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1 [2025 姑苏区段考]如图所示为“光盘行动”的宣传海报，图中筷子与餐盘可看成直线和圆的位置关系是（
A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
（第1题）
B
）A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆位置关系的相关知识，第一步先排除明显错误选项：平行是直线与直线的位置关系，不符合本题直线与圆位置关系的判断要求，直接排除D。接下来根据公共点个数判断位置关系：直线和圆有2个公共点时为相交，1个公共点时为相切，无公共点时为相离。观察题图中筷子（直线）和餐盘（圆）的交点数量，即可得出结论。
【解析】
1. 先排除错误选项：平行是两条直线之间的位置关系，本题考查直线与圆的位置关系，故D选项不符合要求，排除。
2. 直线与圆位置关系的判定规则：
直线与圆有2个公共点，位置关系为相交；
直线与圆有1个公共点，位置关系为相切；
直线与圆没有公共点，位置关系为相离。
观察题图可知，代表直线的筷子与代表圆的餐盘轮廓共有2个公共点，因此二者的位置关系是相交，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活宣传海报场景考查基础知识点，解题的关键是掌握不同直线与圆位置关系对应的公共点特征，属于容易题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直线与圆位置关系的相关知识，第一步先排除明显错误选项：平行是直线与直线的位置关系，不符合本题直线与圆位置关系的判断要求，直接排除D。接下来根据公共点个数判断位置关系：直线和圆有2个公共点时为相交，1个公共点时为相切，无公共点时为相离。观察题图中筷子（直线）和餐盘（圆）的交点数量，即可得出结论。
【解析】
1. 先排除错误选项：平行是两条直线之间的位置关系，本题考查直线与圆的位置关系，故D选项不符合要求，排除。
2. 直线与圆位置关系的判定规则：
直线与圆有2个公共点，位置关系为相交；
直线与圆有1个公共点，位置关系为相切；
直线与圆没有公共点，位置关系为相离。
观察题图可知，代表直线的筷子与代表圆的餐盘轮廓共有2个公共点，因此二者的位置关系是相交，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活宣传海报场景考查基础知识点，解题的关键是掌握不同直线与圆位置关系对应的公共点特征，属于容易题。
【难度系数】
0.9
2 在平面直角坐标系中，以点$(3,-5)$为圆心，$r$为半径的圆上有且仅有两点到$x$轴的距离为1，则圆的半径$r$的取值范围是（
A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4≤ r＜6$
D.$4＜r＜6$
D
）A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4≤ r＜6$
D.$4＜r＜6$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先将“到x轴的距离为1”的点转化为两条平行直线y=1和y=-1，题目等价于所求圆与这两条直线共有且仅有2个交点。先计算圆心到两条直线的距离，再结合直线与圆相交、相切、相离的判定条件，分情况讨论半径的取值范围即可。
【解析】
到x轴距离为1的点的轨迹是两条平行于x轴的直线：$l_1:y=1$，$l_2:y=-1$。
根据点到水平直线的距离公式，圆心$(3,-5)$到两条直线的距离分别为：
到$l_1$的距离$d_1=|-5-1|=6$；
到$l_2$的距离$d_2=|-5-(-1)|=4$。
结合直线与圆的位置关系分情况讨论：
1. 当$r＜4$时，圆与$l_1$、$l_2$均无交点，不符合题意；
2. 当$r=4$时，圆与$l_2$相切，仅1个交点，与$l_1$无交点，共1个符合要求的点，不符合题意；
3. 当$4＜r＜6$时，圆与$l_2$相交（2个交点），与$l_1$相离（无交点），共2个符合要求的点，满足题意；
4. 当$r=6$时，圆与$l_1$相切（1个交点），与$l_2$相交（2个交点），共3个符合要求的点，不符合题意；
5. 当$r＞6$时，圆与$l_1$、$l_2$均相交，共4个符合要求的点，不符合题意。
综上，$r$的取值范围是$4＜r＜6$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离计算，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题的核心是将点的距离要求转化为直线与圆的交点问题，解题关键是先找到满足条件的点的轨迹，再结合直线与圆的位置关系分类讨论，需注意相切时的临界情况不符合题意，要排除。
【难度系数】
0.7
解题时先将“到x轴的距离为1”的点转化为两条平行直线y=1和y=-1，题目等价于所求圆与这两条直线共有且仅有2个交点。先计算圆心到两条直线的距离，再结合直线与圆相交、相切、相离的判定条件，分情况讨论半径的取值范围即可。
【解析】
到x轴距离为1的点的轨迹是两条平行于x轴的直线：$l_1:y=1$，$l_2:y=-1$。
根据点到水平直线的距离公式，圆心$(3,-5)$到两条直线的距离分别为：
到$l_1$的距离$d_1=|-5-1|=6$；
到$l_2$的距离$d_2=|-5-(-1)|=4$。
结合直线与圆的位置关系分情况讨论：
1. 当$r＜4$时，圆与$l_1$、$l_2$均无交点，不符合题意；
2. 当$r=4$时，圆与$l_2$相切，仅1个交点，与$l_1$无交点，共1个符合要求的点，不符合题意；
3. 当$4＜r＜6$时，圆与$l_2$相交（2个交点），与$l_1$相离（无交点），共2个符合要求的点，满足题意；
4. 当$r=6$时，圆与$l_1$相切（1个交点），与$l_2$相交（2个交点），共3个符合要求的点，不符合题意；
5. 当$r＞6$时，圆与$l_1$、$l_2$均相交，共4个符合要求的点，不符合题意。
综上，$r$的取值范围是$4＜r＜6$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离计算，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题的核心是将点的距离要求转化为直线与圆的交点问题，解题关键是先找到满足条件的点的轨迹，再结合直线与圆的位置关系分类讨论，需注意相切时的临界情况不符合题意，要排除。
【难度系数】
0.7
3 已知$\odot O$的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为6 cm，那么直线l与$\odot O$的位置关系是
相离
.答案
3. 相离
解析
【分析】
要解答本题，首先回忆直线与圆位置关系的判定逻辑：我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系，来确定直线和圆的位置关系。解题时先从题干中提取$r$和$d$的数值，再对应判定规则推导即可。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6\mathrm{cm}$。
因为$6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$，
根据直线与圆的位置关系判定规则：当$d＞r$时，直线与圆相离，
因此直线$l$与$\odot O$的位置关系是相离。
【答案】
相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应的三种位置关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解答本题，首先回忆直线与圆位置关系的判定逻辑：我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系，来确定直线和圆的位置关系。解题时先从题干中提取$r$和$d$的数值，再对应判定规则推导即可。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6\mathrm{cm}$。
因为$6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$，
根据直线与圆的位置关系判定规则：当$d＞r$时，直线与圆相离，
因此直线$l$与$\odot O$的位置关系是相离。
【答案】
相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握圆心到直线的距离与半径的大小关系对应的三种位置关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$。若以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，则当所作的圆与斜边$AB$所在的直线相切时，$r$的值为$\underline{\hspace{3cm}}$。
答案
4. $\dfrac{24}{5}$
解析
【分析】
要解决本题，首先根据直线与圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径，可知本题中r的值等于点C到斜边AB的垂线段的长度。接下来先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过直角三角形的两种面积计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出r的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
∵$\odot C$与AB所在直线相切，
∴$CD=r$。
$△ABC$的面积可表示为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC$，也可表示为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
∴$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× r$，
化简得：$24=5r$，
解得$r=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于基础题型，核心是将圆与直线相切的条件转化为圆心到直线的距离等于半径，再结合直角三角形的面积计算方法求解，解题思路清晰，是直线与圆位置关系的典型考查题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先根据直线与圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径，可知本题中r的值等于点C到斜边AB的垂线段的长度。接下来先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过直角三角形的两种面积计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出r的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
∵$\odot C$与AB所在直线相切，
∴$CD=r$。
$△ABC$的面积可表示为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC$，也可表示为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
∴$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× r$，
化简得：$24=5r$，
解得$r=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于基础题型，核心是将圆与直线相切的条件转化为圆心到直线的距离等于半径，再结合直角三角形的面积计算方法求解，解题思路清晰，是直线与圆位置关系的典型考查题。
【难度系数】
0.7
5（易错题）如图，直线$a ⊥ b$，垂足为$H$，点$P$在直线$b$上，$PH = 4\ \mathrm{cm}$，$O$为直线$b$上一动点。若以1 cm为半径的$\odot O$与直线$a$相切，则$OP$的长为
3或5
cm。答案
5. 3或5
易错分析：解答本题时容易缺少“⊙P与直线a左切或右切”中的一种情况。
易错分析：解答本题时容易缺少“⊙P与直线a左切或右切”中的一种情况。
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。结合已知直线$a ⊥ b$，可知圆心O到直线a的距离就是线段OH的长度，由此可确定$OH=1\ \mathrm{cm}$。由于O是直线b上的动点，位置不确定，需分O在垂足H的左侧、右侧两种情况讨论，分别计算OP的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$的半径为1 cm，
∴圆心$O$到直线$a$的距离等于半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
①当点$O$在点$H$的左侧时：
$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$；
②当点$O$在点$H$的右侧时：
$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为3 cm或5 cm。
【答案】
3或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略圆心O可以在垂足H的左右两侧两种位置，只计算出一种结果，解题时遇到动点问题要注意全面分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。结合已知直线$a ⊥ b$，可知圆心O到直线a的距离就是线段OH的长度，由此可确定$OH=1\ \mathrm{cm}$。由于O是直线b上的动点，位置不确定，需分O在垂足H的左侧、右侧两种情况讨论，分别计算OP的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$的半径为1 cm，
∴圆心$O$到直线$a$的距离等于半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
①当点$O$在点$H$的左侧时：
$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$；
②当点$O$在点$H$的右侧时：
$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为3 cm或5 cm。
【答案】
3或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略圆心O可以在垂足H的左右两侧两种位置，只计算出一种结果，解题时遇到动点问题要注意全面分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6 如图，AB是半径为6 cm的⊙O的弦，AB=6 cm. 以点O为圆心、3 cm为半径的圆与AB所在的直线有怎样的位置关系？请说明理由.
答案
半径为3 cm的⊙O与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$.在$\mathrm{Rt}△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.$\because 3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$ 半径为3 cm的⊙O与AB所在的直线相离.
解析
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，需比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题首先需要求出圆心O到AB所在直线的距离：过O作AB的垂线，结合垂径定理得到垂足是AB中点，算出半弦长，再在直角三角形中用勾股定理求出距离，最后和3cm比较即可得出结论。
【解析】
连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$
已知⊙O半径OA=6cm，在$\mathrm{Rt}△AOC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$
因为$3\sqrt{3}\approx5.196＞3$，即圆心到直线AB的距离大于半径3cm，所以半径为3cm的圆与AB所在直线相离。
【答案】
半径为3 cm的⊙O与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$.在$\mathrm{Rt}△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.$\because 3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$ 半径为3 cm的⊙O与AB所在的直线相离.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握直线与圆位置关系的判定方法，通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断直线和圆的位置关系，需比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题首先需要求出圆心O到AB所在直线的距离：过O作AB的垂线，结合垂径定理得到垂足是AB中点，算出半弦长，再在直角三角形中用勾股定理求出距离，最后和3cm比较即可得出结论。
【解析】
连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$
已知⊙O半径OA=6cm，在$\mathrm{Rt}△AOC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$
因为$3\sqrt{3}\approx5.196＞3$，即圆心到直线AB的距离大于半径3cm，所以半径为3cm的圆与AB所在直线相离。
【答案】
半径为3 cm的⊙O与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$.在$\mathrm{Rt}△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.$\because 3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$ 半径为3 cm的⊙O与AB所在的直线相离.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握直线与圆位置关系的判定方法，通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得出结果。
【难度系数】
0.8
7 [2025苏州期末]四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示.若某个圆上的点到直线l的最大距离为8,则这个圆可能是 (
A.$\odot O_1$
B.$\odot O_2$
C.$\odot O_3$
D.$\odot O_4$
C
)A.$\odot O_1$
B.$\odot O_2$
C.$\odot O_3$
D.$\odot O_4$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先要明确圆上的点到直线的最大距离的计算规律：若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则圆上的点到直线的最大距离为d+r。已知圆的半径r=5，最大距离为8，可先算出对应圆心到直线l的距离为8-5=3，再逐一判断四个圆的圆心到直线l的距离是否符合要求即可。
【解析】
设圆心到直线l的距离为d，已知等圆半径r=5。
根据圆上点到直线的最大距离的计算规则，可得：
$d + r = 8$
代入r=5，解得$d=8-5=3$，即符合要求的圆的圆心到直线l的距离为3。
对各选项逐一分析：
选项A：$\odot O_1$与直线l相切，圆心到直线的距离$d=r=5\ne3$，不符合要求；
选项B：$\odot O_2$的圆心在直线l上，圆心到直线的距离$d=0\ne3$，不符合要求；
选项C：$\odot O_3$与直线l相交，圆心到直线的距离$d＜r=5$，满足$d=3$的条件，此时圆上点到直线的最大距离为$3+5=8$，符合要求；
选项D：$\odot O_4$与直线l相离，圆心到直线的距离$d＞r=5$，则最大距离$d+5＞10\ne8$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系
2. 点到直线的距离
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直线与圆位置关系的实际运用，只要掌握不同位置关系下圆心到直线的距离和半径的大小关系，以及圆上点到直线最大距离的计算方法，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆上的点到直线的最大距离的计算规律：若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则圆上的点到直线的最大距离为d+r。已知圆的半径r=5，最大距离为8，可先算出对应圆心到直线l的距离为8-5=3，再逐一判断四个圆的圆心到直线l的距离是否符合要求即可。
【解析】
设圆心到直线l的距离为d，已知等圆半径r=5。
根据圆上点到直线的最大距离的计算规则，可得：
$d + r = 8$
代入r=5，解得$d=8-5=3$，即符合要求的圆的圆心到直线l的距离为3。
对各选项逐一分析：
选项A：$\odot O_1$与直线l相切，圆心到直线的距离$d=r=5\ne3$，不符合要求；
选项B：$\odot O_2$的圆心在直线l上，圆心到直线的距离$d=0\ne3$，不符合要求；
选项C：$\odot O_3$与直线l相交，圆心到直线的距离$d＜r=5$，满足$d=3$的条件，此时圆上点到直线的最大距离为$3+5=8$，符合要求；
选项D：$\odot O_4$与直线l相离，圆心到直线的距离$d＞r=5$，则最大距离$d+5＞10\ne8$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系
2. 点到直线的距离
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直线与圆位置关系的实际运用，只要掌握不同位置关系下圆心到直线的距离和半径的大小关系，以及圆上点到直线最大距离的计算方法，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
