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1. 新趋势算法探究 简便计算下面各题。
(1) $(\frac{5}{9}-\frac{5}{17})÷(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})$
(2) $\frac{11}{10}×\frac{11}{10}×\frac{11}{10}-\frac{11}{10}×\frac{11}{10}-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$
(3) $1\frac{3}{5}×\frac{7}{9}-\frac{7}{9}×0.6$
(4)
(1) $(\frac{5}{9}-\frac{5}{17})÷(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})$
(2) $\frac{11}{10}×\frac{11}{10}×\frac{11}{10}-\frac{11}{10}×\frac{11}{10}-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$
(3) $1\frac{3}{5}×\frac{7}{9}-\frac{7}{9}×0.6$
(4)
答案
1.(1) 原式$=(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})×5÷(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})=5$
(2) 原式$=(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×\frac{11}{10}-(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×1-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}=(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×(\frac{11}{10}-1)-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}=\frac{11}{10}×\frac{11}{10}×\frac{1}{10}-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}=\frac{11}{10}×(\frac{11}{10}×\frac{1}{10})-(\frac{11}{10}×\frac{1}{10})×1=(\frac{11}{10}×\frac{1}{10})×(\frac{11}{10}-1)=\frac{11}{100}×\frac{1}{10}=\frac{11}{1000}$
(3) 原式$=\frac{7}{9}×(1.6-0.6)=\frac{7}{9}×1=\frac{7}{9}$
(4) 原式$=\frac{\overbrace{(0.125×8)×(0.125×8)×\dots×(0.125×8)}^{100个(0.125×8)}}{}×8=\overbrace{1×1×\dots×1}^{100个1}×8=8$
(2) 原式$=(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×\frac{11}{10}-(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×1-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}=(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×(\frac{11}{10}-1)-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}=\frac{11}{10}×\frac{11}{10}×\frac{1}{10}-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}=\frac{11}{10}×(\frac{11}{10}×\frac{1}{10})-(\frac{11}{10}×\frac{1}{10})×1=(\frac{11}{10}×\frac{1}{10})×(\frac{11}{10}-1)=\frac{11}{100}×\frac{1}{10}=\frac{11}{1000}$
(3) 原式$=\frac{7}{9}×(1.6-0.6)=\frac{7}{9}×1=\frac{7}{9}$
(4) 原式$=\frac{\overbrace{(0.125×8)×(0.125×8)×\dots×(0.125×8)}^{100个(0.125×8)}}{}×8=\overbrace{1×1×\dots×1}^{100个1}×8=8$
解析
【分析】
这几道题均考查四则运算的简便计算，核心是灵活运用运算定律简化计算：
1. 第(1)题：观察发现被除数的两项分子均为5，可先提取公因数5，提取后剩余部分和除数完全相同，直接约去即可得结果；
2. 第(2)题：多次运用乘法分配律的逆运算，逐步提取相同的公因数，避免直接通分计算的繁琐；
3. 第(3)题：两个乘法项有公共因数$\frac{7}{9}$，提取公因数后先算括号内的减法凑整，再算乘法即可；
4. 第(4)题：已知$0.125×8=1$，利用乘法交换律和结合律，将100个0.125和100个8两两配对相乘得1，剩余1个8直接相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 对被除数提取公因数5：
原式$=5×(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})÷(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})$，除数和括号内部分相同且不为0，约去后得$5$。
(2) 逐步提取公因数计算：
先将前两项提取公因数$\frac{11}{10}×\frac{11}{10}$：
原式$=(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×(\frac{11}{10}-1)-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$
$=\frac{11}{10}×\frac{11}{10}×\frac{1}{10}-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$
再提取公因数$\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$：
$=\frac{11}{10}×\frac{1}{10}×(\frac{11}{10}-1)$
$=\frac{11}{100}×\frac{1}{10}=\frac{11}{1000}$
(3) 先把带分数化为小数$1\frac{3}{5}=1.6$，再提取公因数$\frac{7}{9}$：
原式$=\frac{7}{9}×(1.6-0.6)$
$=\frac{7}{9}×1=\frac{7}{9}$
(4) 用乘法交换律和结合律配对计算：
100个0.125和100个8两两配对相乘，每组得1，剩余1个8单独计算：
原式$=\underbrace{(0.125×8)×(0.125×8)×\dots×(0.125×8)}_{100组} ×8$
$=\underbrace{1×1×\dots×1}_{100个1} ×8=1×8=8$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\frac{11}{1000}}$；(3) $\boxed{\frac{7}{9}}$；(4) $\boxed{8}$
【知识点】
乘法运算定律、简便计算、分数小数四则运算
【点评】
这是简便计算的典型考法，需要观察算式中数字的特征，灵活运用乘法分配律、交换律、结合律，通过提取公因数、凑整等方式简化运算，避免复杂的通分和分步计算，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
这几道题均考查四则运算的简便计算，核心是灵活运用运算定律简化计算：
1. 第(1)题：观察发现被除数的两项分子均为5，可先提取公因数5，提取后剩余部分和除数完全相同，直接约去即可得结果；
2. 第(2)题：多次运用乘法分配律的逆运算，逐步提取相同的公因数，避免直接通分计算的繁琐；
3. 第(3)题：两个乘法项有公共因数$\frac{7}{9}$，提取公因数后先算括号内的减法凑整，再算乘法即可；
4. 第(4)题：已知$0.125×8=1$，利用乘法交换律和结合律，将100个0.125和100个8两两配对相乘得1，剩余1个8直接相乘即可得到结果。
【解析】
(1) 对被除数提取公因数5：
原式$=5×(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})÷(\frac{1}{9}-\frac{1}{17})$，除数和括号内部分相同且不为0，约去后得$5$。
(2) 逐步提取公因数计算：
先将前两项提取公因数$\frac{11}{10}×\frac{11}{10}$：
原式$=(\frac{11}{10}×\frac{11}{10})×(\frac{11}{10}-1)-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$
$=\frac{11}{10}×\frac{11}{10}×\frac{1}{10}-\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$
再提取公因数$\frac{11}{10}×\frac{1}{10}$：
$=\frac{11}{10}×\frac{1}{10}×(\frac{11}{10}-1)$
$=\frac{11}{100}×\frac{1}{10}=\frac{11}{1000}$
(3) 先把带分数化为小数$1\frac{3}{5}=1.6$，再提取公因数$\frac{7}{9}$：
原式$=\frac{7}{9}×(1.6-0.6)$
$=\frac{7}{9}×1=\frac{7}{9}$
(4) 用乘法交换律和结合律配对计算：
100个0.125和100个8两两配对相乘，每组得1，剩余1个8单独计算：
原式$=\underbrace{(0.125×8)×(0.125×8)×\dots×(0.125×8)}_{100组} ×8$
$=\underbrace{1×1×\dots×1}_{100个1} ×8=1×8=8$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\frac{11}{1000}}$；(3) $\boxed{\frac{7}{9}}$；(4) $\boxed{8}$
【知识点】
乘法运算定律、简便计算、分数小数四则运算
【点评】
这是简便计算的典型考法，需要观察算式中数字的特征，灵活运用乘法分配律、交换律、结合律，通过提取公因数、凑整等方式简化运算，避免复杂的通分和分步计算，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
2. 新情境生活应用 妈妈带80元去买水果，买了3千克单价为12.8元/千克的橙子和2千克单价为9.6元/千克的葡萄。估一估，剩下的钱够买一盒15元的草莓吗？够买一盒28元的蓝莓吗？
答案
12.8＜13 9.6＜10
80-(13×3+10×2)=21(元) 15＜21
12.8＞12 9.6＞9
80-(12×3+9×2)=26(元) 26＜28
答:剩下的钱够买一盒15元的草莓,不够买一盒28元的蓝莓。
80-(13×3+10×2)=21(元) 15＜21
12.8＞12 9.6＞9
80-(12×3+9×2)=26(元) 26＜28
答:剩下的钱够买一盒15元的草莓,不够买一盒28元的蓝莓。
解析
【分析】这是一道生活购物场景的估算题，解题时需根据判断需求选择正确的估算方向：①判断够不够买15元的草莓时，把橙子、葡萄的单价往大估，算出的总花费比实际花费多，剩余的钱比实际剩余的少，若此时剩余的钱仍够买草莓，说明实际一定够；②判断够不够买28元的蓝莓时，把橙子、葡萄的单价往小估，算出的总花费比实际花费少，剩余的钱比实际剩余的多，若此时剩余的钱都不够买蓝莓，说明实际一定不够。
【解析】
第一步：判断是否够买15元的草莓
把橙子单价12.8元估为13元（12.8＜13），葡萄单价9.6元估为10元（9.6＜10）
估算总花费：$13×3 + 10×2 = 39 + 20 = 59$（元）
估算剩余钱数：$80 - 59 = 21$（元）
因为$15＜21$，所以实际剩余的钱比21元更多，够买15元的草莓。
第二步：判断是否够买28元的蓝莓
把橙子单价12.8元估为12元（12.8＞12），葡萄单价9.6元估为9元（9.6＞9）
估算总花费：$12×3 + 9×2 = 36 + 18 = 54$（元）
估算剩余钱数：$80 - 54 = 26$（元）
因为$26＜28$，所以实际剩余的钱比26元更少，不够买28元的蓝莓。
【答案】剩下的钱够买一盒15元的草莓,不够买一盒28元的蓝莓。
【知识点】小数估算，单价数量总价关系，够不够问题判断
【点评】本题结合生活实际考查估算的灵活应用，解题关键是根据判断目的选择合适的估算方向，避免因估算方向错误得到相反的结论。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：判断是否够买15元的草莓
把橙子单价12.8元估为13元（12.8＜13），葡萄单价9.6元估为10元（9.6＜10）
估算总花费：$13×3 + 10×2 = 39 + 20 = 59$（元）
估算剩余钱数：$80 - 59 = 21$（元）
因为$15＜21$，所以实际剩余的钱比21元更多，够买15元的草莓。
第二步：判断是否够买28元的蓝莓
把橙子单价12.8元估为12元（12.8＞12），葡萄单价9.6元估为9元（9.6＞9）
估算总花费：$12×3 + 9×2 = 36 + 18 = 54$（元）
估算剩余钱数：$80 - 54 = 26$（元）
因为$26＜28$，所以实际剩余的钱比26元更少，不够买28元的蓝莓。
【答案】剩下的钱够买一盒15元的草莓,不够买一盒28元的蓝莓。
【知识点】小数估算，单价数量总价关系，够不够问题判断
【点评】本题结合生活实际考查估算的灵活应用，解题关键是根据判断目的选择合适的估算方向，避免因估算方向错误得到相反的结论。
【难度系数】0.7
3. 下面是水果店的公告牌(□表示遮住了一个数字),妈妈购买水果的预算为100元,要买4千克苹果和4千克香蕉,够吗?请写出估算过程。
答案
17.□8＜18 6.□5＜7 18×4+7×4=100(元)
因为实际单价小于估算单价,所以实际总价小于100元
答:要买4千克苹果和4千克香蕉,够。
因为实际单价小于估算单价,所以实际总价小于100元
答:要买4千克苹果和4千克香蕉,够。
解析
【分析】
要判断100元够不够买4千克苹果和4千克香蕉，适合用“往大估”的估算策略：如果将两种水果的单价都估成比实际单价更大的数，计算出的总费用仍不超过100元，那么实际总费用一定比估算值更小，100元就足够。首先确定两种水果单价的上限：苹果单价17.□8元，无论方框里填0~9中任意数字，都小于18元；香蕉单价6.□5元，无论方框里填0~9中任意数字，都小于7元。再分别计算4千克两种水果估大后的总价，相加后和100元比较即可。
【解析】
我们将两种水果的单价往大估算：
苹果单价：$17.□8 ＜ 18$（元/千克）
香蕉单价：$6.□5 ＜ 7$（元/千克）
计算估算后的总费用：
$18×4 + 7×4$
$=72 + 28$
$=100$（元）
因为我们把单价都估大了，所以实际总费用一定小于估算的100元。
【答案】
要买4千克苹果和4千克香蕉，100元够。
【知识点】
小数估算；单价数量总价关系；估算解决实际问题
【点评】
解决“够不够”类实际问题时，要根据题意选择合适的估算方向，本题选择往大估的策略，无需算出精确总价就能快速判断结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要判断100元够不够买4千克苹果和4千克香蕉，适合用“往大估”的估算策略：如果将两种水果的单价都估成比实际单价更大的数，计算出的总费用仍不超过100元，那么实际总费用一定比估算值更小，100元就足够。首先确定两种水果单价的上限：苹果单价17.□8元，无论方框里填0~9中任意数字，都小于18元；香蕉单价6.□5元，无论方框里填0~9中任意数字，都小于7元。再分别计算4千克两种水果估大后的总价，相加后和100元比较即可。
【解析】
我们将两种水果的单价往大估算：
苹果单价：$17.□8 ＜ 18$（元/千克）
香蕉单价：$6.□5 ＜ 7$（元/千克）
计算估算后的总费用：
$18×4 + 7×4$
$=72 + 28$
$=100$（元）
因为我们把单价都估大了，所以实际总费用一定小于估算的100元。
【答案】
要买4千克苹果和4千克香蕉，100元够。
【知识点】
小数估算；单价数量总价关系；估算解决实际问题
【点评】
解决“够不够”类实际问题时，要根据题意选择合适的估算方向，本题选择往大估的策略，无需算出精确总价就能快速判断结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
4. 新情境生活应用 为增强体质，李老师每天跑1000米，王老师每天跑的路程比李老师多$\frac{1}{5}$，张老师每天跑的路程比王老师少$\frac{1}{4}$。张老师每天跑多少米？
答案
$1000×(1+\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{4})=900$(米)
答:张老师每天跑900米。
答:张老师每天跑900米。
解析
【分析】解题时首先要找准每个分率对应的单位“1”：第一个分率$\frac{1}{5}$的单位“1”是李老师每天跑的路程，已知李老师每天跑1000米，王老师跑的路程是李老师的$(1+\frac{1}{5})$，可先求出王老师每天跑的路程；第二个分率$\frac{1}{4}$的单位“1”是王老师每天跑的路程，张老师跑的路程是王老师的$(1-\frac{1}{4})$，再用王老师的路程乘对应分率就能得到张老师的路程，也可以直接列连乘综合算式计算。
【解析】
方法一：分步计算
1. 先算王老师每天跑的路程：
王老师跑的路程是李老师的$(1+\frac{1}{5})$，列式为：
$1000×(1+\frac{1}{5})=1000×\frac{6}{5}=1200$（米）
2. 再算张老师每天跑的路程：
张老师跑的路程是王老师的$(1-\frac{1}{4})$，列式为：
$1200×(1-\frac{1}{4})=1200×\frac{3}{4}=900$（米）
方法二：综合算式计算
$1000×(1+\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{4})$
$=1000×\frac{6}{5}×\frac{3}{4}$
$=1200×\frac{3}{4}$
$=900$（米）
答：张老师每天跑900米。
【答案】
900米
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”判定、连续求一个数的几分之几
【点评】
本题结合日常运动的生活场景考查分数乘法的实际应用，解题的关键是准确区分不同分率对应的单位“1”，避免混淆单位“1”出现计算错误，掌握“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
【解析】
方法一：分步计算
1. 先算王老师每天跑的路程：
王老师跑的路程是李老师的$(1+\frac{1}{5})$，列式为：
$1000×(1+\frac{1}{5})=1000×\frac{6}{5}=1200$（米）
2. 再算张老师每天跑的路程：
张老师跑的路程是王老师的$(1-\frac{1}{4})$，列式为：
$1200×(1-\frac{1}{4})=1200×\frac{3}{4}=900$（米）
方法二：综合算式计算
$1000×(1+\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{4})$
$=1000×\frac{6}{5}×\frac{3}{4}$
$=1200×\frac{3}{4}$
$=900$（米）
答：张老师每天跑900米。
【答案】
900米
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”判定、连续求一个数的几分之几
【点评】
本题结合日常运动的生活场景考查分数乘法的实际应用，解题的关键是准确区分不同分率对应的单位“1”，避免混淆单位“1”出现计算错误，掌握“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
