BD=DC$.
在$△ ADC$ 和$△ FDB$ 中,$\begin{cases}AD=FD,\\∠ ADC=∠ FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ FDB$(SAS),
所以 $FB=AC,∠ CAD=∠ F$.
因为 $BE=AC$,所以 $BE=BF$,
所以$∠ F=∠ BED$,所以$∠ BED=∠ CAD$.
解析
【分析】
要证明∠BED=∠CAD，已知AD是△ABC的中线，且BE=AC。对于含有中线的几何证明题，倍长中线是常用的辅助线构造方法：我们可以延长AD到F使DF=AD，连接BF，先通过SAS证明△ADC和△FDB全等，将AC转化为BF，同时把∠CAD转化为∠F；再结合已知BE=AC，可得BE=BF，利用等腰三角形等边对等角得到∠F=∠BED，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：如图，延长AD到点F，使DF=AD，连接BF。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
在△ADC和△FDB中：
$\begin{cases}AD=FD,\\∠ADC=∠FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴FB=AC，∠CAD=∠F。
又
∵BE=AC，
∴BE=BF，
∴∠F=∠BED，
∴∠BED=∠CAD。
【答案】
证明:如图,延长 AD 到点 F,使 $DF=AD$,连接 BF.
因为 AD 是$△ ABC$的中线,所以 $BD=DC$.
在$△ ADC$ 和$△ FDB$ 中,$\begin{cases}AD=FD,\\∠ ADC=∠ FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ FDB$(SAS),
所以 $FB=AC,∠ CAD=∠ F$.
因为 $BE=AC$,所以 $BE=BF$,
所以$∠ F=∠ BED$,所以$∠ BED=∠ CAD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题是典型的中线类几何证明题，核心是掌握倍长中线构造全等三角形的辅助线方法，通过全等实现边、角的等量转化，再结合等腰三角形的性质完成推导，这种构造方法在解决含中线的几何问题时应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明∠BED=∠CAD，已知AD是△ABC的中线，且BE=AC。对于含有中线的几何证明题，倍长中线是常用的辅助线构造方法：我们可以延长AD到F使DF=AD，连接BF，先通过SAS证明△ADC和△FDB全等，将AC转化为BF，同时把∠CAD转化为∠F；再结合已知BE=AC，可得BE=BF，利用等腰三角形等边对等角得到∠F=∠BED，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：如图，延长AD到点F，使DF=AD，连接BF。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
在△ADC和△FDB中：
$\begin{cases}AD=FD,\\∠ADC=∠FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴FB=AC，∠CAD=∠F。
又
∵BE=AC，
∴BE=BF，
∴∠F=∠BED，
∴∠BED=∠CAD。
【答案】
证明:如图,延长 AD 到点 F,使 $DF=AD$,连接 BF.
因为 AD 是$△ ABC$的中线,所以 $BD=DC$.
在$△ ADC$ 和$△ FDB$ 中,$\begin{cases}AD=FD,\\∠ ADC=∠ FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ FDB$(SAS),
所以 $FB=AC,∠ CAD=∠ F$.
因为 $BE=AC$,所以 $BE=BF$,
所以$∠ F=∠ BED$,所以$∠ BED=∠ CAD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题是典型的中线类几何证明题，核心是掌握倍长中线构造全等三角形的辅助线方法，通过全等实现边、角的等量转化，再结合等腰三角形的性质完成推导，这种构造方法在解决含中线的几何问题时应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
