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8 如图，这是由4个相同的小正方形组成的网格，则∠1+∠2=
180
°。答案
8. 180
解析
【分析】
要求∠1+∠2的度数，我们可以利用网格中等长的边构造全等三角形，将∠1转化为与∠2相关的角，再结合平角的性质求解。首先观察网格，小正方形的边长都相等，我们可以找到两个直角边分别对应相等、夹角为直角的三角形，用“边角边”证明全等，再通过全等三角形对应角相等完成角的等量代换，最终得到两角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形的两条直角边长度分别为1和2，另一个直角三角形的两条直角边长度也为1和2，两个三角形的夹角均为90°。
根据“边角边”（SAS）全等判定定理，这两个直角三角形全等，因此∠1与第二个三角形中和∠2共线的内角相等。
根据平角的定义，该内角与∠2的和为180°，通过等量代换可得：∠1+∠2=180°。
【答案】
180
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，平角的性质
【点评】
本题结合网格背景考查全等三角形的应用，解题的核心是利用网格的边长相等特征构造全等三角形，将分散的角转化为具有位置关系的角来计算角度和，属于全等判定的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要求∠1+∠2的度数，我们可以利用网格中等长的边构造全等三角形，将∠1转化为与∠2相关的角，再结合平角的性质求解。首先观察网格，小正方形的边长都相等，我们可以找到两个直角边分别对应相等、夹角为直角的三角形，用“边角边”证明全等，再通过全等三角形对应角相等完成角的等量代换，最终得到两角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形的两条直角边长度分别为1和2，另一个直角三角形的两条直角边长度也为1和2，两个三角形的夹角均为90°。
根据“边角边”（SAS）全等判定定理，这两个直角三角形全等，因此∠1与第二个三角形中和∠2共线的内角相等。
根据平角的定义，该内角与∠2的和为180°，通过等量代换可得：∠1+∠2=180°。
【答案】
180
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，平角的性质
【点评】
本题结合网格背景考查全等三角形的应用，解题的核心是利用网格的边长相等特征构造全等三角形，将分散的角转化为具有位置关系的角来计算角度和，属于全等判定的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
9 如图，$AB ⊥ BD$，$ED ⊥ BD$，垂足分别为$B$，$D$。若$AB = CD$，$BC = DE$，则$∠ ACE$的大小为________。
答案
9. $90°$
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB和ED都垂直于BD，可得∠B和∠D都是直角；题目还给出两组边相等AB=CD、BC=DE，满足“边角边”的全等判定条件，因此可先证明△ABC与△CDE全等。再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余、平角为180°的性质，通过角的等量代换即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵$AB ⊥ BD$，$ED ⊥ BD$，
∴$∠ B=∠ D=90°$。
在$△ ABC$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AB=CD \\∠ B=∠ D \\BC=DE\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ CDE$（SAS），
∴$∠ A=∠ DCE$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A+∠ ACB=90°$，
∴$∠ DCE+∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACE=180°-(∠ ACB+∠ DCE)=180°-90°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用类题目，解题核心是先根据已知的边、角条件证明三角形全等，再通过角的等量代换计算所求角度，是几何中角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，AB和ED都垂直于BD，可得∠B和∠D都是直角；题目还给出两组边相等AB=CD、BC=DE，满足“边角边”的全等判定条件，因此可先证明△ABC与△CDE全等。再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余、平角为180°的性质，通过角的等量代换即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵$AB ⊥ BD$，$ED ⊥ BD$，
∴$∠ B=∠ D=90°$。
在$△ ABC$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AB=CD \\∠ B=∠ D \\BC=DE\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ CDE$（SAS），
∴$∠ A=∠ DCE$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A+∠ ACB=90°$，
∴$∠ DCE+∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACE=180°-(∠ ACB+∠ DCE)=180°-90°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用类题目，解题核心是先根据已知的边、角条件证明三角形全等，再通过角的等量代换计算所求角度，是几何中角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
10 [2025宿豫期中改编]如图，点A,F,C,E在同一条直线上，AB//DF，AB＝DF，AF＝CE.求证：∠B＝∠D.
（第10题）
（第10题）答案
10. $\because AB // DF, \therefore ∠A = ∠DFE. \because AF = CE,$
$\therefore AF + CF = CE + CF,$ 即 $AC = FE.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ FDE$ 中, $\begin{cases} AB=FD, \\ ∠A=∠DFE, \\ AC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FDE (\mathrm{SAS}), \therefore ∠B=∠D$
$\therefore AF + CF = CE + CF,$ 即 $AC = FE.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ FDE$ 中, $\begin{cases} AB=FD, \\ ∠A=∠DFE, \\ AC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FDE (\mathrm{SAS}), \therefore ∠B=∠D$
解析
【分析】
要证明∠B=∠D，可通过证明两角所在的△ABC和△FDE全等得到。第一步，根据AB//DF，利用平行线的内错角相等性质，得到∠A=∠DFE；第二步，由AF=CE，根据等式的性质，两边同时加上公共线段CF，可推出AC=FE；第三步，结合已知条件AB=DF，此时两个三角形满足两边及其夹角对应相等，可通过“SAS”判定全等；最后根据全等三角形对应角相等，即可得到∠B=∠D。
【解析】
$\because AB // DF, \therefore ∠ A = ∠ DFE$。
$\because AF = CE,$
$\therefore AF + CF = CE + CF,$ 即 $AC = FE$。
在 $△ ABC$ 和 $△ FDE$ 中,
$\begin{cases}AB=FD, \\∠ A=∠ DFE, \\AC=FE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FDE (\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ B=∠ D$。
【答案】
$∠ B=∠ D$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的常规基础题，解题关键是利用线段和的关系得到全等所需的对应边相等，结合平行线性质得到对应角相等，再通过全等三角形的性质推导待证结论。
【难度系数】
0.8
要证明∠B=∠D，可通过证明两角所在的△ABC和△FDE全等得到。第一步，根据AB//DF，利用平行线的内错角相等性质，得到∠A=∠DFE；第二步，由AF=CE，根据等式的性质，两边同时加上公共线段CF，可推出AC=FE；第三步，结合已知条件AB=DF，此时两个三角形满足两边及其夹角对应相等，可通过“SAS”判定全等；最后根据全等三角形对应角相等，即可得到∠B=∠D。
【解析】
$\because AB // DF, \therefore ∠ A = ∠ DFE$。
$\because AF = CE,$
$\therefore AF + CF = CE + CF,$ 即 $AC = FE$。
在 $△ ABC$ 和 $△ FDE$ 中,
$\begin{cases}AB=FD, \\∠ A=∠ DFE, \\AC=FE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FDE (\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ B=∠ D$。
【答案】
$∠ B=∠ D$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的常规基础题，解题关键是利用线段和的关系得到全等所需的对应边相等，结合平行线性质得到对应角相等，再通过全等三角形的性质推导待证结论。
【难度系数】
0.8
11 如图，在$△ ABC$中，D是边BC上的一点，$AB=DB$，BE平分$∠ ABC$，交边AC于点E，连接DE.
（1）求证：$△ ABE ≌ △ DBE$；
（2）若$∠ A=100°$，$∠ C=50°$，则$∠ DEC$的大小为
（1）求证：$△ ABE ≌ △ DBE$；
（2）若$∠ A=100°$，$∠ C=50°$，则$∠ DEC$的大小为
$50°$
.答案
11. (1) $\because BE$ 平分 $∠ABC, \therefore ∠ABE=∠DBE.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ DBE$ 中, $\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ABE=∠DBE, \\ BE=BE, \end{cases} \therefore △ ABE≌△ DBE(\mathrm{SAS})$ (2) $50°$
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABE ≌ △ DBE$，先梳理已知条件：已知$AB=DB$，$BE$平分$∠ ABC$可得到一组对应角相等，再加公共边$BE$，刚好符合边角边（SAS）的全等判定条件，按SAS的证明格式整理对应条件即可完成证明。
（2）求$∠ DEC$的度数，先利用三角形内角和算出$△ ABC$中$∠ ABC$的度数，再结合角平分线的性质得到角的等量关系，接着利用全等三角形对应角相等得到$∠ BDE$的度数，进而求出$∠ EDC$的度数，最后在$△ DEC$中用内角和定理计算$∠ DEC$即可。
【解析】
（1）证明：$\because BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$。
在$△ ABE$和$△ DBE$中：
$\begin{cases} AB=DB（已知）, \\ ∠ ABE=∠ DBE（角平分线的定义）, \\ BE=BE（公共边）, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DBE(\mathrm{SAS})$。
（2）解：在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-100°-50°=30°$。
由（1）知$△ ABE ≌ △ DBE$，$\therefore ∠ BDE=∠ A=100°$。
$\because ∠ BDE+∠ EDC=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ EDC=180°-100°=80°$。
在$△ DEC$中，$∠ DEC=180°-∠ EDC-∠ C=180°-80°-50°=50°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$50°$
【知识点】
全等三角形的SAS判定，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，第一问考查全等三角形的判定，熟练掌握SAS判定定理即可快速完成证明；第二问结合全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理计算角度，解题时梳理清楚角度间的转化关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$△ ABE ≌ △ DBE$，先梳理已知条件：已知$AB=DB$，$BE$平分$∠ ABC$可得到一组对应角相等，再加公共边$BE$，刚好符合边角边（SAS）的全等判定条件，按SAS的证明格式整理对应条件即可完成证明。
（2）求$∠ DEC$的度数，先利用三角形内角和算出$△ ABC$中$∠ ABC$的度数，再结合角平分线的性质得到角的等量关系，接着利用全等三角形对应角相等得到$∠ BDE$的度数，进而求出$∠ EDC$的度数，最后在$△ DEC$中用内角和定理计算$∠ DEC$即可。
【解析】
（1）证明：$\because BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$。
在$△ ABE$和$△ DBE$中：
$\begin{cases} AB=DB（已知）, \\ ∠ ABE=∠ DBE（角平分线的定义）, \\ BE=BE（公共边）, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DBE(\mathrm{SAS})$。
（2）解：在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-100°-50°=30°$。
由（1）知$△ ABE ≌ △ DBE$，$\therefore ∠ BDE=∠ A=100°$。
$\because ∠ BDE+∠ EDC=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ EDC=180°-100°=80°$。
在$△ DEC$中，$∠ DEC=180°-∠ EDC-∠ C=180°-80°-50°=50°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$50°$
【知识点】
全等三角形的SAS判定，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，第一问考查全等三角形的判定，熟练掌握SAS判定定理即可快速完成证明；第二问结合全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理计算角度，解题时梳理清楚角度间的转化关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12 新考向 条件开放题 如图，点F，B，E，C在同一条直线上，且∠ABC=∠DEF，EF+BF=CF，能否根据已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请运用所学知识，从① AB=DE；② AC=DF；③ AB//DE中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明。
答案
12. 不能 选择的条件是① $AB=DE$ $\because EF+BF=CF,$
$\therefore EF=CF-BF=BC.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases} \therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore EF=CF-BF=BC.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases} \therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$
解析
【分析】
首先根据已知线段等式$EF+BF=CF$，结合点F、B、E、C共线的特点，可推导出$BC=EF$，此时仅有的已知条件为一组边相等（$BC=EF$）和一组角相等（$∠ ABC=∠ DEF$），不符合全等三角形的判定定理，因此无法直接证明$△ ABC≌△ DEF$。若要证明全等，可补充夹这组等角的另一组对应边相等的条件①$AB=DE$，即可满足“边角边”的全等判定要求，完成证明。
【解析】
解：仅用已知条件不能证明$△ ABC≌△ DEF$，选择添加条件①$\boldsymbol{AB=DE}$，证明如下：
$\because EF+BF=CF$，且根据线段和的定义可得$BF+BC=CF$，
$\therefore EF=CF-BF$，$BC=CF-BF$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE, \\∠ ABC=∠ DEF, \\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
不能，选择条件①$AB=DE$，$\because EF+BF=CF,$$\therefore EF=CF-BF=BC.$ 在$△ ABC$和$△ DEF$ 中, $\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases} \therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$
【知识点】
线段和差计算、全等三角形SAS判定、等式的性质
【点评】
本题为条件开放类题目，重点考查全等三角形判定的灵活应用，解题时要先梳理现有条件可推导出的边角相等关系，再结合全等判定定理补充符合要求的条件，注意“SSA”不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7
首先根据已知线段等式$EF+BF=CF$，结合点F、B、E、C共线的特点，可推导出$BC=EF$，此时仅有的已知条件为一组边相等（$BC=EF$）和一组角相等（$∠ ABC=∠ DEF$），不符合全等三角形的判定定理，因此无法直接证明$△ ABC≌△ DEF$。若要证明全等，可补充夹这组等角的另一组对应边相等的条件①$AB=DE$，即可满足“边角边”的全等判定要求，完成证明。
【解析】
解：仅用已知条件不能证明$△ ABC≌△ DEF$，选择添加条件①$\boldsymbol{AB=DE}$，证明如下：
$\because EF+BF=CF$，且根据线段和的定义可得$BF+BC=CF$，
$\therefore EF=CF-BF$，$BC=CF-BF$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE, \\∠ ABC=∠ DEF, \\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
不能，选择条件①$AB=DE$，$\because EF+BF=CF,$$\therefore EF=CF-BF=BC.$ 在$△ ABC$和$△ DEF$ 中, $\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEF, \\ BC=EF, \end{cases} \therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$
【知识点】
线段和差计算、全等三角形SAS判定、等式的性质
【点评】
本题为条件开放类题目，重点考查全等三角形判定的灵活应用，解题时要先梳理现有条件可推导出的边角相等关系，再结合全等判定定理补充符合要求的条件，注意“SSA”不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7
