12. 已知等腰三角形 $ ABC $ 内接于半径为 5 的 $ \odot O $，如果底边 $ BC $ 的长为 6，求 $ BC $ 边上的高.

解：当顶点​$A$​在优弧​$BAC$​上时，如图①，连接​$OB、$​​$OC，$​连接​$AO$​并延长交​$BC$​于点​$D.$​ ∵​$AB = AC，$​​$OB = OC，$​∴点​$A、$​​$O$​在线段​$BC$​的垂直平分线上， ∴​$AO$​垂直平分线段​$BC，$​∴​$BD = \frac {1}{2}BC = \frac {1}{2}×6 = 3.$​​$ $​在​$Rt\triangle OBD$​中，​$OD = \sqrt {OB^2-BD^2}$​​$ = \sqrt {5^2-3^2} = 4，$​ ∴​$AD = AO + OD = 5 + 4 = 9.$​​$ $​当顶点​$A$​在劣弧​$BC$​上时，如图​$②.$​连接​$OB、$​​$OC，$​连接​$OA$​交​$BC$​于点​$D.$​​$ $​同理​$OA\perp BC，$​​$OD = 4.$​ ∴​$AD = OA - OD = 5 - 4 = 1.$​综上，​$BC$​边上的高为​$9$​或​$1.$
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13. (2024·黄石模拟)PA、PB、CD是$\odot O$的切线，A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点，若$∠ APB = 50°$，则$∠ COD$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$．

$65^{\circ}$或$115^{\circ}$

14. (黑龙江中考改编)若点 O 是等腰三角形 ABC 的外心,且$∠ BOC = 60°$,底边$BC = 2$,求$△ ABC$的面积.

解：如图所示，存在两种情况：​$ $​当​$\triangle ABC$​为​$\triangle A_{1}BC$​时，连接​$OB、$​​$OC.$​ ∵点​$O$​是等腰三角形​$A_{1}BC$​的外心，且​$∠BOC = 60°，$​底边​$BC = 2，$​​$OB = OC，$​ ∴​$\triangle OBC$​为等边三角形，​$OB = OC = BC = 2，$​​$OA_{1}\perp BC$​于点​$D，$​∴​$CD = 1，$​​$OD = \sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}，$​ ∴​$S_{\triangle A_{1}BC}=\frac {BC·A_{1}D}{2}=\frac {2×(2 - \sqrt {3})}{2}=2 - \sqrt {3}；$​​$ $​当​$\triangle ABC$​为​$\triangle A_{2}BC$​时， ∵点​$O$​是等腰三角形​$A_{2}BC$​的外心，且​$∠BOC = 60°，$​底边​$BC = 2，$​​$OB = OC，$​∴​$\triangle OBC$​为等边三角形，​$OB = OC = BC = 2，$​​$OA_{2}\perp BC$​于点​$D，$​ ∴​$CD = 1，$​​$OD = \sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}，$​ ∴​$S_{\triangle A_{2}BC}=\frac {BC·D_{2}A}{2}=\frac {2×(2 + \sqrt {3})}{2}=2 + \sqrt {3}.$​ 综上所述，​$\triangle ABC$​的面积为​$2 - \sqrt {3}$​或​$2 + \sqrt {3}.$
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15. 已知$l_{1}// l_{2},l_{1}$、$l_{2}$之间的距离是3 cm，圆心O到直线$l_{1}$的距离是1 cm，如果$\odot O$与直线$l_{1}$、$l_{2}$有三个公共点，那么$\odot O$的半径为________cm.

2或4

16. 已知$∠ ABC=45°$,点$O$为$BC$上的一点,且$OB=6$,若以点$O$为圆心,$r$为半径的圆与射线$BA$只有一个公共点,则$r$的取值范围是______.

$r = 3\sqrt{2}$或$r＞6$

17. (鄂州中考)如图,半径为2 cm的⊙O与边长为2 cm的正方形ABCD的边AB相切于点E,点F为正方形的中心,直线OE过点F.当正方形ABCD沿直线OF以每秒$(2-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$的速度向左运动________秒时,⊙O与正方形重叠部分的面积为$(\dfrac{2}{3}π-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$.

1或$(11 + 6\sqrt{3})$

18. (宁波中考)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作$\odot P$.当$\odot P$与正方形ABCD的边相切时,则BP的长为________.

3或$4\sqrt{3}$

19. 如图,已知直线$ l $的函数表达式是$ y=\dfrac{4}{3}x - 4 $,并且与$ x $轴、$ y $轴分别交于$ A、B $两点.一个半径为$ 1.5 $的$ \odot C $,圆心$ C $从点$(0,1.5)$开始以每秒$ 0.5 $个单位长度的速度沿着$ y $轴向下运动,当$ \odot C $与直线$ l $相切时,求该圆运动的时间.

解：当​$\odot C$​在直线​$l$​上方与直线​$l$​相切时，如图①.设切点为​$D_{1}，$​连接​$C_{1}D_{1}、$​​$C_{1}A.$​ ∵​$C(0，1.5)，$​∴​$OC = 1.5，$​∴​$C_{1}D_{1} = 1.5.$​​$ $​在​$y = \frac {4}{3}x - 4$​中，当​$y = 0$​时，​$x = 3；$​当​$x = 0$​时，​$y = - 4，$​∴​$A(3，0)，$​​$B(0，-4)，$​∴​$OA = 3，$​​$OB = 4.$​​$ $​在​$Rt\triangle OAB$​中，由勾股定理得​$AB = \sqrt {OA^2+OB^2} = \sqrt {3^2+4^2} = 5.$​ ∵​$S_{\triangle ABC_{1}}=\frac {1}{2}BC_{1}·OA=\frac {1}{2}AB·C_{1}D_{1}，$​ ∴​$BC_{1}×3 = 5×1.5，$​解得​$BC_{1} = 2.5，$​ ∴​$OC_{1} = OB - BC_{1} = 4 - 2.5 = 1.5，$​ ∴​$CC_{1} = OC + OC_{1} = 1.5 + 1.5 = 3，$​ ∴​$\odot C$​运动的时间为​$3\div 0.5 = 6($​秒​$).$​​$ $​当​$\odot C$​在直线​$l$​下方与直线​$l$​相切时，如图​$②.$​设切点为​$D_{2}，$​连接​$C_{2}D_{2}、$​​$C_{2}A.$​∵​$S_{\triangle ABC_{2}}=\frac {1}{2}BC_{2}·OA=\frac {1}{2}AB·C_{2}D_{2}，$​∴​$BC_{2}×3 = 5×1.5，$​解得​$BC_{2} = 2.5，$​∴​$CC_{2} = OC + OB + BC_{2} = 1.5 + 4 + 2.5 = 8，$​∴​$\odot C$​运动的时间为​$8\div 0.5 = 16($​秒​$).$​综上可得，​$\odot C$​运动的时间为​$6$​秒或​$16$​秒​$.$
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