7. (教材 P109 习题 24.3 第 6 题变式)如图,正方形 ABCD 剪去四个角后成为一个边长为 1 的正八边形,则正方形 ABCD 的周长为 （ ）
A. 4
B. $2+2\sqrt{2}$
C. 8
D. $4+4\sqrt{2}$

第7题

第8题

第10题

D

8. 如图,正三角形和正六边形有公共的外接圆$\odot O$,则这个正三角形和正六边形边长的比为 （ ）
A. $\sqrt{6}:2$
B. $\sqrt{3}:2$
C. $\sqrt{3}:1$
D. $2:1$

C

9. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是______．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10. 如图,在正六边形 $ABCDEF$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $M$,则 $\dfrac{AM}{CM}$ 的值为______.

2

11. 如图,等边三角形 $ ABC $ 内接于$ \odot O $, $ BD $ 为内接正十二边形的一边, $ CD = 5\sqrt{2} \ \mathrm{cm} $. 求$ \odot O $ 的半径.

解：连接$OB，$$OC，$$OD。$因为等边三角形$ABC$内接于$\odot O，$$BD$为内接正十二边形的一边，所以$\angle BOC=\frac{1}{3}\times360^{\circ}=120^{\circ}，$$\angle BOD=\frac{1}{12}\times360^{\circ}=30^{\circ}，$则$\angle COD=\angle BOC - \angle BOD = 90^{\circ}。$因为$OC = OD，$$CD = 5\sqrt{2}\text{ cm}，$在$Rt\triangle OCD$中，根据勾股定理$OC^{2}+OD^{2}=CD^{2}，$又$OC = OD，$所以$2OC^{2}=(5\sqrt{2})^{2}，$即$2OC^{2}=50，$$OC^{2}=25，$解得$OC = 5\text{ cm}，$所以$\odot O$的半径为$5\text{ cm}。$ ;

12.（1）如图①，$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，$P$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点.求证：$PA=PB+PC$.
（2）如图②，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$P$为$\overset{\frown}{BC}$上一动点.求证：$PA=PC+\sqrt{2}PB$.

解：（1）如图①，延长$BP$至点$E，$使$PE = PC，$连接$CE。$ 因为$\triangle ABC$是正三角形，所以$\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}，$$BC = AC。$ 因为$A，$$B，$$P，$$C$四点共圆，所以$\angle BAC+\angle BPC = 180^{\circ}。$ 因为$\angle BPC+\angle EPC = 180^{\circ}，$所以$\angle BAC=\angle EPC = 60^{\circ}。$ 因为$PE = PC，$所以$\triangle PCE$是正三角形，所以$PE = EC = PC，$$\angle PCE = 60^{\circ}。$ 又因为$\angle BCE = 60^{\circ}+\angle BCP，$$\angle ACP = 60^{\circ}+\angle BCP，$所以$\angle BCE=\angle ACP。$ 在$\triangle BEC$和$\triangle APC$中，$\begin{cases}EC = PC\\\angle BCE=\angle ACP\\BC = AC\end{cases}，$所以$\triangle BEC\cong\triangle APC(SAS)，$所以$EB = PA = PB + PE = PB + PC。$ （2）如图②，过点$B$作$BE\perp PB$交$PA$于点$E，$连接$OA，$$OB。$ 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle AOB=\angle ABC = 90^{\circ}，$$AB = CB。$ 因为$BE\perp PB，$所以$\angle EBP = 90^{\circ}，$所以$\angle 1+\angle EBC=\angle EBC+\angle 2 = 90^{\circ}，$所以$\angle 1=\angle 2。$ 因为$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}，$所以$BE = BP，$$PE=\sqrt{2}PB。$ 在$\triangle ABE$和$\triangle CBP$中，$\begin{cases}BE = BP\\\angle 1=\angle 2\\AB = CB\end{cases}，$所以$\triangle ABE\cong\triangle CBP(SAS)，$所以$EA = PC，$所以$PA = EA + PE = PC+\sqrt{2}PB。$ ;