8. 解下列方程:① $2x^2 - 18 = 0$;② $x^2 - 9x - 1 = 0$;③ $x^2 - 11x + 10 = 0$;④ $2(5x - 1)^2 = 3(5x - 1)$.
其中,较简便的方法是 ( )
A. 依次用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B. 依次用因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
D. ①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法

D

9. (新视角·学科内综合)若实数$k$，$b$是一元二次方程$x^2 + 2x = 3$的两个根，且$k ＜ b$，则一次函数$y = kx + b$的图象不经过 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

C

10.（易错题）若$(x^2 + 4x - 5)^0 = x^2 - 5x + 5$，则$x=$______．

4

11. 一个直角三角形的两边长分别是方程$x^2 - 8x + 15 = 0$的两根，则这个直角三角形的第三边长为______．

$\sqrt{34}$或4

12. 用适当的方法解下面的方程：
(1) $x^2 - 3x - 1 = 0$；
(2) (2024·海门期末)$x^2 + 4x - 4 = 0$；
(3) $2x^2 - 2\sqrt{2}x = -1$；
(4) $4x(x - 1) = 6 - 6x$。

解：对于方程$x^2 - 3x - 1 = 0，$其中$a = 1,b = -3,c = -1，$根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}，$可得$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2 - 4\times1\times(-1)}}{2\times1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}，$所以$x_1=\frac{3 + \sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ ; 解：对于方程$x^2 + 4x - 4 = 0，$其中$a = 1,b = 4,c = -4，$根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}，$可得$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2 - 4\times1\times(-4)}}{2\times1}=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{2}=-2\pm2\sqrt{2}，$所以$x_1 = 2\sqrt{2}-2,x_2=-2\sqrt{2}-2$ ; 解：对于方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x=-1，$变形为$2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0，$其中$a = 2,b=-2\sqrt{2},c = 1，$根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}，$可得$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{(-2\sqrt{2})^2 - 4\times2\times1}}{2\times2}=\frac{2\sqrt{2}\pm0}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}，$所以$x_1 = x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; 解：对于方程$4x(x - 1)=6 - 6x，$变形为$4x(x - 1)+6(x - 1)=0，$提取公因式得$(x - 1)(4x + 6)=0，$则$x - 1 = 0$或$4x + 6 = 0，$解得$x_1 = 1,x_2 = -\frac{3}{2}$

13.（转化与化归思想）阅读材料并解答问题：
为解方程$(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$，我们可以将$x^2 - 1$看成一个整体，然后设$x^2 - 1 = y$，则原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$①，解得$y_1 = 1$，$y_2 = 4$。当$y = 1$时，$x^2 - 1 = 1$。$\therefore x^2 = 2$，解得$x = \pm\sqrt{2}$。当$y = 4$时，$x^2 - 1 = 4$。$\therefore x^2 = 5$，解得$x = \pm\sqrt{5}$。$\therefore$原方程的根为$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$，$x_3 = \sqrt{5}$，$x_4 = -\sqrt{5}$。
（1）在由原方程得到方程①的解题过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
（2）请利用以上方法解方程：
① $x^4 - x^2 - 6 = 0$；
② $(x^2 + 3)^2 - 9(x^2 + 3) + 20 = 0$。

换元
; 解：①设$x^2 = y，$则原方程可化为$y^2 - y - 6 = 0，$因式分解得$(y - 3)(y + 2)=0，$解得$y_1 = -2,y_2 = 3.$ 当$y = -2$时，$x^2 = -2，$无实数根；当$y = 3$时，$x^2 = 3，$解得$x=\pm\sqrt{3}.$ 所以原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2 = -\sqrt{3}$ ; 解：②设$x^2 + 3 = a，$则原方程可化为$a^2 - 9a + 20 = 0，$因式分解得$(a - 4)(a - 5)=0，$解得$a_1 = 4,a_2 = 5.$ 当$a = 4$时，$x^2 + 3 = 4，$解得$x=\pm1；$当$a = 5$时，$x^2 + 3 = 5，$解得$x=\pm\sqrt{2}.$ 所以原方程的根为$x_1 = 1,x_2 = -1,x_3=\sqrt{2},x_4 = -\sqrt{2}$