1. 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是 （ ）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形

A

2.（教材 P106 例题变式）(2024·雅安)如图，$\odot O$ 的周长为 $8π$，正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$，则 $△ OAB$ 的面积为 （ ）
A. $4$
B. $4\sqrt{3}$
C. $6$
D. $6\sqrt{3}$

B

3. (2024·崇川期中)若正多边形的中心角为$30°$,则该正多边形的边数为______.

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4. (2024·镇江)如图，AB是$\odot O$的内接正$n$边形的一边，点C在$\odot O$上，连接AC，BC.若$∠ ACB=18°$，则$n=$______.

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5. 如图,正六边形 ABCDEF 的顶点 A,F 分别在正方形 BMGH 的边 BH,GH 上.若正方形BMGH 的边长为 6,则正六边形 ABCDEF 的边长为______.

4

6. 如图①,正五边形 $ABCDE$ 内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并解答下列问题.作法:如图②,作直径$AF$,以点$F$为圆心、$FO$长为半径作圆弧,与$\odot O$交于点$M,N$,连接$AM,MN,NA$.
(1) 求$∠ ABC$的度数.
(2) $△ AMN$是正三角形吗?请说明理由.
(3) 连接$DN$,从点$A$开始,以$DN$的长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些点,得到正$n$边形,求$n$的值.

第6题

解：（1）因为五边形$ABCDE$是正五边形，根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n$为边数），则$\angle ABC=\frac{(5 - 2)\times180^{\circ}}{5}=108^{\circ}。$ （2）$\triangle AMN$是正三角形。理由：连接$ON，$$NF。$由题意，易得$FN = OF = ON，$所以$\triangle FON$是正三角形，所以$\angle NFA = 60^{\circ}，$根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以$\angle NMA = 60^{\circ}。$同理，可得$\angle ANM = 60^{\circ}，$所以$\angle MAN = 60^{\circ}，$所以$\triangle AMN$是正三角形。 （3）连接$OD。$因为$\angle AMN = 60^{\circ}，$所以$\angle AON = 2\angle AMN = 120^{\circ}。$因为正五边形$ABCDE$内接于$\odot O，$所以$\angle AOD=\frac{360^{\circ}}{5}\times2 = 144^{\circ}，$所以$\angle NOD=\angle AOD - \angle AON = 144^{\circ}-120^{\circ}=24^{\circ}。$因为$360^{\circ}\div24^{\circ}=15，$所以$n$的值是$15。$ ;