7 勾股定理在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中涂色部分的面积,则一定能求出（）

A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和

7. C
【解析】设直角三角形的斜边长为 $c$,较长直角边的长为 $b$,较短直角边的长为 $a$. 由勾股定理,得 $c^{2}=a^{2}+b^{2},\therefore c^{2}-b^{2}=a^{2},\therefore$ 题图②中涂色部分的面积为$c^{2}-b^{2}-a(c-b)=a^{2}-ac+ab=a(a+b-c). \because$ 题图②中较小的两个正方形重叠部分的长为 $a$,宽为 $a-(c-b)=a+b-c$,$\therefore$ 题图②中较小的两个正方形重叠部分的面积为 $a(a+b-c)$.

【分析】
解决本题首先要结合勾股定理建立三个正方形面积的关系：第一步先设直角三角形的三边长，利用勾股定理得到三个正方形面积的等量关系；第二步推导图②中涂色部分的面积表达式并化简；第三步推导各选项对应的面积表达式，找到和涂色部分面积相等的量即可得出结论。
【解析】
设直角三角形的斜边长为$ c $，较长直角边的长为$ b $，较短直角边的长为$ a $。
根据勾股定理可得：$ c^2 = a^2 + b^2 $，即$ c^2 - b^2 = a^2 $。
计算图②中涂色部分的面积：涂色部分面积等于最大正方形面积减去边长为$ b $的正方形面积，再减去下方长为$ a $、宽为$ c-b $的空白矩形面积，即
$ S_{\mathrm{涂色}} = c^2 - b^2 - a(c - b) $
将$ c^2 - b^2 = a^2 $代入上式化简得：
$ S_{\mathrm{涂色}} = a^2 - ac + ab = a(a + b - c) $
再分析较小两个正方形重叠部分的面积：重叠部分为矩形，长等于较短直角边长$ a $，宽为$ a - (c - b) = a + b - c $，因此重叠部分的面积为：
$ S_{\mathrm{重叠}} = a(a + b - c) $
可得$ S_{\mathrm{涂色}} = S_{\mathrm{重叠}} $，因此知道涂色部分的面积就能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，面积和差计算，整式化简
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算相结合，解题关键是合理设出直角三角形三边长，利用勾股定理建立三个正方形的面积关系，通过代数式化简找到涂色面积与重叠部分面积的等量关系，考查了数形结合思想和代数式运算能力。
【难度系数】
0.6

8 方程思想 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到△DCM.若AE=1，则FM的长为.

8. $\dfrac{5}{2}$
【解析】先说明 $F,C,M$ 三点共线,再证$△ DEF≌△ DMF(\mathrm{SAS})$,得 $FE=FM$. 设 $EF=x$. 由旋转,得 $AE=CM=1$,$\therefore BM=BC+CM=3+1=4$,$\therefore BF=BM-MF=BM-EF=4-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ EBF$中,由勾股定理,得 $EB^{2}+BF^{2}=EF^{2}$,即$(3-1)^{2}+(4-x)^{2}=x^{2}$,解得 $x=\dfrac{5}{2}$,$\therefore FM=\dfrac{5}{2}$.

【分析】
解题时先从旋转的性质入手，可知旋转前后的三角形全等，对应边、对应角相等，旋转角为90°；结合正方形的内角为90°，可证F、C、M三点共线；再根据已知∠EDF=45°，推导得出∠EDF=∠MDF，即可证明△DEF和△DMF全等，得到EF=FM的等量关系；最后设FM的长度为未知数，将Rt△EBF的各边用未知数表示，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM，
∴△DAE≌△DCM，∠EDM=90°，
∴AE=CM=1，∠DAE=∠DCM=90°，
又
∵正方形ABCD中∠DCB=90°，
∴∠DCB+∠DCM=180°，即F、C、M三点共线。
∵∠EDF=45°，
∴∠MDF=∠EDM-∠EDF=90°-45°=45°，即∠EDF=∠MDF。
在△DEF和△DMF中：
$\{\begin{array}{l}DE=DM\quad (\mathrm{旋转对应边相等})\\ ∠ EDF=∠ MDF\\ DF=DF\quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=FM。
设$FM=x$，则$EF=x$，
∵正方形边长为3，$AE=1$，
∴$EB=AB-AE=3-1=2$，$BM=BC+CM=3+1=4$，
∴$BF=BM-FM=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△EBF$中，由勾股定理得$EB^2+BF^2=EF^2$，
代入得：$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开化简：$4+16-8x+x^2=x^2$，
解得$x=\dfrac{5}{2}$，即$FM=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用
【点评】
本题将旋转、全等三角形、勾股定理的知识结合考查，核心是通过旋转的性质转化线段和角度的等量关系，再利用方程思想结合勾股定理求解，解题时需注意先证明三点共线，避免遗漏该前提导致逻辑错误。
【难度系数】
0.6

9 如图，CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边AB上的高，教材第100页例2通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论：$CD^2 = AD · DB$. 请你利用上述结论与学过的数学知识，求证：
(1) $AC^2 = AD · AB$；
(2) $BC^2 = DB · AB$.

9. (1) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}. \because CD^{2}=AD· DB$,$\therefore AC^{2}=AD· DB+AD^{2}=AD· (DB+AD). \because AB=DB+AD$,$\therefore AC^{2}=AD· AB$
(2) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$BC^{2}=CD^{2}+DB^{2}. \because CD^{2}=AD· DB$,$\therefore BC^{2} = AD · DB + DB^{2} = DB · (AD + DB)$.$\because AB=AD+DB$,$\therefore BC^{2}=DB· AB$

【分析】
要完成两个结论的证明，可按如下思路推导：
(1) 求证$AC^2 = AD · AB$：首先观察到$AC$是$\mathrm{Rt}△ADC$的斜边，优先考虑用勾股定理写出$AC^2$的表达式；再代入题干给出的$CD^2 = AD · DB$的结论，对所得代数式提取公因式因式分解，最后结合$AB=AD+DB$的线段和关系，即可推导出待证结论。
(2) 求证$BC^2 = DB · AB$：与第一问思路一致，先明确$BC$是$\mathrm{Rt}△BDC$的斜边，用勾股定理写出$BC^2$的表达式，代入已知的$CD^2$的结论，因式分解后结合$AB=AD+DB$的线段关系即可得证。
【解析】
(1) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，由勾股定理得$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}$。
$\because CD^{2}=AD· DB$，$\therefore AC^{2}=AD· DB+AD^{2}=AD· (DB+AD)$。
$\because AB=DB+AD$，$\therefore AC^{2}=AD· AB$。
(2) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$ 中，由勾股定理得$BC^{2}=CD^{2}+DB^{2}$。
$\because CD^{2}=AD· DB$，$\therefore BC^{2} = AD · DB + DB^{2} = DB · (AD + DB)$。
$\because AB=AD+DB$，$\therefore BC^{2}=DB· AB$。
【答案】
(1) $AC^2 = AD · AB$
(2) $BC^2 = DB · AB$
【知识点】
勾股定理，因式分解应用，线段和差计算
【点评】
本题是直角三角形性质应用的基础题型，解题的关键是结合图形找到对应直角三角形运用勾股定理，再结合已知结论进行代数式变形即可完成证明，能很好地考察学生对勾股定理的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8

10 [2024 陕西]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接CF.若$AC=13$,$BC=10$,求四边形EBFC的面积.

10. 如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$,垂足为 $H$,过点 $C$ 分别作 $CM⊥ AB$,$CN⊥ BF$,垂足分别为 $M,N$. $\because AB=AC$,$AH⊥ BC$,$BC=10$,$\therefore CH=\dfrac{1}{2}BC=5$. 又$\because AC=13$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中,$AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}=13^{2}-5^{2}$,$\therefore AH=12$. $\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}×10×12=60$. $\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because BF// AC$,$\therefore ∠ ACB=∠ CBF$,$\therefore ∠ ABC=∠ CBF. \because CM⊥ AB$,$CN⊥ BF$,$\therefore CM=CN. \because S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AE· CM$,$S_{△ CBF}=\dfrac{1}{2}BF· CN$,$AE=BF$,$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ CBF}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC} = S_{△ CBF} + S_{△ CBE} = S_{△ ACE} + S_{△ CBE} = S_{△ ABC}=60$

【分析】
要求四边形EBFC的面积，首先观察其面积构成：四边形EBFC的面积等于△CBF与△CBE的面积之和。首先已知△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形三线合一的性质作高，结合勾股定理求出△ABC的面积；再结合BF//AC、AE=BF的条件，推导角的关系得到BC是∠ABF的角平分线，根据角平分线的性质可知点C到AB和BF的距离相等，由此可得△ACE与△CBF面积相等，将△CBF的面积替换为△ACE的面积，即可得到四边形EBFC的面积等于△ABC的面积，完成求解。
【解析】
过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$,垂足为 $H$,过点 $C$ 分别作 $CM⊥ AB$,$CN⊥ BF$,垂足分别为 $M,N$.
$\because AB=AC$,$AH⊥ BC$,$BC=10$,
$\therefore CH=\dfrac{1}{2}BC=5$.
又$\because AC=13$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AHC$ 中，由勾股定理得$AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}=13^{2}-5^{2}=144$,
$\therefore AH=12$.
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}×10×12=60$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$.
$\because BF// AC$,
$\therefore ∠ ACB=∠ CBF$（两直线平行，内错角相等）,
$\therefore ∠ ABC=∠ CBF$，即BC平分∠ABF.
$\because CM⊥ AB$,$CN⊥ BF$,
$\therefore CM=CN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
$\because S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AE· CM$,$S_{△ CBF}=\dfrac{1}{2}BF· CN$,$AE=BF$,
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ CBF}$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC} = S_{△ CBF} + S_{△ CBE} = S_{△ ACE} + S_{△ CBE} = S_{△ ABC}=60$.

【答案】
60

【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，等积变换
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，结合等底条件完成面积的等量转化，将不规则四边形的面积转化为可求的等腰三角形面积，充分体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7