1. [2025连云港中考]如图，正比例函数$y_1 = k_1 x(k_1 ＜ 0)$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2 ＜ 0)$的图象交于A,B两点，点A的横坐标为-1.当$y_1 ＜ y_2$时，x的取值范围是（）

A.$x ＜ -1$或$x ＞ 1$
B.$x ＜ -1$或$0 ＜ x ＜ 1$
C.$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$或$0 ＜ x ＜ 1$

C 由双曲线的对称性,得点B的横坐标为1,
∴当$y_1 ＜ y_2$时,x的取值范围为$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1.$

2. [2025南京玄武区期末]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,3)$，当$x ＜ -3$时，$y$的取值范围是。

-2 ＜ y ＜ 0

∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点(2,3),
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$,当x ＜ -3时,y的取值范围是-2 ＜ y ＜ 0.

3. [2025巴中中考]如图,直线$y=kx+b$与双曲线$y=\frac{m}{x}(x＜0)$交于$A(-2,6),B(-6,a)$两点.
(1)求$m$和直线的表达式;
(2)根据函数图象直接写出不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集;
(3)求$△ ABO$的面积.

解:(1)
∵点A(-2,6)在双曲线$y=\frac{m}{x}$上,
∴m = -2×6 = -12.
∵B(-6,a)在双曲线$y=\frac{m}{x}$上,
∴-6a = -12,解得a = 2,
∴B(-6,2).
将A(-2,6),B(-6,2)代入y = kx + b,得$\begin{cases}-2k + b = 6,\\-6k + b = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1,\\b = 8,\end{cases}$
∴y = x + 8.
(2)不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集为-6 ＜ x ＜ -2.
(3)如图,设直线AB与x轴交于点C,
当y = 0时,x + 8 = 0,
∴x = -8,
∴C(-8,0),
∴$S_{△ABO}=S_{△ACO}-S_{△BCO}=\frac{1}{2}×|-8|×6 - \frac{1}{2}×|-8|×2 = 24 - 8 = 16.$

4. 易错题 [2026 徐州树人初级中学一模]如图,点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,$AB ⊥ y$轴于点B,点C是x轴上的任意一点,且$S_{△ ACB}=2$,则k的值为 ()

A.2
B.-2
C.4
D.-4

D 连接OA.
∵$S_{△ACB}=2$,
∴$S_{△AOB}=2$,
∴$\frac{1}{2}|k|=2$,
∴k=±4.由题图,知k=-4(图象在第二象限,k＜0).

5. 如图,直线AB平行于y轴,且分别与反比例函数$y=\frac{6}{x}, y=\frac{4}{x}$的图象交于点A,B,则$△ ABO$的面积为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

A 如图,令直线AB交x轴于点D.由题意,知$S_{△AOD}=\frac{1}{2}×6=3$,$S_{△BOD}=\frac{1}{2}×4=2$,
∴$S_{△AOB}=S_{△AOD}-S_{△BOD}=3-2=1.$

6. [2026 徐州沛县模拟] 如图,点A,D分别在函数$y=\frac{-3}{x},y=\frac{6}{x}$的图象上,点B,C在x轴上.若四边形ABCD为矩形,点D在第一象限,点E在线段AD上,则$△ EBC$的面积为.

4.5

∵点A,D分别在函数$y=\frac{-3}{x},y=\frac{6}{x}$的图象上,
∴$S_{矩形ABCD}=3+6=9$,
∴$S_{△EBC}=\frac{1}{2}BC·AB=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=4.5.$

7. [2025南京联合体期末]如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上. 若菱形OABC的面积为4,则k的值为.

-2 如图,连接AC,交OB于点D,则AC⊥x轴.由菱形的性质,知$S_{△AOD}=\frac{1}{4}S_{菱形OABC}=\frac{1}{4}×4=1$,
∴$|k|=2S_{△AOD}=2.$
∵反比例函数图象在第二象限,
∴k=-2.

8. 一题多解 [2026合肥期末] 如图是反比例函数$y=\frac{k_1}{x},y=\frac{k_2}{x}$在x轴上方的图象，平行四边形OABC的面积是5，若点A在x轴上，点B在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，点C在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，则$k_2 -k_1$的值为。

-5 通解 如图1,设BC交y轴于点E,过点B作BD⊥OA于点D.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴BC//OA,∠DAB=∠ECO,
∴BC⊥y轴,
∴∠ADB=∠CEO.又
∵BD=OE,
∴△OEC≌△BDA,
∴$S_{△OEC}=S_{△BDA}$.
∵平行四边形OABC的面积为5,
∴$2×\frac{|k_2|}{2}+k_1=5$,
∴$-k_2 + k_1=5$,
∴$k_2 - k_1=-5.$
另解1 如图2,连接OB,设BC与y轴交于点D.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴BC//AO,OC=BA,BC=OA,
∴BC⊥y轴.又
∵OB=BO,
∴△AOB≌△CBO(SSS),
∴$S_{△AOB}=S_{△CBO}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCO}=\frac{5}{2}$.
∵点B在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上,点C在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上,
∴$k_1＞0,k_2＜0$,
∴$S_{△COD}=\frac{1}{2}|k_2|$,$S_{△BOD}=\frac{1}{2}|k_1|$,
∴$\frac{1}{2}|k_2|+\frac{1}{2}|k_1|=\frac{5}{2}$,
∴$-k_2 + k_1=5$,
∴$k_2 - k_1=-5.$
另解2 设$B(\frac{k_1}{m},m)$,$C(\frac{k_2}{m},m)$,则$BC=\frac{k_1}{m}-\frac{k_2}{m}$.由平行四边形OABC的面积是5,得$(\frac{k_1}{m}-\frac{k_2}{m})·m=5$,得$k_2 - k_1=-5.$