1. 已知二次函数$y=2x^2 - 4x - 1$在$0≤ x≤ a$时，$y$取得的最大值为15，则$a$的值为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

D

2. 已知二次函数$y=-x^2+mx+2-m$，在自变量$x$的值满足$-1≤ x≤ 2$的情况下，若对应的函数值$y$的最大值为6，则$m$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。

$-\frac{5}{2}$或8

3. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-x+3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,抛物线$y=-x^2+bx+c$经过$A,B$两点.
(1) 求抛物线对应的函数解析式.
(2) $P$是在直线$AB$上方的抛物线上的动点,连接$PA,PB$.当点$P$到直线$AB$的距离最大时,求点$P$的坐标.
(3) 若二次函数$y=-x^2+bx+c$,当$t≤ x≤ 2+t$时,函数的最大值与最小值之差等于$8$,直接写出$t$的值.

解：（1）在$y = -x + 3$中，令$x = 0，$则$y = 3，$令$y = 0，$则$x = 3，$ $\therefore A(3,0)，$$B(0,3)。$把$A(3,0)，$$B(0,3)$代入$y = -x^{2}+bx + c，$ 得$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}，$解得$\begin{cases}b = 2 \\ c = 3 \end{cases}。$ $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -x^{2}+2x + 3。$ （2）过点$P$作$PH\perp AB$于点$H，$过点$P$作$PM// y$轴，交$AB$于点$M。$设$P(m,-m^{2}+2m + 3)(0\lt m\lt 3)，$ 则$M(m,-m + 3)。$$\therefore PM = -m^{2}+2m + 3 - (-m + 3)=-m^{2}+3m。$ $\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}PM\cdot|x_{A}-x_{B}|=\frac{1}{2}\times(-m^{2}+3m)\times3=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m。$ $\because A(3,0)，$$B(0,3)，$$\therefore$易得$AB = 3\sqrt{2}。$ $\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PH=\frac{3\sqrt{2}}{2}PH。$$\therefore\frac{3\sqrt{2}}{2}PH=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m。$ $\therefore PH = -\frac{\sqrt{2}}{2}m^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}m = -\frac{\sqrt{2}}{2}(m - \frac{3}{2})^{2}+\frac{9\sqrt{2}}{8}。$ $\because -\frac{\sqrt{2}}{2}\lt0，$$\therefore$当$m = \frac{3}{2}$时，$PH$的长取得最大值，最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}，$ 此时$-m^{2}+2m + 3=-(\frac{3}{2})^{2}+2\times\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}。$$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})。$ （3）$\because y = -x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4，$ $\therefore$抛物线$y = -x^{2}+2x + 3$的顶点的坐标为$(1,4)，$对称轴是直线$x = 1，$且抛物线开口向下。 ①当$2 + t\leqslant1，$即$t\leqslant - 1$时，$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = 2 + t$时取得最大值，在$x = t$时取得最小值， $\therefore -(2 + t)^{2}+2(2 + t)+3 - (-t^{2}+2t + 3)=8，$解得$t = - 2。$ ②当$t\lt1，$$2 + t\gt1$且$1 - t\geqslant(2 + t)-1，$即$-1\lt t\leqslant0$时， $y = -x^{2}+2x + 3$在$x = 1$时取得最大值$4，$在$x = t$时取得最小值， $\therefore 4 - (-t^{2}+2t + 3)=8，$解得$t = 2\sqrt{2}+1$（不合题意，舍去）或$t = -2\sqrt{2}+1$（不合题意，舍去）。 ③当$t\leqslant1，$$2 + t\gt1$且$1 - t\lt(2 + t)-1，$即$0\lt t\leqslant1$时，$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = 1$时取得最大值$4，$在$x = 2 + t$时取得最小值， $\therefore 4 - [-(2 + t)^{2}+2(2 + t)+3]=8，$解得$t = 2\sqrt{2}-1$（不合题意，舍去）或$t = -2\sqrt{2}-1$（不合题意，舍去）。 ④当$t\gt1$时，$y = -x^{2}+2x + 3$在$x = t$时取得最大值，在$x = 2 + t$时取得最小值， $\therefore -t^{2}+2t + 3 - [-(2 + t)^{2}+2(2 + t)+3]=8，$解得$t = 2。$ 综上所述，$t$的值是$-2$或$2。$ ;

4. 如图，P 是抛物线 $ y=-x^2+x+3 $ 在第一象限上的点，过点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为 A，B，则四边形 OAPB 周长的最大值为 ______。

8

5. 如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A,B$两点（点$A$在点$B$的左侧），点$A$的坐标为$(-1,0)$，与$y$轴交于点$C(0,3)$，作直线$BC$.动点$P$在$x$轴上运动，过点$P$作$PM⊥ x$轴，交抛物线于点$M$，交直线$BC$于点$N$，设点$P$的横坐标为$m$.当点$P$在线段$OB$上运动时，线段$MN$长的最大值为______.

$\frac{9}{4}$

6. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B,C$三点,$D$是其顶点,已知点$C$的坐标为$(0,2)$,点$D$的坐标为$(2,4)$.
(1) 求抛物线对应的函数解析式;
(2) 在抛物线的对称轴上找一点$P$,使$AP+CP$最小,求出点$P$的坐标.

解：（1）$\because$抛物线的顶点坐标为$(2,4)，$$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - 2)^{2}+4。$ 将$C(0,2)$代入，得$2 = 4a + 4，$解得$a = -\frac{1}{2}。$ $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4。$ （2）由$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4，$得抛物线的对称轴为直线$x = 2。$ 把$y = 0$代入$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4，$得$0 = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4，$解得$x = 2 - 2\sqrt{2}$或$x = 2 + 2\sqrt{2}。$ $\therefore$点$A$的坐标为$(2 - 2\sqrt{2},0)，$点$B$的坐标为$(2 + 2\sqrt{2},0)。$ 如图，连接$BC，$交对称轴于点$P，$易知此时$AP + CP$最小。 设直线$BC$对应的函数解析式为$y = kx + m。$ 将$B(2 + 2\sqrt{2},0)，$$C(0,2)$代入，得$\begin{cases}0=(2 + 2\sqrt{2})k + m \\ 2 = m \end{cases}，$解得$\begin{cases}k = 1 - \sqrt{2} \\ m = 2 \end{cases}。$ $\therefore y=(1 - \sqrt{2})x + 2。$把$x = 2$代入$y=(1 - \sqrt{2})x + 2，$得$y = 4 - 2\sqrt{2}。$ $\therefore$点$P$的坐标为$(2,4 - 2\sqrt{2})。$ ;