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1. 下列各组数中,能作为直角三角形的三边长的是()
A.4,5,6
B.1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
C.6,7,8
D.8,12,15
A.4,5,6
B.1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
C.6,7,8
D.8,12,15
答案
B
解析
根据勾股定理的逆定理，验证各组数中两较小数的平方和是否等于最大数的平方：
A. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 ≠ 6^2=36$，不能构成直角三角形；
B. $1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 = (\sqrt{3})^2$，可以构成直角三角形；
C. $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 ≠ 8^2=64$，不能构成直角三角形；
D. $8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208 ≠ 15^2=225$，不能构成直角三角形。
A. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 ≠ 6^2=36$，不能构成直角三角形；
B. $1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3 = (\sqrt{3})^2$，可以构成直角三角形；
C. $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 ≠ 8^2=64$，不能构成直角三角形；
D. $8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208 ≠ 15^2=225$，不能构成直角三角形。
2. 若一个六边形的每个内角都是$x°$，则$x$的值为()
A.60
B.90
C.120
D.150
A.60
B.90
C.120
D.150
答案
C
解析
根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，可得六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$。由于该六边形每个内角都相等，因此$x=720÷6=120$。
3. 一个三角形的边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形的面积是()
A.250 cm²
B.150 cm²
C.200 cm²
D.不能确定
A.250 cm²
B.150 cm²
C.200 cm²
D.不能确定
答案
B
解析
先利用勾股定理逆定理判断三角形形状：计算得$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$25^2 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，因此这个三角形是直角三角形，长度为15cm、20cm的边是两条直角边。根据直角三角形面积公式，面积$S=\frac{1}{2} × 15 × 20 = 150\ \mathrm{cm}^2$。
4. 如图，在$∠ MON$的两边上分别截取$OA,OB$,使$OA=OB$；分别以点$A,B$为圆心，$OA$长为半径作弧，两弧交于点$C$；连接$AC,BC,AB,OC$.若$AB=3\ \mathrm{cm}$，四边形$AOBC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$,则$OC$的长为()
A.5 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.4 cm
第4题图 第5题图
A.5 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.4 cm
第4题图 第5题图
答案
B
解析
由作图过程可知OA=OB=AC=BC，因此四边形AOBC是菱形。根据菱形面积等于对角线乘积的一半，将AB=3cm、四边形AOBC面积为12cm²代入公式得：$\frac{1}{2} × AB × OC = 12$，即$\frac{1}{2} × 3 × OC = 12$，解得OC=8cm。
5. 如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,连接AE,ED,将△ABE沿AE翻折,使点B落在B'处,线段EB'交AD于点F,将△ECD沿DE翻折,使点C的对应点C'落在线段EB'上,若点C'恰好为EB'的中点,则线段EF的长为()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{3}{4}\sqrt{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{3}{4}\sqrt{2}$
答案
D
解析
由折叠性质可得：AB'=AB=1，B'E=BE，∠B'=∠B=90°；C'D=CD=1，EC'=EC，∠DC'E=∠C=90°。
因为C'是EB'中点，所以B'E=2EC'，即BE=2EC。
设EC=x，则BE=2x，BC=AD=3x。
由折叠知∠AEB=∠AEB'，∠DEC=∠DEC'，结合平角定义可得∠AEB'+∠DEC'=90°，即∠AED=90°。
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²=1+4x²；在Rt△DCE中，DE²=CD²+EC²=1+x²。
在Rt△AED中，由勾股定理得AD²=AE²+DE²，即(3x)²=1+4x²+1+x²，化简得4x²=2，解得x=√2/2（x＞0）。
由AD//BC，得∠FAE=∠AEB=∠AEF，故AF=EF；同理∠FDE=∠DEC=∠DEF，故DF=EF，因此AF=DF，F是AD中点。
在Rt△AED中，EF是斜边AD的中线，故EF=1/2 AD=1/2×3x= 3√2/4。
因为C'是EB'中点，所以B'E=2EC'，即BE=2EC。
设EC=x，则BE=2x，BC=AD=3x。
由折叠知∠AEB=∠AEB'，∠DEC=∠DEC'，结合平角定义可得∠AEB'+∠DEC'=90°，即∠AED=90°。
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²=1+4x²；在Rt△DCE中，DE²=CD²+EC²=1+x²。
在Rt△AED中，由勾股定理得AD²=AE²+DE²，即(3x)²=1+4x²+1+x²，化简得4x²=2，解得x=√2/2（x＞0）。
由AD//BC，得∠FAE=∠AEB=∠AEF，故AF=EF；同理∠FDE=∠DEC=∠DEF，故DF=EF，因此AF=DF，F是AD中点。
在Rt△AED中，EF是斜边AD的中线，故EF=1/2 AD=1/2×3x= 3√2/4。
6. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，若$AC=5$，$AB=13$，则$BC=$。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：
在$△ ABC$中，$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入$AC=5$，$AB=13$，得：
$5^2 + BC^2 = 13^2$，
即$25 + BC^2 = 169$，
$\therefore BC^2 = 144$，
又$\because BC＞0$，
$\therefore BC=12$。
在$△ ABC$中，$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore$ 由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入$AC=5$，$AB=13$，得：
$5^2 + BC^2 = 13^2$，
即$25 + BC^2 = 169$，
$\therefore BC^2 = 144$，
又$\because BC＞0$，
$\therefore BC=12$。
7. 如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）。
答案
解：$OA=OC$（答案不唯一）
8. 如图，O为原点，$□ ABCD$的顶点$A(0,4)$，$B(-5,-1)$，$C(0,-1)$，则点D的坐标为。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且AD=BC。
由点B(-5,-1)、C(0,-1)可知，BC平行于x轴，BC的长度为$0-(-5)=5$，
∴ AD也平行于x轴，点D的纵坐标与点A(0,4)的纵坐标相等，为4，
点D的横坐标为$0+5=5$，
∴ 点D的坐标为$\boldsymbol{(5,4)}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且AD=BC。
由点B(-5,-1)、C(0,-1)可知，BC平行于x轴，BC的长度为$0-(-5)=5$，
∴ AD也平行于x轴，点D的纵坐标与点A(0,4)的纵坐标相等，为4，
点D的横坐标为$0+5=5$，
∴ 点D的坐标为$\boldsymbol{(5,4)}$。
9. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，则$AE$的长为。
第9题图 第10题图
第9题图 第10题图
答案
解：连接BE。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵$DE$是$AB$的垂直平分线，
∴$AE=BE$。
设$AE=x$，则$BE=x$，$CE=AC-AE=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$CE^2+BC^2=BE^2$，
即$(4-x)^2+3^2=x^2$，
展开整理得$8x=25$，
解得$x=\dfrac{25}{8}$。
$\dfrac{25}{8}$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵$DE$是$AB$的垂直平分线，
∴$AE=BE$。
设$AE=x$，则$BE=x$，$CE=AC-AE=4-x$。
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$CE^2+BC^2=BE^2$，
即$(4-x)^2+3^2=x^2$，
展开整理得$8x=25$，
解得$x=\dfrac{25}{8}$。
$\dfrac{25}{8}$
10. 如图，已知$AB=12$，$AB⊥BC$于点$B$，$AB⊥AD$于点$A$，点$E$是$CD$的中点，连接$AE$并延长交$BC$于点$F$，$AD=5$，$BC=10$，则$AE$的长为。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{13}{2}}$（或6.5）
解析
解：
∵ $AB⊥BC$，$AB⊥AD$
∴ $AD// BC$
∴ $∠ D = ∠ ECF$
∵ 点$E$是$CD$的中点
∴ $DE = CE$
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ D = ∠ ECF \\DE = CE \\∠ AED = ∠ FEC\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ FCE$（ASA）
∴ $AD = CF = 5$，$AE = EF$
∴ $BF = BC - CF = 10 - 5 = 5$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$
又∵ $AF = AE + EF = 2AE$
∴ $AE = \frac{1}{2}AF = \frac{13}{2}$
∵ $AB⊥BC$，$AB⊥AD$
∴ $AD// BC$
∴ $∠ D = ∠ ECF$
∵ 点$E$是$CD$的中点
∴ $DE = CE$
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ D = ∠ ECF \\DE = CE \\∠ AED = ∠ FEC\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ FCE$（ASA）
∴ $AD = CF = 5$，$AE = EF$
∴ $BF = BC - CF = 10 - 5 = 5$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$
又∵ $AF = AE + EF = 2AE$
∴ $AE = \frac{1}{2}AF = \frac{13}{2}$
