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1.「2026江苏盐城东台期中」若一个数的立方根是$-\frac{1}{2}$，则这个数是（）
A.$-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
B.$\pm\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
C.$-\frac{1}{8}$
D.$\pm\frac{1}{8}$
A.$-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
B.$\pm\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
C.$-\frac{1}{8}$
D.$\pm\frac{1}{8}$
答案
C
解析
根据立方根的定义，若一个数的立方根是$-\frac{1}{2}$，则这个数等于$(-\frac{1}{2})$的立方，计算得$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$。
2.下列说法正确的是 （）
A.因为$\sqrt[3]{64}=±4$,所以±4是64的立方根
B.因为$(-0.1)^3=-0.001$,所以-0.001的立方根是-0.1
C.因为$-8=-2^3$,所以-8的立方根是2
D.$-\frac{1}{243}$没有立方根
A.因为$\sqrt[3]{64}=±4$,所以±4是64的立方根
B.因为$(-0.1)^3=-0.001$,所以-0.001的立方根是-0.1
C.因为$-8=-2^3$,所以-8的立方根是2
D.$-\frac{1}{243}$没有立方根
答案
B
解析
根据立方根的定义逐一判断：
1. 选项A：正数的立方根是唯一的正数，$\sqrt[3]{64}=4$，该说法错误；
2. 选项B：若一个数的立方等于$a$，这个数就是$a$的立方根，由$(-0.1)^3=-0.001$，可得-0.001的立方根是-0.1，该说法正确；
3. 选项C：-8的立方根是-2，不是2，该说法错误；
4. 选项D：任意实数都有立方根，负数的立方根是负数，$-\frac{1}{243}$存在立方根，该说法错误。
综上，正确选项为B。
1. 选项A：正数的立方根是唯一的正数，$\sqrt[3]{64}=4$，该说法错误；
2. 选项B：若一个数的立方等于$a$，这个数就是$a$的立方根，由$(-0.1)^3=-0.001$，可得-0.001的立方根是-0.1，该说法正确；
3. 选项C：-8的立方根是-2，不是2，该说法错误；
4. 选项D：任意实数都有立方根，负数的立方根是负数，$-\frac{1}{243}$存在立方根，该说法错误。
综上，正确选项为B。
3.「2025 四川眉山中考」-27 的立方根是。
答案
解：
∵ $(-3)^3 = -27$，
∴ $-27$的立方根是$-3$。
∵ $(-3)^3 = -27$，
∴ $-27$的立方根是$-3$。
4. 学科特色 教材变式 化简：
$-\sqrt[3]{5^3} =$；$\sqrt[3]{-5^3} =$；$(\sqrt[3]{-a})^3 =$。
$-\sqrt[3]{5^3} =$；$\sqrt[3]{-5^3} =$；$(\sqrt[3]{-a})^3 =$。
答案
解：
根据立方根的性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$，$(\sqrt[3]{a})^3=a$。
$-\sqrt[3]{5^3} = -5$；
$\sqrt[3]{-5^3} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$；
$(\sqrt[3]{-a})^3 = -a$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-a}$。
根据立方根的性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$，$(\sqrt[3]{a})^3=a$。
$-\sqrt[3]{5^3} = -5$；
$\sqrt[3]{-5^3} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$；
$(\sqrt[3]{-a})^3 = -a$。
最终答案依次为：$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-a}$。
5.「2026 江苏连云港海州期中」魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力.如图所示的三阶魔方可看作是$3×3×3$的正方体结构，此魔方由27个小正方体构成，且它的体积为$216\ cm^3$(小正方体之间的缝隙忽略不计)，则每个小正方体的棱长为cm.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
设大魔方的棱长为$ a \, \mathrm{cm} $，根据正方体体积公式可得：
$ a^3 = 216 $
解得$ a = 6 $。
由于三阶魔方的每条棱上由3个小正方体的棱长拼接组成，
因此每个小正方体的棱长为$ 6 ÷ 3 = 2 \, \mathrm{cm} $。
最终
设大魔方的棱长为$ a \, \mathrm{cm} $，根据正方体体积公式可得：
$ a^3 = 216 $
解得$ a = 6 $。
由于三阶魔方的每条棱上由3个小正方体的棱长拼接组成，
因此每个小正方体的棱长为$ 6 ÷ 3 = 2 \, \mathrm{cm} $。
最终
6. 学科特色教材变式 求下列各数的立方根：
(1) $1-\dfrac{1}{6}$
(2) $0.125$
(3) $-3\dfrac{3}{8}$
(1) $1-\dfrac{1}{6}$
(2) $0.125$
(3) $-3\dfrac{3}{8}$
答案
解：
(1) 先计算 $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$，
$\because (\sqrt[3]{\dfrac{5}{6}})^3=\dfrac{5}{6}$，
$\therefore 1-\dfrac{1}{6}$的立方根是$\sqrt[3]{\dfrac{5}{6}}$；
(2) $\because 0.5^3=0.125$，
$\therefore 0.125$的立方根是$0.5$；
(3) 先将带分数化为假分数：$-3\dfrac{3}{8}=-\dfrac{27}{8}$，
$\because (-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，
$\therefore -3\dfrac{3}{8}$的立方根是$-\dfrac{3}{2}$。
(1) 先计算 $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$，
$\because (\sqrt[3]{\dfrac{5}{6}})^3=\dfrac{5}{6}$，
$\therefore 1-\dfrac{1}{6}$的立方根是$\sqrt[3]{\dfrac{5}{6}}$；
(2) $\because 0.5^3=0.125$，
$\therefore 0.125$的立方根是$0.5$；
(3) 先将带分数化为假分数：$-3\dfrac{3}{8}=-\dfrac{27}{8}$，
$\because (-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$，
$\therefore -3\dfrac{3}{8}$的立方根是$-\dfrac{3}{2}$。
7.求下列各式中的$x$的值.
(1)$8x^3 +125=0$.
(2)$27(x+1)^3=-64$.
(1)$8x^3 +125=0$.
(2)$27(x+1)^3=-64$.
答案
解：
(1) 移项，得 $8x^3 = -125$，
两边同时除以8，得 $x^3 = -\frac{125}{8}$，
由立方根的定义，得 $x = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\frac{5}{2}$。
(2) 两边同时除以27，得 $(x+1)^3 = -\frac{64}{27}$，
由立方根的定义，得 $x+1 = \sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = -\frac{4}{3}$，
移项计算，得 $x = -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{7}{3}$。
(1) 移项，得 $8x^3 = -125$，
两边同时除以8，得 $x^3 = -\frac{125}{8}$，
由立方根的定义，得 $x = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\frac{5}{2}$。
(2) 两边同时除以27，得 $(x+1)^3 = -\frac{64}{27}$，
由立方根的定义，得 $x+1 = \sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = -\frac{4}{3}$，
移项计算，得 $x = -\frac{4}{3} - 1 = -\frac{7}{3}$。
8.「2025江苏无锡惠山月考，★☆」已知$\sqrt[3]{x-1}=x-1$，则$x^2+x$的值为（）
A.0或1
B.0或2或8
C.0或6
D.0或2或6
A.0或1
B.0或2或8
C.0或6
D.0或2或6
答案
D
解析
根据立方根的性质，立方根等于自身的数为0、1、-1，由$\sqrt[3]{x-1}=x-1$可得：
1. 若$x-1=0$，解得$x=1$，代入得$x^2+x=1^2+1=2$；
2. 若$x-1=1$，解得$x=2$，代入得$x^2+x=2^2+2=6$；
3. 若$x-1=-1$，解得$x=0$，代入得$x^2+x=0^2+0=0$。
因此$x^2+x$的值为0或2或6。
1. 若$x-1=0$，解得$x=1$，代入得$x^2+x=1^2+1=2$；
2. 若$x-1=1$，解得$x=2$，代入得$x^2+x=2^2+2=6$；
3. 若$x-1=-1$，解得$x=0$，代入得$x^2+x=0^2+0=0$。
因此$x^2+x$的值为0或2或6。
9.「2026江苏宿迁宿城期中，★☆」已知$\sqrt[3]{2a - 8} + \sqrt[3]{5 - 3b} = 0$，则$\sqrt{6a - 9b}$的值为（）
A.9
B.$\pm9$
C.3
D.$\pm3$
A.9
B.$\pm9$
C.3
D.$\pm3$
答案
C
解析
根据立方根的性质：若两个立方根的和为0，则它们的被开方数互为相反数，可得$2a-8 + 5 - 3b = 0$，整理得$2a-3b=3$。将$6a-9b$变形为$3(2a-3b)$，代入得$6a-9b=3×3=9$，因此$\sqrt{6a-9b}=\sqrt{9}=3$。
10.「★☆」定义一种新的运算：$a \otimes b = \begin{cases}3a - 5b & (a ＞ b), \\ \sqrt[3]{ab} & (a ≤ b).\end{cases}$ 则 $5 \otimes (1 \otimes 8) =$ ______ .
答案
解：
先计算括号内的$1\otimes8$：
$\because 1＜8$，满足$a≤ b$，
$\therefore 1\otimes8=\sqrt[3]{1×8}=\sqrt[3]{8}=2$。
再计算$5\otimes2$：
$\because 5＞2$，满足$a＞b$，
$\therefore 5\otimes2=3×5 - 5×2=15-10=5$。
最终结果为$\boldsymbol{5}$。
先计算括号内的$1\otimes8$：
$\because 1＜8$，满足$a≤ b$，
$\therefore 1\otimes8=\sqrt[3]{1×8}=\sqrt[3]{8}=2$。
再计算$5\otimes2$：
$\because 5＞2$，满足$a＞b$，
$\therefore 5\otimes2=3×5 - 5×2=15-10=5$。
最终结果为$\boldsymbol{5}$。
11.「2026江苏无锡江阴月考，★??」在数学主题乐园，有一底面为正方形的迷宫，该底面的边长对应的正数的两个平方根分别是$3b-4$和$2b-6$，解出$b$才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根$a$组成。进入密室后，需解出关于$x$的方程$2x+3a=11$，才能兑换奖励。
(1)$a=$,$b=$,$x=$.
(2)将奖励存入棱长为$a-b$的正方体盒子中，若盒子体积比$x^3$大$k$，求$k+1$的算术平方根。
(1)$a=$,$b=$,$x=$.
(2)将奖励存入棱长为$a-b$的正方体盒子中，若盒子体积比$x^3$大$k$，求$k+1$的算术平方根。
答案
解：
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以 $(3b-4)+(2b-6)=0$，
整理得 $5b=10$，
解得 $b=2$。
因为 $5^3=125$，所以125的立方根 $a=5$。
将 $a=5$ 代入方程 $2x+3a=11$，得 $2x+15=11$，
解得 $x=-2$。
所以 $a=\boldsymbol{5}$，$b=\boldsymbol{2}$，$x=\boldsymbol{-2}$。
(2) 由题意得，正方体盒子的棱长为 $a-b=5-2=3$，
盒子的体积为 $3^3=27$，
$x^3=(-2)^3=-8$。
根据题意可得：$27 - x^3 = k$，
代入得 $k=27 - (-8)=35$，
则 $k+1=35+1=36$，
36的算术平方根为 $\sqrt{36}=6$。
答：$k+1$的算术平方根为6。
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以 $(3b-4)+(2b-6)=0$，
整理得 $5b=10$，
解得 $b=2$。
因为 $5^3=125$，所以125的立方根 $a=5$。
将 $a=5$ 代入方程 $2x+3a=11$，得 $2x+15=11$，
解得 $x=-2$。
所以 $a=\boldsymbol{5}$，$b=\boldsymbol{2}$，$x=\boldsymbol{-2}$。
(2) 由题意得，正方体盒子的棱长为 $a-b=5-2=3$，
盒子的体积为 $3^3=27$，
$x^3=(-2)^3=-8$。
根据题意可得：$27 - x^3 = k$，
代入得 $k=27 - (-8)=35$，
则 $k+1=35+1=36$，
36的算术平方根为 $\sqrt{36}=6$。
答：$k+1$的算术平方根为6。
