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1.「2025山东德州中考」下列数为无理数的是（
A.-3
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$
B
）A.-3
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$
答案
1.B -3是整数，$\frac{1}{2}$是分数，$0.\dot{3}$是无限循环小数，它们都不是无理数，$\sqrt{5}$是无限不循环小数，它是无理数.故选B.
2.下列说法中正确的是 （
A.带根号的数都是无理数
B.无限小数都是无理数
C.无理数是无限不循环小数
D.无理数是开方开不尽的数的方根
C
）A.带根号的数都是无理数
B.无限小数都是无理数
C.无理数是无限不循环小数
D.无理数是开方开不尽的数的方根
答案
2.C A.带根号的数不都是无理数，例如$\sqrt{4}$是有理数，故A不符合题意；B.无限不循环小数都是无理数，故B不符合题意；C.无理数是无限不循环小数，故C符合题意；D.无理数不都是开方开不尽的数的方根，例如$π$是无理数，故D不符合题意.故选C.
3.「2026 江苏南京玄武期中」下列各数：$2π, 0.\dot{2}\dot{3}, \sqrt[3]{27}, \frac{22}{7}, -\sqrt{3}+1, 0.101\ 001\ 000\ 1···$（相邻的两个1之间依次多一个0）.其中无理数有
3
个.答案
3.答案 3
解析 $0.\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，$\sqrt[3]{27}=3$是整数，$\frac{22}{7}$是分数，它们都不是无理数；$2π,-\sqrt{3}+1,0.101\ 001\ 000\ 1…$(相邻的两个1之间依次多一个0)是无限不循环小数，它们是无理数，故无理数有3个.
解析 $0.\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，$\sqrt[3]{27}=3$是整数，$\frac{22}{7}$是分数，它们都不是无理数；$2π,-\sqrt{3}+1,0.101\ 001\ 000\ 1…$(相邻的两个1之间依次多一个0)是无限不循环小数，它们是无理数，故无理数有3个.
4.估算$\sqrt{6}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
B
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
4.B $\because 4＜6＜9,\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{6}＜3,\therefore \sqrt{6}$在2和3之间.故选B.
5.「2025重庆中考」若n为正整数，且满足$n＜\sqrt{26}＜n+1$，则n=
5
。答案
5.答案 5
解析 $\because \sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36},\therefore 5＜\sqrt{26}＜6$,
$\because n＜\sqrt{26}＜n+1,n$为正整数,$\therefore n=5$.
解析 $\because \sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36},\therefore 5＜\sqrt{26}＜6$,
$\because n＜\sqrt{26}＜n+1,n$为正整数,$\therefore n=5$.
6.「2026江苏无锡梁溪期中改编」在数$-\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$之间的所有整数的和为
3
。答案
6.答案 3
解析 $\because 2＜\sqrt{5}＜3,\therefore -3＜-\sqrt{5}＜-2$,
$\because 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore$ 在数$-\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$之间的所有整数的和为$(-2)+(-1)+0+1+2+3=3$.
解析 $\because 2＜\sqrt{5}＜3,\therefore -3＜-\sqrt{5}＜-2$,
$\because 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore$ 在数$-\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$之间的所有整数的和为$(-2)+(-1)+0+1+2+3=3$.
7.「2026江苏南京秦淮月考改编」因为$\sqrt[3]{1}＜\sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{8}$，即$1＜\sqrt[3]{3}＜2$，所以$\sqrt[3]{3}$的整数部分为1，小数部分为$\sqrt[3]{3}-1$.类比以上推理，求$\sqrt[3]{100}$的小数部分.
答案
7.解析 $\because \sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$,即$4＜\sqrt[3]{100}＜5$,
$\therefore \sqrt[3]{100}$的整数部分为4,小数部分为$\sqrt[3]{100}-4$.
$\therefore \sqrt[3]{100}$的整数部分为4,小数部分为$\sqrt[3]{100}-4$.
8.「2026北京广渠门中学期中，★☆」要制作一只容积为$120\ \mathrm{cm}^3$的正方体小玻璃杯，设计正方体内壁时，内壁的棱长大致在（
A.$4.4\ \mathrm{cm}～4.6\ \mathrm{cm}$之间
B.$4.6\ \mathrm{cm}～4.8\ \mathrm{cm}$之间
C.$4.8\ \mathrm{cm}～5.0\ \mathrm{cm}$之间
D.$5.0\ \mathrm{cm}～5.2\ \mathrm{cm}$之间
C
）A.$4.4\ \mathrm{cm}～4.6\ \mathrm{cm}$之间
B.$4.6\ \mathrm{cm}～4.8\ \mathrm{cm}$之间
C.$4.8\ \mathrm{cm}～5.0\ \mathrm{cm}$之间
D.$5.0\ \mathrm{cm}～5.2\ \mathrm{cm}$之间
答案
8.C 设正方体内壁的棱长为x cm,则有$x^3=120$,解得x=$\sqrt[3]{120}$,$\because 4.4^3=85.184,4.6^3=97.336,4.8^3=110.592$,$5.0^3=125,5.2^3=140.608,110.592＜120＜125,\therefore 4.8＜x＜5.0$.故选C.
9.「2026河北秦皇岛青龙期末，★☆」若$a$是无理数，$b$是有理数，则下列结论正确的是（
A.$\sqrt{a}$是无理数
B.$ab$是无理数
C.$a^2$是有理数
D.$a+b$是无理数
D
）A.$\sqrt{a}$是无理数
B.$ab$是无理数
C.$a^2$是有理数
D.$a+b$是无理数
答案
9.D A.若a是负无理数,则$\sqrt{a}$没有意义,故A选项结论不正确;B.当b=0时,ab=0,此时ab是有理数,故B选项结论不正确;C.若$a=π$,则$a^2=π^2$,$π^2$是无理数,故C选项结论不正确;D.假设a+b是有理数,则a=(a+b)-b,$\because$ 有理数减有理数仍是有理数,$\therefore a$是有理数,与已知矛盾,$\therefore a+b$一定是无理数,故D选项中结论正确.故选D.
10. 聚焦 中考 代数推理 「2026江苏苏州工业园区期末，★☆」任何数$a$，可用$[a]$表示不超过$a$的最大整数，如$[4]=4$，$[\sqrt{3}]=1$，现对72进行如下操作：
$72\xrightarrow{第一次}[\sqrt{72}]=8\xrightarrow{第二次}[\sqrt{8}]=2\xrightarrow{第三次}[\sqrt{2}]=1$
这样对72只需进行3次操作，即可变为1。类似地，对81只需进行3次操作，即可变为1，那么只需进行3次操作，即可变为1的所有正整数中，最大的是
$72\xrightarrow{第一次}[\sqrt{72}]=8\xrightarrow{第二次}[\sqrt{8}]=2\xrightarrow{第三次}[\sqrt{2}]=1$
这样对72只需进行3次操作，即可变为1。类似地，对81只需进行3次操作，即可变为1，那么只需进行3次操作，即可变为1的所有正整数中，最大的是
255
。答案
10.答案 255
解析 $\because [\sqrt{256}]=16,[\sqrt{16}]=4,[\sqrt{4}]=2,[\sqrt{2}]=1$,$\therefore$ 对256只需进行4次操作,即可变为1,
$\because [\sqrt{255}]=15,[\sqrt{15}]=3,[\sqrt{3}]=1$,$\therefore$ 对255只需进行3次操作,即可变为1,$\therefore$ 只需进行3次操作,即可变为1的所有正整数中,最大的是255.
解析 $\because [\sqrt{256}]=16,[\sqrt{16}]=4,[\sqrt{4}]=2,[\sqrt{2}]=1$,$\therefore$ 对256只需进行4次操作,即可变为1,
$\because [\sqrt{255}]=15,[\sqrt{15}]=3,[\sqrt{3}]=1$,$\therefore$ 对255只需进行3次操作,即可变为1,$\therefore$ 只需进行3次操作,即可变为1的所有正整数中,最大的是255.
11.「2026江苏扬州期中，★★」已知a是4的平方根，b是$\sqrt{21}-4$的小数部分，c是$\sqrt{21}+4$的整数部分，求代数式$a^3+(b+4)^2 -c$的值。
答案
11.解析 $\because a$是4的平方根,$\therefore a=\pm2$,$\because \sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$,$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$,$\therefore 0＜\sqrt{21}-4＜1$,$8＜\sqrt{21}+4＜9$,
$\because b$是$\sqrt{21}-4$的小数部分,c是$\sqrt{21}+4$的整数部分,
$\therefore b=\sqrt{21}-4,c=8$,$\therefore$ 当$a=2$时,$a^3+(b+4)^2 -c=2^3+(\sqrt{21}-4+4)^2 -8=8+21-8=21$;当$a=-2$时,$a^3+(b+4)^2 -c=(-2)^3+(\sqrt{21}-4+4)^2 -8=-8+21-8=5$.综上所述,代数式$a^3+(b+4)^2 -c$的值为21或5.
$\because b$是$\sqrt{21}-4$的小数部分,c是$\sqrt{21}+4$的整数部分,
$\therefore b=\sqrt{21}-4,c=8$,$\therefore$ 当$a=2$时,$a^3+(b+4)^2 -c=2^3+(\sqrt{21}-4+4)^2 -8=8+21-8=21$;当$a=-2$时,$a^3+(b+4)^2 -c=(-2)^3+(\sqrt{21}-4+4)^2 -8=-8+21-8=5$.综上所述,代数式$a^3+(b+4)^2 -c$的值为21或5.
