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9 分类讨论思想 若关于x的一元一次方程$ax - x = 3$有正整数解，且a为整数，则a的值是（
A.2
B.4
C.1或3
D.2或4
D
）A.2
B.4
C.1或3
D.2或4
答案
9.D 【解析】原方程可化为$(a-1)x=3$.因为原方程有解,所以$x=\frac{3}{a-1}$.又因为a为整数,x为正整数,所以$a-1=1$或$a-1=3$.所以$a=2$或$a=4.$
解析
【分析】
首先对给定的一元一次方程合并同类项，化简得到x关于a的表达式。已知方程有正整数解且a为整数，因此表达式中分母a-1必须是分子3的正因数，只需找出3的所有正因数，分别计算对应的a值即可得到结果。
【解析】
解：对原方程合并同类项，可得$(a-1)x=3$。
因为该方程是一元一次方程，所以$a-1≠0$，因此方程的解为$x=\frac{3}{a-1}$。
已知x是正整数，且a为整数，因此$a-1$是3的正因数，3的正因数为1和3，分两种情况讨论：
1. 当$a-1=1$时，解得$a=2$，此时$x=3$，符合正整数解的要求；
2. 当$a-1=3$时，解得$a=4$，此时$x=1$，符合正整数解的要求。
综上，a的值为2或4。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程求解；分类讨论思想；整数解分析
【点评】
本题核心考查一元一次方程的整数解问题，解题关键是将方程变形后，结合解为正整数、参数为整数的条件确定参数的可能取值，解题时注意不要遗漏所有符合要求的因数情况。
【难度系数】
0.7
首先对给定的一元一次方程合并同类项，化简得到x关于a的表达式。已知方程有正整数解且a为整数，因此表达式中分母a-1必须是分子3的正因数，只需找出3的所有正因数，分别计算对应的a值即可得到结果。
【解析】
解：对原方程合并同类项，可得$(a-1)x=3$。
因为该方程是一元一次方程，所以$a-1≠0$，因此方程的解为$x=\frac{3}{a-1}$。
已知x是正整数，且a为整数，因此$a-1$是3的正因数，3的正因数为1和3，分两种情况讨论：
1. 当$a-1=1$时，解得$a=2$，此时$x=3$，符合正整数解的要求；
2. 当$a-1=3$时，解得$a=4$，此时$x=1$，符合正整数解的要求。
综上，a的值为2或4。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程求解；分类讨论思想；整数解分析
【点评】
本题核心考查一元一次方程的整数解问题，解题关键是将方程变形后，结合解为正整数、参数为整数的条件确定参数的可能取值，解题时注意不要遗漏所有符合要求的因数情况。
【难度系数】
0.7
10 新考向 开放性问题 [2025宿迁段考]写出一个解为$x=3$的一元一次方程：
答案不唯一，如$x-3=0$
.答案
10. 答案不唯一,如$x-3=0$
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是一元一次方程需满足的条件：只含有1个未知数、未知数的最高次数为1、等式两边都是整式；二是方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，即x=3代入所写方程后等式要成立。我们可以先从最简单的等式x=3出发，通过移项或者对等号两边同时做相同的加减乘除运算（乘除时不能乘0），就能得到符合要求的一元一次方程。
【解析】
根据一元一次方程的定义和方程解的定义构造方程：
第一步，先写出满足解为x=3的最简等式：$x=3$；
第二步，将常数项移到等号左侧，即可得到$x-3=0$，该式只含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，且当x=3时左边=3-3=0=右边，符合要求。
也可通过其他变形构造，如等号两边同时加1得$x+1=4$、两边同时乘2得$2x=6$等，均为正确答案。
【答案】
答案不唯一，如$x-3=0$
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对核心概念的理解与灵活运用，只要熟练掌握一元一次方程和方程的解的相关概念，即可快速写出符合要求的答案，构造时注意不要违背一元一次方程的判定条件即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个核心要点：一是一元一次方程需满足的条件：只含有1个未知数、未知数的最高次数为1、等式两边都是整式；二是方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，即x=3代入所写方程后等式要成立。我们可以先从最简单的等式x=3出发，通过移项或者对等号两边同时做相同的加减乘除运算（乘除时不能乘0），就能得到符合要求的一元一次方程。
【解析】
根据一元一次方程的定义和方程解的定义构造方程：
第一步，先写出满足解为x=3的最简等式：$x=3$；
第二步，将常数项移到等号左侧，即可得到$x-3=0$，该式只含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，且当x=3时左边=3-3=0=右边，符合要求。
也可通过其他变形构造，如等号两边同时加1得$x+1=4$、两边同时乘2得$2x=6$等，均为正确答案。
【答案】
答案不唯一，如$x-3=0$
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的定义
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对核心概念的理解与灵活运用，只要熟练掌握一元一次方程和方程的解的相关概念，即可快速写出符合要求的答案，构造时注意不要违背一元一次方程的判定条件即可。
【难度系数】
0.9
11 [2025 沭阳期中]已知$x=1$是方程$3x - m = x + 2n$的解，则整式$m + 2n + 2023$的值为
2025
.答案
11. 2025
解析
【分析】
本题可根据一元一次方程解的定义求解：首先明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=1代入原方程，可得到含有m、n的等式，再通过变形求出m+2n的值，最后将其整体代入待求的整式中计算即可得到结果。
【解析】
∵ x=1是方程$3x - m = x + 2n$的解
∴ 将x=1代入方程，得：
$3×1 - m = 1 + 2n$
即$3 - m = 1 + 2n$
移项整理可得：
$m + 2n = 3 - 1 = 2$
将$m + 2n = 2$代入整式$m + 2n + 2023$，得：
原式$= 2 + 2023 = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元一次方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用与整体代入的数学思想，解题时无需分别求出m、n的具体值，只需通过变形得到m+2n的整体数值代入计算即可，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.85
本题可根据一元一次方程解的定义求解：首先明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=1代入原方程，可得到含有m、n的等式，再通过变形求出m+2n的值，最后将其整体代入待求的整式中计算即可得到结果。
【解析】
∵ x=1是方程$3x - m = x + 2n$的解
∴ 将x=1代入方程，得：
$3×1 - m = 1 + 2n$
即$3 - m = 1 + 2n$
移项整理可得：
$m + 2n = 3 - 1 = 2$
将$m + 2n = 2$代入整式$m + 2n + 2023$，得：
原式$= 2 + 2023 = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元一次方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用与整体代入的数学思想，解题时无需分别求出m、n的具体值，只需通过变形得到m+2n的整体数值代入计算即可，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.85
12（1）（易错题）如果关于$ x $的方程$ kx + 5 = 2x - 1 $是一元一次方程，那么$ k $的取值范围是
（2）若$(|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0$是关于$ x $的一元一次方程，则$ a $的值为
（3）（易错题）[2026 沭阳期末]已知关于$ x $的方程$ mx^{|m+1|} + 3 = 2 $是一元一次方程，则$ m = $
$k≠2$
；（2）若$(|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0$是关于$ x $的一元一次方程，则$ a $的值为
-10
；（3）（易错题）[2026 沭阳期末]已知关于$ x $的方程$ mx^{|m+1|} + 3 = 2 $是一元一次方程，则$ m = $
-2
。答案
12.(1) $k≠2$ (2) $-10$ (3) $-2$
12. (1) 本题容易忽视方程右边的“2x”,只考虑方程左边的“kx”,导致产生错误答案$k≠0$.
(3) 本题容易忽视方程的一次项系数$m≠0$,导致多出不符合要求的解.
12. (1) 本题容易忽视方程右边的“2x”,只考虑方程左边的“kx”,导致产生错误答案$k≠0$.
(3) 本题容易忽视方程的一次项系数$m≠0$,导致多出不符合要求的解.
解析
【分析】
这三道题均围绕一元一次方程的定义展开考查，解题核心是牢记一元一次方程的核心要求：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、且一次项系数不为0。具体分析思路如下：
（1）首先将方程移项合并同类项，得到含x的一次项总系数，要保证方程为一元一次方程，需让合并后的一次项系数不等于0，不能仅看原式中kx的系数就直接判断。
（2）原式中存在x的二次项，要使方程为一元一次方程，首先需让二次项系数为0消去二次项，同时保证剩下的一次项系数不为0，两个条件同时成立才能求出a的取值。
（3）要满足一元一次方程的要求，首先x的次数必须为1，据此列方程求出m的可能值，再结合一次项系数不能为0的隐含条件，排除不符合要求的解即可。
【解析】
（1）对方程$kx + 5 = 2x - 1$移项合并同类项：
$kx - 2x = -1 - 5$，即$(k-2)x = -6$
∵ 方程是一元一次方程，
∴ 一次项系数不为0，即$k-2 ≠ 0$，解得$k≠2$。
（2）
∵ $(|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0$是关于x的一元一次方程
∴ 需满足两个条件：$\begin{cases} \mathrm{二次项系数为0} \\ \mathrm{一次项系数不为0} \end{cases}$，即$\begin{cases} |a| - 10 = 0 \\ a - 10 ≠ 0 \end{cases}$
解$|a| -10 = 0$得$a = ±10$，结合$a - 10 ≠ 0$即$a≠10$，得$a=-10$。
（3）
∵ 方程$mx^{|m+1|} + 3 = 2$是一元一次方程
∴ 需满足两个条件：$\begin{cases} x\mathrm{的次数为1} \\ \mathrm{一次项系数不为0} \end{cases}$，即$\begin{cases} |m+1| = 1 \\ m ≠ 0 \end{cases}$
解$|m+1|=1$得$m+1=1$或$m+1=-1$，即$m=0$或$m=-2$，结合$m≠0$，得$m=-2$。
【答案】
(1)$k≠2$；(2)$-10$；(3)$-2$
【知识点】
1. 一元一次方程定义 2. 绝对值运算 3. 一次项系数限制
【点评】
本题组为一元一次方程判定的典型易错题，解题时需注意不要仅看局部项的系数，要先整理方程后判断一次项系数，同时要兼顾“未知数最高次数为1”和“一次项系数不为0”两个条件，避免漏判出现错解或多解。
【难度系数】
0.7
这三道题均围绕一元一次方程的定义展开考查，解题核心是牢记一元一次方程的核心要求：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、且一次项系数不为0。具体分析思路如下：
（1）首先将方程移项合并同类项，得到含x的一次项总系数，要保证方程为一元一次方程，需让合并后的一次项系数不等于0，不能仅看原式中kx的系数就直接判断。
（2）原式中存在x的二次项，要使方程为一元一次方程，首先需让二次项系数为0消去二次项，同时保证剩下的一次项系数不为0，两个条件同时成立才能求出a的取值。
（3）要满足一元一次方程的要求，首先x的次数必须为1，据此列方程求出m的可能值，再结合一次项系数不能为0的隐含条件，排除不符合要求的解即可。
【解析】
（1）对方程$kx + 5 = 2x - 1$移项合并同类项：
$kx - 2x = -1 - 5$，即$(k-2)x = -6$
∵ 方程是一元一次方程，
∴ 一次项系数不为0，即$k-2 ≠ 0$，解得$k≠2$。
（2）
∵ $(|a| - 10)x^2 + (a - 10)x + 3 = 0$是关于x的一元一次方程
∴ 需满足两个条件：$\begin{cases} \mathrm{二次项系数为0} \\ \mathrm{一次项系数不为0} \end{cases}$，即$\begin{cases} |a| - 10 = 0 \\ a - 10 ≠ 0 \end{cases}$
解$|a| -10 = 0$得$a = ±10$，结合$a - 10 ≠ 0$即$a≠10$，得$a=-10$。
（3）
∵ 方程$mx^{|m+1|} + 3 = 2$是一元一次方程
∴ 需满足两个条件：$\begin{cases} x\mathrm{的次数为1} \\ \mathrm{一次项系数不为0} \end{cases}$，即$\begin{cases} |m+1| = 1 \\ m ≠ 0 \end{cases}$
解$|m+1|=1$得$m+1=1$或$m+1=-1$，即$m=0$或$m=-2$，结合$m≠0$，得$m=-2$。
【答案】
(1)$k≠2$；(2)$-10$；(3)$-2$
【知识点】
1. 一元一次方程定义 2. 绝对值运算 3. 一次项系数限制
【点评】
本题组为一元一次方程判定的典型易错题，解题时需注意不要仅看局部项的系数，要先整理方程后判断一次项系数，同时要兼顾“未知数最高次数为1”和“一次项系数不为0”两个条件，避免漏判出现错解或多解。
【难度系数】
0.7
13 判断方程$-8x=4$的解是否为下面一元一次方程的解：
(1) $7-6x=2x+11$；
(2) $4x-5=3(2x-4)$。
(1) $7-6x=2x+11$；
(2) $4x-5=3(2x-4)$。
答案
13.(1) 是 (2) 不是
解析
【分析】
要判断一个数是不是某方程的解，首先需要先求出已知方程$-8x=4$的解，再将这个解分别代入待验证的两个方程中，分别计算方程左右两边的结果，若左右两边数值相等，则该解是这个方程的解，反之则不是。
【解析】
首先求解方程$-8x=4$：
系数化为1，得$x=4÷(-8)=-\frac{1}{2}$。
(1) 将$x=-\frac{1}{2}$代入方程$7-6x=2x+11$：
左边$=7-6×(-\frac{1}{2})=7+3=10$，
右边$=2×(-\frac{1}{2})+11=-1+11=10$，
左边=右边，因此$x=-\frac{1}{2}$是该方程的解。
(2) 将$x=-\frac{1}{2}$代入方程$4x-5=3(2x-4)$：
左边$=4×(-\frac{1}{2})-5=-2-5=-7$，
右边$=3×[2×(-\frac{1}{2})-4]=3×(-1-4)=-15$，
左边≠右边，因此$x=-\frac{1}{2}$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是；(2) 不是
【知识点】
一元一次方程的解；代入检验法；解一元一次方程
【点评】
本题考查方程解的判定方法，核心是掌握代入检验的步骤，计算时注意负数运算的符号，避免因符号错误导致判断失误。
【难度系数】
0.85
要判断一个数是不是某方程的解，首先需要先求出已知方程$-8x=4$的解，再将这个解分别代入待验证的两个方程中，分别计算方程左右两边的结果，若左右两边数值相等，则该解是这个方程的解，反之则不是。
【解析】
首先求解方程$-8x=4$：
系数化为1，得$x=4÷(-8)=-\frac{1}{2}$。
(1) 将$x=-\frac{1}{2}$代入方程$7-6x=2x+11$：
左边$=7-6×(-\frac{1}{2})=7+3=10$，
右边$=2×(-\frac{1}{2})+11=-1+11=10$，
左边=右边，因此$x=-\frac{1}{2}$是该方程的解。
(2) 将$x=-\frac{1}{2}$代入方程$4x-5=3(2x-4)$：
左边$=4×(-\frac{1}{2})-5=-2-5=-7$，
右边$=3×[2×(-\frac{1}{2})-4]=3×(-1-4)=-15$，
左边≠右边，因此$x=-\frac{1}{2}$不是该方程的解。
【答案】
(1) 是；(2) 不是
【知识点】
一元一次方程的解；代入检验法；解一元一次方程
【点评】
本题考查方程解的判定方法，核心是掌握代入检验的步骤，计算时注意负数运算的符号，避免因符号错误导致判断失误。
【难度系数】
0.85
14 解下列方程：
(1) $0.7x + \frac{1}{14} = 0$；
(2) $2y = -3y + 15$；
(3) $7x - 6 = 5x - 8$。
(1) $0.7x + \frac{1}{14} = 0$；
(2) $2y = -3y + 15$；
(3) $7x - 6 = 5x - 8$。
答案
14.(1) $x=-\frac{5}{49}$ (2) $y=3$ (3) $x=-1$
解析
【分析】
这三道题都是一元一次方程的基础求解题目，解题遵循一元一次方程的常规步骤：①移项：将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要改变符号；②合并同类项：将等号两侧的同类项分别合并；③系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
其中第(1)题同时包含小数和分数，计算时可先将小数转化为分数，再进行系数化为1的运算，能降低计算错误率；第(2)(3)题均为整数系数，直接按步骤计算即可。
【解析】
(1) 解：移项，得 $0.7x = -\frac{1}{14}$
将$0.7$化为分数$\frac{7}{10}$，得 $\frac{7}{10}x = -\frac{1}{14}$
系数化为1，两边同时乘$\frac{10}{7}$，得 $x = -\frac{1}{14} × \frac{10}{7} = -\frac{5}{49}$
(2) 解：移项，得 $2y + 3y = 15$
合并同类项，得 $5y = 15$
系数化为1，两边同时除以5，得 $y = 3$
(3) 解：移项，得 $7x - 5x = -8 + 6$
合并同类项，得 $2x = -2$
系数化为1，两边同时除以2，得 $x = -1$
【答案】
(1) $x=-\frac{5}{49}$ (2) $y=3$ (3) $x=-1$
【知识点】
一元一次方程的解法、移项法则、合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础训练题，核心考查解方程的基本步骤规范，需注意移项时符号的变化，涉及分数运算时要记得约分得到最简结果。
【难度系数】
0.85
这三道题都是一元一次方程的基础求解题目，解题遵循一元一次方程的常规步骤：①移项：将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要改变符号；②合并同类项：将等号两侧的同类项分别合并；③系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
其中第(1)题同时包含小数和分数，计算时可先将小数转化为分数，再进行系数化为1的运算，能降低计算错误率；第(2)(3)题均为整数系数，直接按步骤计算即可。
【解析】
(1) 解：移项，得 $0.7x = -\frac{1}{14}$
将$0.7$化为分数$\frac{7}{10}$，得 $\frac{7}{10}x = -\frac{1}{14}$
系数化为1，两边同时乘$\frac{10}{7}$，得 $x = -\frac{1}{14} × \frac{10}{7} = -\frac{5}{49}$
(2) 解：移项，得 $2y + 3y = 15$
合并同类项，得 $5y = 15$
系数化为1，两边同时除以5，得 $y = 3$
(3) 解：移项，得 $7x - 5x = -8 + 6$
合并同类项，得 $2x = -2$
系数化为1，两边同时除以2，得 $x = -1$
【答案】
(1) $x=-\frac{5}{49}$ (2) $y=3$ (3) $x=-1$
【知识点】
一元一次方程的解法、移项法则、合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础训练题，核心考查解方程的基本步骤规范，需注意移项时符号的变化，涉及分数运算时要记得约分得到最简结果。
【难度系数】
0.85
15 已知$(|a|-1)x^2-(a+1)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程.求：
（1）代数式$200(a+x)(x-2a)+3a+25$的值；
（2）关于$y$的方程$a|y|=2x$的解.
（1）代数式$200(a+x)(x-2a)+3a+25$的值；
（2）关于$y$的方程$a|y|=2x$的解.
答案
15.(1) 根据题意,得$|a|-1=0$,且$-(a+1)≠0$,所以$a=1$.所以$-2x+8=0$,解得$x=4$.所以原式$=200×(1+4)×(4-2)+3+25=2028$
(2) 当$a=1,x=4$时,$|y|=8$,所以$y=±8$
(2) 当$a=1,x=4$时,$|y|=8$,所以$y=±8$
解析
【分析】
解题需紧扣一元一次方程的定义展开：首先，一元一次方程要求未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0，因此先根据这两个条件求出参数a的取值；再将a代入原方程求出x的值；第（1）问直接把求得的a、x代入代数式，按四则运算顺序计算即可；第（2）问代入a、x后得到绝对值方程，根据绝对值的性质求解即可。
【解析】
（1）
∵$(|a|-1)x^2-(a+1)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程
∴二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|a|-1=0 \\-(a+1) ≠ 0\end{cases}$
解$|a|-1=0$得$a=\pm1$，解$-(a+1)≠0$得$a≠-1$，因此$a=1$。
将$a=1$代入原方程得：$-2x+8=0$，解得$x=4$。
将$a=1$，$x=4$代入代数式：
$200(a+x)(x-2a)+3a+25$
$=200×(1+4)×(4-2×1)+3×1+25$
$=200×5×2+3+25$
$=2000+28=2028$
（2）将$a=1$，$x=4$代入方程$a|y|=2x$得：
$1×|y|=2×4$，即$|y|=8$
根据绝对值的性质，得$y=\pm8$
【答案】
（1）$\boxed{2028}$；（2）$\boxed{y=\pm8}$
【知识点】
一元一次方程的定义；代数式求值；绝对值方程求解
【点评】
本题核心考查一元一次方程定义的应用，解题的关键是牢记一元一次方程中未知数最高次数为1且一次项系数不为0的要求，避免遗漏一次项系数不为0的限制条件导致参数求错，后续代入计算难度较低，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
解题需紧扣一元一次方程的定义展开：首先，一元一次方程要求未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0，因此先根据这两个条件求出参数a的取值；再将a代入原方程求出x的值；第（1）问直接把求得的a、x代入代数式，按四则运算顺序计算即可；第（2）问代入a、x后得到绝对值方程，根据绝对值的性质求解即可。
【解析】
（1）
∵$(|a|-1)x^2-(a+1)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程
∴二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|a|-1=0 \\-(a+1) ≠ 0\end{cases}$
解$|a|-1=0$得$a=\pm1$，解$-(a+1)≠0$得$a≠-1$，因此$a=1$。
将$a=1$代入原方程得：$-2x+8=0$，解得$x=4$。
将$a=1$，$x=4$代入代数式：
$200(a+x)(x-2a)+3a+25$
$=200×(1+4)×(4-2×1)+3×1+25$
$=200×5×2+3+25$
$=2000+28=2028$
（2）将$a=1$，$x=4$代入方程$a|y|=2x$得：
$1×|y|=2×4$，即$|y|=8$
根据绝对值的性质，得$y=\pm8$
【答案】
（1）$\boxed{2028}$；（2）$\boxed{y=\pm8}$
【知识点】
一元一次方程的定义；代数式求值；绝对值方程求解
【点评】
本题核心考查一元一次方程定义的应用，解题的关键是牢记一元一次方程中未知数最高次数为1且一次项系数不为0的要求，避免遗漏一次项系数不为0的限制条件导致参数求错，后续代入计算难度较低，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
