1. (教材P16例4变式)(2023·天津)若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 6x - 7 = 0$的两个根，则（ ）
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1x_2 = \dfrac{7}{6}$
D. $x_1x_2 = 7$

A

2. 若$x=-1$是关于$x$的方程$x^2 + x + m = 0$的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. $x=-1$
B. $x=0$
C. $x=1$
D. $x=2$

B

3. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+3x+1=0$的两根，则$x_1+x_2+x_1x_2$的值是 （ ）
A. 4
B. $-2$
C. 2
D. 1

B

4. (2023·如东期末)甲、乙两名同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时,甲同学看错了常数项,得到方程的两个根为$x_1=8,x_2=2$,乙同学看错了一次项系数,得到方程的两个根为$x_1=-9,x_2=-1$,则原来的方程是 （ ）
A. $x^2+10x+9=0$
B. $x^2-10x+9=0$
C. $x^2+10x+16=0$
D. $x^2-10x+16=0$

B

5. (教材 P16 练习变式)不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积.
(1) $3x^2 - 5x + 1 = 0$, $x_1 + x_2 =$ _______, $x_1 · x_2 =$ _______;
(2) $4x^2 - 1 = 9x$, $x_1 + x_2 =$ _______, $x_1 · x_2 =$ _______;
(3) $6x^2 - 1 = 0$, $x_1 + x_2 =$ _______, $x_1 · x_2 =$ _______.

$\frac{5}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\frac{9}{4}$ ; $-\frac{1}{4}$ ; 0
; $-\frac{1}{6}$

6. (2024·西宁)已知$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根分别为$a$和$b$，则$4a^2 + 8ab + 4b^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$．

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7. 已知 $ x_1, x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 4x + 1 = 0 $ 的两个实数根,求下列各式的值.
(1) $ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 $;
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $;
(3) $ (x_1 + x_2)^2 ÷ ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} ) $.

解：由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2 = 1。$ $x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)=1×4 = 4$ ; 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2 = 1。$ $x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×1 = 14$ ; 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2 = 1。$ $(x_1 + x_2)^2\div(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=(x_1 + x_2)^2\cdot\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2}=(x_1 + x_2)x_1x_2 = 4×1 = 4$

8. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 3x + m - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 $。
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）若 $ 2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0 $，求 $ m $ 的值。

(1) 解：$\because$原方程有两个实数根，$\therefore\Delta = 9 - 4(m - 1)= - 4m + 13\geq0，$ 移项可得$-4m\geq - 13，$ 两边同时除以$-4，$不等号变向，解得$m\leq\frac{13}{4}。$ (2) 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = - 3，$$x_1x_2 = m - 1。$ $\because 2(x_1 + x_2)+x_1x_2 + 10 = 0，$ $\therefore 2×(-3)+m - 1 + 10 = 0，$ 即$-6 + m - 1 + 10 = 0，$ $m + 3 = 0，$解得$m = - 3。$