8. (2025·徐州期中)如图,在$\odot O$中,弦$AB // CD$,点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上,延长$ED$至点$F$,使$EF=EB$,延长$AE$至点$G$,连接$GF$,使$∠ F = ∠ EAC$,$GF=AD$.
(1)连接$CB$,求证:$GF=CB$;
(2)若$∠ F = 70°$,$CA$为$\odot O$直径,求$∠ ABE$的度数;
(3)连接$BD$,求证:$∠ G = ∠ BDE$.

证明：(1)因为弦$AB// CD，$
所以$∠DCA=∠BAC，$$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}，$
所以$AD = BC。$ 又因为$GF = AD，$
所以$GF = CB。$ (2)连接$BC，$
因为$CA$为$\odot O$直径，所以$∠CBA = 90°。$ 因为$∠EAC=∠F = 70°，$且$∠CBE=∠EAC = 70°。$ 所以$∠ABE=∠CBA-∠CBE=90°-70°=20°。$ (3)连接$EC，$
因为$∠EAC$、$∠EBC$都是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角，所以$∠EAC=∠EBC。$ 因为$∠F=∠EAC，$
所以$∠F=∠EBC。$
又因为$GF = CB，$$EF = EB，$ 所以$\triangle EBC\cong\triangle EFG$（SAS），所以$∠G=∠BCE。$
因为$∠BCE=∠BDE，$
所以$∠G=∠BDE。$

9. (2025·徐州期末)如图,在$\odot O$中,AB是弦,AC是$\odot O$切线,过点B作$BD⊥AC$于点D,BD交$\odot O$于点E,若AE平分$∠BAD$,则$∠ABD$的度数为 ( )
A. $30°$
B. $45°$
C. $50°$
D. $60°$


(第9题)
(第10题)

A

10. (2024·南京期末)如图,在四边形ABCD中,BC、CD、DA分别与$\odot O$相切于B、E、A三点,AB为$\odot O$的直径.若$BC=4\ \mathrm{cm},AD=3\ \mathrm{cm}$,则$\odot O$的半径为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$

$2\sqrt{3}$

11. (2024·东台期中)如图①，$\odot O$为$△ ABC$的外接圆，$AC=BC$，$D$为$OC$与$AB$的交点，$E$为线段$OC$延长线上一点，且$∠ EAC=∠ ABC$．
(1)求证：直线$AE$是$\odot O$的切线；
(2)若$CD=6$，$AB=16$，求$\odot O$的半径；
(3)如图②，在(2)的基础上，点$F$在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}$，$△ ACF$的内心点$G$在$AB$边上，求$BG$的长．

证明：​$(1)$​如图​$①，$​连接​$AO，$​因为​$AC = BC，$​所以​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{BC}，$​​$∠ABC=∠CAB，$​​$ $​所以​$OC\perp AB，$​则​$∠ADC = 90°，$​​$∠ACD=∠BCD，$​所以​$∠BAC+∠ACD = 90°。$​​$ $​因为​$∠EAC=∠ABC，$​所以​$∠EAC=∠BAC。$​又因为​$OA = OC，$​所以​$∠OAC=∠ACD，$​​$ $​所以​$∠EAC+∠OAC = 90°，$​即​$∠EAO = 90°。$​又​$AO$​是半径，所以直线​$AE$​是​$\odot O$​的切线。​$ (2)$​由​$(1)$​得​$OC\perp AB，$​所以​$AD = BD=\frac {1}{2}AB = 8。$​设​$\odot O$​的半径为​$r，$​则​$OA = OC = r，$​​$OD=r - 6，$​​$ $​在​$Rt\triangle AOD$​中，​$AO^2=AD^2+DO^2，$​即​$r^2=8^2+(r - 6)^2，$​​$ \begin {aligned}r^2&=64+r^2-12r + 36\\12r&=100\\r &=\frac {25}{3}\end {aligned}$​​$ $​所以​$\odot O$​的半径为​$\frac {25}{3}。$​​$ (3)$​在​$Rt\triangle ACD$​中，​$AC=\sqrt {AD^2+CD^2}=\sqrt {8^2+6^2} = 10，$​所以​$AC = BC = 10。$​ 如图②，连接​$CG，$​因为点​$G $​是​$\triangle ACF $​的内心，所以​$∠ACG=∠FCG。$​​$ $​因为​$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BF}，$​所以​$∠BCF=∠BAC。$​又因为​$∠BGC=∠BAC+∠ACG，$​​$∠BCG=∠FCG+∠BCF，$​​$ $​所以​$∠BGC=∠BCG，$​所以​$BG = BC = 10。$
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