15 如图所示为一块矩形菜地ABCD，AB=a m，AD=b m，面积为s m²，现将边AB的长增加1 m，边AD的长增加2 m。若有且只有一个a的值，使得到的新矩形菜地的面积为2s m²，则s的值为。

15. $6+4\sqrt{2}$ 【解析】根据题意,知$b=\frac{s}{a}$. $\because$ 边AB的长增加1 m,边AD的长增加2 m,得到的新矩形菜地的面积为$2s\ \mathrm{m}^2$,$\therefore (a+1)(b+2)=2s$,即$(a+1)(\frac{s}{a}+2)=2s$. 整理得$2a^2+(2-s)a+s=0$. $\because$ 有且只有一个$a$的值,使得到的新矩形菜地的面积为$2s\ \mathrm{m}^2$,$\therefore \Delta=(2-s)^2-8s=0$,解得$s_1=6-4\sqrt{2}$(不合题意,舍去),$s_2=6+4\sqrt{2}$,$\therefore s$的值为$6+4\sqrt{2}$.

【分析】
解题时首先根据原矩形的面积公式得到b与a、s的关系，再结合新矩形面积为2s的条件列出方程，将b代入后整理为关于a的一元二次方程；题目中“有且只有一个a的值满足条件”说明该一元二次方程有两个相等的正实数根，即判别式Δ=0，据此列方程求解s，最后结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：由原矩形面积公式可知$s=ab$，因此$b=\frac{s}{a}$。
新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b+2)\mathrm{m}$，根据新矩形面积为$2s\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(a+1)(b+2)=2s$
将$b=\frac{s}{a}$代入上式：
$(a+1)(\frac{s}{a}+2)=2s$
方程两边同乘$a$消去分母，展开整理得：
$2a^2+(2-s)a+s=0$
$\because$ 有且只有一个$a$的值满足题意，$\therefore$ 该关于$a$的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-s)^2-4×2× s=0$
展开得$s^2-12s+4=0$，用求根公式解得：
$s=\frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
当$s=6-4\sqrt{2}$时，$a=\frac{s-2}{4}=1-\sqrt{2}＜0$，不符合边长为正的实际意义，舍去；
当$s=6+4\sqrt{2}$时，$a=\frac{s-2}{4}=1+\sqrt{2}＞0$，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{6+4\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程根的判别式；方程的实际应用
【点评】
本题结合实际生活中的矩形面积问题，考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是理解“有且只有一个a的值”对应一元二次方程判别式为0的结论，同时要注意结合实际意义对运算结果进行取舍，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6

16 若$x=t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，$M=(2at+b)^2$，则$b^2-4ac$ $M$(填“＞”“＜”或“=”)。

16. $=$ 【解析】将$x=t$代入方程,得$at^2+bt+c=0$,$\therefore b^2-4ac-M=b^2-4ac-(2at+b)^2=b^2-4ac-4a^2t^2-4abt-b^2=-4a(at^2+bt+c)=0$. $\therefore b^2-4ac=M$.

【分析】
要比较$b^2-4ac$和$M$的大小，可采用作差法判断两者差值的取值。首先根据一元二次方程根的定义，将$x=t$代入原方程得到$at^2+bt+c=0$，再计算$b^2-4ac - M$，对差值进行化简，最后代入$at^2+bt+c=0$即可判断差值的大小，进而得到两个代数式的关系。
【解析】
∵$x=t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，
∴将$x=t$代入方程得：$at^2+bt+c=0$，
计算$b^2-4ac - M$：
$\begin{aligned}b^2-4ac - M&=b^2-4ac-(2at+b)^2\\&=b^2-4ac-(4a^2t^2+4abt+b^2)\\&=b^2-4ac-4a^2t^2-4abt-b^2\\&=-4ac-4a^2t^2-4abt\\&=-4a(at^2+bt+c)\end{aligned}$
把$at^2+bt+c=0$代入上式，得：
$b^2-4ac - M=-4a×0=0$，
∴$b^2-4ac = M$。
【答案】
$=$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 完全平方公式 3. 作差法比较大小
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是熟练运用一元二次方程根的定义，结合整式化简的方法判断代数式的大小关系，对运算准确性有一定要求。
【难度系数】
0.7

17 新情境 地域特色 [2025 苏州工业园区段考]“七里山塘，枕河而居.”苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地.据统计，2024 年 10 月 1 日当天山塘街客流量为8万人次，第三天客流量达到11.52万人次.
（1）求客流量从10月1日当天到第三天的平均增长率.
（2）山塘街内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元.根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.设每把扇子降价x元.请解答以下问题：
① 平均每天可售出扇子把(用含x的代数式表示)；
② 若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，则每把扇子应降价多少元？

17. (1) 设客流量从10月1日当天到第三天的平均增长率为$x$. 依题意,得$8(1+x)^2=11.52$,解得$x=0.2=20\%$或$x=-2.2$(舍去). $\therefore$ 客流量从10月1日当天到第三天的平均增长率为$20\%$
(2) ① $(300+30x)$ ② 依题意,得$(25-x-7)(300+30x)=5760$,整理,得$(x-2)(x-6)=0$,解得$x=2$或$x=6$. $\because$ 想尽可能地减少库存,$\therefore x=6$. $\therefore$ 每把扇子应降价6元

【分析】
（1）本题为平均增长率问题，核心解题思路是利用增长率通用等量关系：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=最终量（n为增长次数）。本题中10月1日客流量为初始量8万人次，到第三天共经历2次增长，最终客流量为11.52万人次，设平均增长率为x代入等量关系列方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
（2）① 分析销量变化规律：原日均销量300把，每降价1元多售30把，降价x元则新增销量30x把，总销量为原有销量加新增销量。② 利用销售利润等量关系：总利润=单把利润×总销量列方程，单把利润为原售价减去成本再减去降价金额，总销量为①中所得代数式，解方程后结合“尽可能减少库存”的要求，选择降价幅度更大的根（降价越多销量越高，去库存越快）即可。
【解析】
（1）设客流量从10月1日当天到第三天的平均增长率为$x$。
依题意列方程：$8(1+x)^2=11.52$
解方程得：$(1+x)^2=1.44$，即$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，舍去）。
（2）① 降价x元后，日均新增销量为30x把，因此平均每天可售出扇子$(300+30x)$把。
② 依题意，单把扇子利润为$(25-x-7)$元，总销量为$(300+30x)$把，列方程：
$(25-x-7)(300+30x)=5760$
整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$
∵要尽可能减少库存，即销量尽可能大，降价越多销量越高，
∴取$x=6$。
【答案】
（1）客流量从10月1日当天到第三天的平均增长率为$\boxed{20\%}$；
（2）① $\boxed{300+30x}$；② 每把扇子应降价$\boxed{6}$元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题结合地方文旅实际情境命题，贴近生活，重点考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需准确找准等量关系列方程，同时要注意结合实际要求对根进行取舍，避免出现理论计算符合但不符合实际需求的错误。
【难度系数】
0.7

18 [2025 苏州工业园区期中]定义:已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$.若满足$|x_1· x_2|=|x_1-x_2|$,则称此类方程为“积差方程”.例如:$x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$,即$(x-\dfrac{1}{2})(x-1)=0$,解得$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$,$\because \left|1×\dfrac{1}{2}\right|=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|$,$\therefore x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$是“积差方程”.
(1) 有以下两个方程:①$12x^2-7x+1=0$;②$x^2-7x+12=0$.其中,是“积差方程”的为________(填序号);
(2) 若关于$x$的方程$x^2+2mx+2m-1=0$是“积差方程”,求出$m$的值.

18. (1) ① (2) 由方程$x^2+2mx+2m-1=0$,得$(x+2m-1)(x+1)=0$,解得$x_1=1-2m$,$x_2=-1$. $\because$ 关于$x$的方程$x^2+2mx+2m-1=0$是“积差方程”,$\therefore |(1-2m)×(-1)|=|1-2m-(-1)|$,即$|2m-1|=|2-2m|$. 当$2m-1=2-2m$时,解得$m=\frac{3}{4}$;当$2m-1=-(2-2m)$时,此方程无解. 综上所述,$m$的值为$\frac{3}{4}$

【分析】
(1) 判断“积差方程”的核心是先求出方程的两个实数根，再分别计算两根乘积的绝对值与两根差的绝对值，若二者相等则为“积差方程”。首先分别求解两个一元二次方程的根，再代入定义验证即可。
(2) 先求解一元二次方程$x^2+2mx+2m-1=0$的两个根，再根据“积差方程”的定义列出关于m的绝对值方程，分情况讨论解绝对值方程，舍去无解的情况即可得到m的值。
【解析】
(1) 求解方程①：$12x^2-7x+1=0$，因式分解得$(3x-1)(4x-1)=0$，解得$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{1}{4}$。
计算得$\left|x_1·x_2\right|=\left|\frac{1}{3}×\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{12}$，$\left|x_1-x_2\right|=\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{12}$，满足$\left|x_1·x_2\right|=\left|x_1-x_2\right|$，故①是“积差方程”。
求解方程②：$x^2-7x+12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$。
计算得$\left|x_1·x_2\right|=\left|3×4\right|=12$，$\left|x_1-x_2\right|=\left|3-4\right|=1$，二者不相等，故②不是“积差方程”。
(2) 对$x^2+2mx+2m-1=0$因式分解，得$(x+2m-1)(x+1)=0$，解得$x_1=1-2m$，$x_2=-1$。
∵该方程是“积差方程”，
∴$\left|(1-2m)×(-1)\right|=\left|1-2m-(-1)\right|$，化简得$|2m-1|=|2-2m|$。
分两种情况讨论：
①当$2m-1=2-2m$时，移项得$4m=3$，解得$m=\frac{3}{4}$；
②当$2m-1=-(2-2m)$时，化简得$2m-1=-2+2m$，即$-1=-2$，等式不成立，此方程无解。
综上，$m$的值为$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) ①
(2) $m=\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程解法，新定义运算，绝对值方程求解
【点评】
本题以新定义“积差方程”为载体，考查一元二次方程的求解及绝对值方程的处理，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，求解绝对值方程时要注意分情况讨论，同时检验解是否合理，避免出现增根。
【难度系数】
0.7