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6.【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（“尺”是我国传统长度单位）意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，那么$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$
$\frac{2^n-1}{2^n}$
。答案
6.$\frac{2^n-1}{2^n}$
解析
【分析】
我们可以采用归纳推理的方法解题：先计算n取1、2、3等较小正整数时式子的结果，观察结果的分子、分母与n的对应规律，再推广到n为任意正整数的情况，即可得到通用的求和结果。也可以通过裂项抵消的思路：把每一项拆成两个分数的差，相加后中间项全部抵消，简化计算得到结果。
【解析】
方法一（归纳法）：
当n=1时，原式=$\frac{1}{2}$=$\frac{2^1-1}{2^1}$；
当n=2时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{2^2-1}{2^2}$；
当n=3时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$=$\frac{2^3-1}{2^3}$；
当n=4时，原式=$\frac{15}{16}$=$\frac{2^4-1}{2^4}$；
……
依次类推，可归纳得出n项的和为$\frac{2^n-1}{2^n}$。
方法二（裂项相消法）：
观察可得$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}$，……，$\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}$。
把上述等式左右分别相加，左侧即为原式，右侧中间项全部抵消，剩余$1-\frac{1}{2^n}$，通分后可得：
$1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n}{2^n}-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$。
【答案】
$\frac{2^n-1}{2^n}$
【知识点】
归纳推理，有理数乘方，分数加减运算
【点评】
本题结合传统数学文化命题，既考查了从特殊到一般的归纳推理能力，也渗透了极限的初步思想，能让学生感受到数学的趣味性和深厚的文化底蕴。
【难度系数】
0.7
我们可以采用归纳推理的方法解题：先计算n取1、2、3等较小正整数时式子的结果，观察结果的分子、分母与n的对应规律，再推广到n为任意正整数的情况，即可得到通用的求和结果。也可以通过裂项抵消的思路：把每一项拆成两个分数的差，相加后中间项全部抵消，简化计算得到结果。
【解析】
方法一（归纳法）：
当n=1时，原式=$\frac{1}{2}$=$\frac{2^1-1}{2^1}$；
当n=2时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{2^2-1}{2^2}$；
当n=3时，原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$=$\frac{2^3-1}{2^3}$；
当n=4时，原式=$\frac{15}{16}$=$\frac{2^4-1}{2^4}$；
……
依次类推，可归纳得出n项的和为$\frac{2^n-1}{2^n}$。
方法二（裂项相消法）：
观察可得$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}$，……，$\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}$。
把上述等式左右分别相加，左侧即为原式，右侧中间项全部抵消，剩余$1-\frac{1}{2^n}$，通分后可得：
$1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n}{2^n}-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$。
【答案】
$\frac{2^n-1}{2^n}$
【知识点】
归纳推理，有理数乘方，分数加减运算
【点评】
本题结合传统数学文化命题，既考查了从特殊到一般的归纳推理能力，也渗透了极限的初步思想，能让学生感受到数学的趣味性和深厚的文化底蕴。
【难度系数】
0.7
7.【综合与实践】阶梯的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
（1）求前4个台阶上的数的和；
（2）求第5个台阶上的数。
应用
（3）求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
（4）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在台阶数。
尝试
（1）求前4个台阶上的数的和；
（2）求第5个台阶上的数。
应用
（3）求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
（4）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在台阶数。
答案
7. 解:(1)$-5-2+1+9=3$。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。
由题意,得$-2+1+9+x=3$,
解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,\dots$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$($k$为正整数)。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。
由题意,得$-2+1+9+x=3$,
解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,\dots$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$($k$为正整数)。
解析
【分析】
（1）题目直接给出前4个台阶的标注数，直接将四个数相加即可求出和；
（2）根据“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的条件，可知第2到第5个台阶的数的和与前4个的和相等，设第5个台阶的数为未知数列方程，即可求解；
（3）通过前两问的结果可发现台阶上的数每4个为一个周期循环出现，先计算31个台阶包含多少个完整周期、余下几个数，再结合每个周期的和计算总和即可；
（4）先列举出数“1”所在的几个台阶数，观察数字变化规律，即可推导得出含k的通用表达式。
【解析】
(1) 前4个台阶上的数分别为-5，-2，1，9，求和得：
$-5+(-2)+1+9=3$
(2) 设第5个台阶上的数为$x$，根据相邻四个台阶的和相等的条件，列方程：
$-2+1+9+x=3$
解得：$x=-5$
(3) 由题意可知台阶上的数每4个为一个循环，每个循环的和为3。
$31÷4=7······3$，即31个台阶包含7个完整循环，余下3个台阶对应循环的前3个数：-5、-2、1
则前31个台阶的和为：$7×3+(-5-2+1)=21-6=15$
(4) 观察可知数“1”第一次出现在第3个台阶，第二次出现在第7个台阶，第三次出现在第11个台阶，依次排列为：
第1次：$3=4×1-1$
第2次：$7=4×2-1$
第3次：$11=4×3-1$
……
因此数“1”所在的台阶数为$4k-1$（$k$为正整数）
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-5}$；(3) $\boxed{15}$；(4) $\boxed{4k-1}$（$k$为正整数）
【知识点】
有理数加减运算，周期规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题核心考察从条件中归纳规律的能力，解题的关键是抓住“相邻四个数的和相等”这一核心条件推导得出数字的循环规律，同时考察了有理数运算能力和从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.75
（1）题目直接给出前4个台阶的标注数，直接将四个数相加即可求出和；
（2）根据“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的条件，可知第2到第5个台阶的数的和与前4个的和相等，设第5个台阶的数为未知数列方程，即可求解；
（3）通过前两问的结果可发现台阶上的数每4个为一个周期循环出现，先计算31个台阶包含多少个完整周期、余下几个数，再结合每个周期的和计算总和即可；
（4）先列举出数“1”所在的几个台阶数，观察数字变化规律，即可推导得出含k的通用表达式。
【解析】
(1) 前4个台阶上的数分别为-5，-2，1，9，求和得：
$-5+(-2)+1+9=3$
(2) 设第5个台阶上的数为$x$，根据相邻四个台阶的和相等的条件，列方程：
$-2+1+9+x=3$
解得：$x=-5$
(3) 由题意可知台阶上的数每4个为一个循环，每个循环的和为3。
$31÷4=7······3$，即31个台阶包含7个完整循环，余下3个台阶对应循环的前3个数：-5、-2、1
则前31个台阶的和为：$7×3+(-5-2+1)=21-6=15$
(4) 观察可知数“1”第一次出现在第3个台阶，第二次出现在第7个台阶，第三次出现在第11个台阶，依次排列为：
第1次：$3=4×1-1$
第2次：$7=4×2-1$
第3次：$11=4×3-1$
……
因此数“1”所在的台阶数为$4k-1$（$k$为正整数）
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{-5}$；(3) $\boxed{15}$；(4) $\boxed{4k-1}$（$k$为正整数）
【知识点】
有理数加减运算，周期规律探究，一元一次方程应用
【点评】
本题核心考察从条件中归纳规律的能力，解题的关键是抓住“相邻四个数的和相等”这一核心条件推导得出数字的循环规律，同时考察了有理数运算能力和从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.75
8.【跨学科】观察下面三种化合物的结构式及分子式，如果按其规律，那么下一种化合物的分子式应该是
$\ce{C_{4}H_{10}}$
。答案
8.$\ce{C_{4}H_{10}}$
解析
【分析】
解决这道题我们可以分步思考：第一步，先把已知三种化合物的碳原子数、氢原子数分别整理出来，观察两组数各自的变化规律；第二步，先看碳原子数：1、2、3，明显后一个比前一个多1，所以下一个化合物的碳原子数就是3+1=4；第三步，再看氢原子数：4、6、8，后一个比前一个多2，所以下一个化合物的氢原子数就是8+2=10；最后把得到的碳原子数和氢原子数组合成分子式即可。
【解析】
我们先列出已知三种化合物的对应原子数：
1. 第一种：碳原子数为1，氢原子数为4，分子式$\ce{CH_{4}}$
2. 第二种：碳原子数为2，氢原子数为6，分子式$\ce{C_{2}H_{6}}$
3. 第三种：碳原子数为3，氢原子数为8，分子式$\ce{C_{3}H_{8}}$
总结规律：每往后一种化合物，碳原子数增加1，氢原子数增加2。
因此下一种（第四种）化合物的碳原子数为$3+1=4$，氢原子数为$8+2=10$，组合得分子式为$\ce{C_{4}H_{10}}$。
【答案】
$\ce{C_{4}H_{10}}$
【知识点】
数字规律探究；归纳推理
【点评】
本题结合有机物分子式的背景考查规律探究能力，解题时只需分别统计两类原子的数量，找到各自的变化规律即可推导结果，侧重对观察、归纳能力的考查。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以分步思考：第一步，先把已知三种化合物的碳原子数、氢原子数分别整理出来，观察两组数各自的变化规律；第二步，先看碳原子数：1、2、3，明显后一个比前一个多1，所以下一个化合物的碳原子数就是3+1=4；第三步，再看氢原子数：4、6、8，后一个比前一个多2，所以下一个化合物的氢原子数就是8+2=10；最后把得到的碳原子数和氢原子数组合成分子式即可。
【解析】
我们先列出已知三种化合物的对应原子数：
1. 第一种：碳原子数为1，氢原子数为4，分子式$\ce{CH_{4}}$
2. 第二种：碳原子数为2，氢原子数为6，分子式$\ce{C_{2}H_{6}}$
3. 第三种：碳原子数为3，氢原子数为8，分子式$\ce{C_{3}H_{8}}$
总结规律：每往后一种化合物，碳原子数增加1，氢原子数增加2。
因此下一种（第四种）化合物的碳原子数为$3+1=4$，氢原子数为$8+2=10$，组合得分子式为$\ce{C_{4}H_{10}}$。
【答案】
$\ce{C_{4}H_{10}}$
【知识点】
数字规律探究；归纳推理
【点评】
本题结合有机物分子式的背景考查规律探究能力，解题时只需分别统计两类原子的数量，找到各自的变化规律即可推导结果，侧重对观察、归纳能力的考查。
【难度系数】
0.8
