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10. 若函数$y=3x+1$与函数$y=2x-4$的某函数值相等，则这个相等的函数值为
-14
。答案
10.-14
解析
【分析】
函数值就是函数表达式中y的取值，两个函数的函数值相等，说明此时两个表达式的y值相等。我们可以先让两个函数表达式相等，得到关于x的一元一次方程，解出x的值后，再代入任意一个函数表达式，就能算出相等的那个函数值。
【解析】
解：当两个函数的函数值相等时，对应y值相等，因此可得方程：
$3x + 1 = 2x - 4$
移项计算：
$3x - 2x = -4 - 1$
解得$x = -5$
将$x=-5$代入$y=3x+1$中，得：
$y=3×(-5)+1=-15+1=-14$
（代入$y=2x-4$计算，可得$y=2×(-5)-4=-14$，结果一致）
【答案】
$-14$
【知识点】
一次函数的函数值、一元一次方程的解法、一次函数与方程的关系
【点评】
本题是基础常考题，核心是理解函数值相等的含义，通过联立方程求解即可，解题过程简单，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.9
函数值就是函数表达式中y的取值，两个函数的函数值相等，说明此时两个表达式的y值相等。我们可以先让两个函数表达式相等，得到关于x的一元一次方程，解出x的值后，再代入任意一个函数表达式，就能算出相等的那个函数值。
【解析】
解：当两个函数的函数值相等时，对应y值相等，因此可得方程：
$3x + 1 = 2x - 4$
移项计算：
$3x - 2x = -4 - 1$
解得$x = -5$
将$x=-5$代入$y=3x+1$中，得：
$y=3×(-5)+1=-15+1=-14$
（代入$y=2x-4$计算，可得$y=2×(-5)-4=-14$，结果一致）
【答案】
$-14$
【知识点】
一次函数的函数值、一元一次方程的解法、一次函数与方程的关系
【点评】
本题是基础常考题，核心是理解函数值相等的含义，通过联立方程求解即可，解题过程简单，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.9
11. 已知$m+2$与$n$成正比例，且当$m=-1$时，$n=-1$，则$m$与$n$之间的关系式是
$m=-n-2$
。答案
11.$m=-n-2$
解析
【分析】
要解决本题，首先根据“两个量成正比例”的定义列出关系式，再将已知的m、n值代入求出未知系数，最后整理得到m与n的关系式即可。第一步：回忆正比例的定义，若两个量A、B成正比例，则可设A=kB（k为常数，且k≠0），本题中m+2与n成正比例，因此可以设m+2=kn（k≠0）；第二步：将已知的m=-1、n=-1代入所设式子，求出k的值；第三步：把求得的k值代回式子，整理成用含n的式子表示m的形式即可。
【解析】
∵m+2与n成正比例
∴设m+2 = kn（k为常数，k≠0）
将m=-1，n=-1代入上式，得：
$-1 + 2 = k×(-1)$
解得：$k = -1$
将k=-1代入m+2=kn，得：
$m+2 = -n$
移项得：$m = -n -2$
【答案】
$m=-n-2$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求关系式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握正比例关系的表达式形式，正确代入已知数值求解系数，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先根据“两个量成正比例”的定义列出关系式，再将已知的m、n值代入求出未知系数，最后整理得到m与n的关系式即可。第一步：回忆正比例的定义，若两个量A、B成正比例，则可设A=kB（k为常数，且k≠0），本题中m+2与n成正比例，因此可以设m+2=kn（k≠0）；第二步：将已知的m=-1、n=-1代入所设式子，求出k的值；第三步：把求得的k值代回式子，整理成用含n的式子表示m的形式即可。
【解析】
∵m+2与n成正比例
∴设m+2 = kn（k为常数，k≠0）
将m=-1，n=-1代入上式，得：
$-1 + 2 = k×(-1)$
解得：$k = -1$
将k=-1代入m+2=kn，得：
$m+2 = -n$
移项得：$m = -n -2$
【答案】
$m=-n-2$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求关系式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握正比例关系的表达式形式，正确代入已知数值求解系数，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
12. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中记载：“今有良马日行二百四十里。驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”如图所示的是两匹马行走路程s(里)关于行走时间t(日)的函数图象，则两图象交点P的坐标是
$(32,4\ 800)$
（里：中国传统长度单位）。答案
12.$(32,4\ 800)$
解析
【分析】
要确定交点P的坐标，首先明确P点的实际意义是良马追上驽马的时刻，此时两匹马的行走路程相等。第一步先分别写出驽马和良马的路程s关于行走时间t的函数关系式：驽马从t=0开始出发，速度为150里/日，路程=速度×总时间；良马晚出发12日，实际行走时间为(t-12)日，速度为240里/日，路程=速度×实际行走时间。第二步根据追及时路程相等列方程，求解得到t的值，再代入函数式求出对应的s值，即可得到P点坐标。
【解析】
设驽马的行走路程为$ s_1 $里，行走时间为$ t $日，由题意得：
$ s_1 = 150t \quad (t≥0) $
设良马的行走路程为$ s_2 $里，行走时间为$ t $日，良马从第12日开始出发，实际行走时间为$ (t-12) $日，因此：
$ s_2 = 240(t-12) \quad (t≥12) $
两图象交点P处两匹马路程相等，即$ s_1 = s_2 $，列方程得：
$ 150t = 240(t-12) $
展开得：$ 150t = 240t - 2880 $
移项合并同类项得：$ 90t = 2880 $
解得：$ t = 32 $
将$ t=32 $代入$ s_1=150t $，得$ s=150×32=4800 $
因此交点P的坐标为$(32,4800)$。
【答案】
$(32,4800)$
【知识点】
一次函数的应用，追及问题，一元一次方程求解
【点评】
本题结合古代数学名著中的追及问题，考查了一次函数的实际应用，解题的核心是理解函数图象交点的实际意义，根据路程相等建立方程求解，将数学知识和传统文化结合，既考查知识掌握情况，也能激发学生对传统数学的兴趣。
【难度系数】
0.7
要确定交点P的坐标，首先明确P点的实际意义是良马追上驽马的时刻，此时两匹马的行走路程相等。第一步先分别写出驽马和良马的路程s关于行走时间t的函数关系式：驽马从t=0开始出发，速度为150里/日，路程=速度×总时间；良马晚出发12日，实际行走时间为(t-12)日，速度为240里/日，路程=速度×实际行走时间。第二步根据追及时路程相等列方程，求解得到t的值，再代入函数式求出对应的s值，即可得到P点坐标。
【解析】
设驽马的行走路程为$ s_1 $里，行走时间为$ t $日，由题意得：
$ s_1 = 150t \quad (t≥0) $
设良马的行走路程为$ s_2 $里，行走时间为$ t $日，良马从第12日开始出发，实际行走时间为$ (t-12) $日，因此：
$ s_2 = 240(t-12) \quad (t≥12) $
两图象交点P处两匹马路程相等，即$ s_1 = s_2 $，列方程得：
$ 150t = 240(t-12) $
展开得：$ 150t = 240t - 2880 $
移项合并同类项得：$ 90t = 2880 $
解得：$ t = 32 $
将$ t=32 $代入$ s_1=150t $，得$ s=150×32=4800 $
因此交点P的坐标为$(32,4800)$。
【答案】
$(32,4800)$
【知识点】
一次函数的应用，追及问题，一元一次方程求解
【点评】
本题结合古代数学名著中的追及问题，考查了一次函数的实际应用，解题的核心是理解函数图象交点的实际意义，根据路程相等建立方程求解，将数学知识和传统文化结合，既考查知识掌握情况，也能激发学生对传统数学的兴趣。
【难度系数】
0.7
13. 已知$y-2$与$x+1$成正比例，当$x=7$时，$y=6$。
(1)写出$y$与$x$之间的关系式；
(2)当$y=-2$时，求$x$的值。
(1)写出$y$与$x$之间的关系式；
(2)当$y=-2$时，求$x$的值。
答案
13.解:(1)设函数关系式为 $y-2=k(x+1)(k≠0)$,
因为当 $x=7$ 时,$y=6$,
所以 $6-2=k(7+1)$,
所以 $k=\frac{1}{2}$。
把 $k=\frac{1}{2}$ 代入 $y-2=k(x+1)$,
得 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$,
故函数关系式为 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2)把 $y=-2$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$,
得 $x=-9$。
因为当 $x=7$ 时,$y=6$,
所以 $6-2=k(7+1)$,
所以 $k=\frac{1}{2}$。
把 $k=\frac{1}{2}$ 代入 $y-2=k(x+1)$,
得 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$,
故函数关系式为 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2)把 $y=-2$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$,
得 $x=-9$。
解析
【分析】
(1) 解决成正比例相关的函数问题，首先要明确正比例的定义：若两个量A与B成正比例，可设$A=kB$（$k≠0$，k为常数）。本题中$y-2$与$x+1$成正比例，因此先设$y-2=k(x+1)$（$k≠0$），再将已知的$x=7$、$y=6$代入表达式求出参数k，最后整理即可得到y与x的函数关系式。
(2) 求指定y值对应的x值，只需将y的值代入第(1)问求出的函数关系式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设y与x的关系式为 $y-2=k(x+1)\ (k≠0)$，
把$x=7$，$y=6$代入上式：
$6-2=k(7+1)$，
即$4=8k$，解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$y-2=k(x+1)$整理：
$y-2=\frac{1}{2}(x+1)$，
$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+2$，
即$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2) 把$y=-2$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$：
$-2=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，
两边同乘2消去分母得：$-4=x+5$，
解得$x=-9$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；(2) $x=-9$
【知识点】
1. 成正比例的意义
2. 待定系数法
3. 一次函数求值
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查对正比例关系的理解和待定系数法的应用，解题核心是正确根据成正比例的设定列出表达式，再代入已知条件计算，属于需要熟练掌握的基础得分题。
【难度系数】
0.8
(1) 解决成正比例相关的函数问题，首先要明确正比例的定义：若两个量A与B成正比例，可设$A=kB$（$k≠0$，k为常数）。本题中$y-2$与$x+1$成正比例，因此先设$y-2=k(x+1)$（$k≠0$），再将已知的$x=7$、$y=6$代入表达式求出参数k，最后整理即可得到y与x的函数关系式。
(2) 求指定y值对应的x值，只需将y的值代入第(1)问求出的函数关系式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设y与x的关系式为 $y-2=k(x+1)\ (k≠0)$，
把$x=7$，$y=6$代入上式：
$6-2=k(7+1)$，
即$4=8k$，解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$y-2=k(x+1)$整理：
$y-2=\frac{1}{2}(x+1)$，
$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+2$，
即$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
(2) 把$y=-2$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$：
$-2=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，
两边同乘2消去分母得：$-4=x+5$，
解得$x=-9$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$；(2) $x=-9$
【知识点】
1. 成正比例的意义
2. 待定系数法
3. 一次函数求值
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查对正比例关系的理解和待定系数法的应用，解题核心是正确根据成正比例的设定列出表达式，再代入已知条件计算，属于需要熟练掌握的基础得分题。
【难度系数】
0.8
14. 兴平大蒜是陕西省咸阳市兴平市的特产，为全国农产品地理标志产品。它种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富。李叔叔购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量$x(\mathrm{kg})$与销售收入$y$(元)之间的关系如下表所示。
(1)求出$y$与$x$之间的关系式，并判断$y$是否为$x$的正比例函数；
(2)当$x=7$时，求销售收入$y$。
(1)求出$y$与$x$之间的关系式，并判断$y$是否为$x$的正比例函数；
(2)当$x=7$时，求销售收入$y$。
答案
14.解:(1)由表格可知,大蒜质量每增加1 kg,销售收入增加10.5元,
所以 $y=10.5+10.5(x-1)=10.5x$,
即 $y=10.5x$,
且 $y$ 是 $x$ 的正比例函数。
(2)当 $x=7$ 时,
$y=10.5x=10.5×7=73.5$,
所以当 $x=7$ 时,销售收入 $y$ 为 73.5 元。
所以 $y=10.5+10.5(x-1)=10.5x$,
即 $y=10.5x$,
且 $y$ 是 $x$ 的正比例函数。
(2)当 $x=7$ 时,
$y=10.5x=10.5×7=73.5$,
所以当 $x=7$ 时,销售收入 $y$ 为 73.5 元。
解析
【分析】
要解决第一问，先观察表格中x和y的变化规律：销售质量x每增加1kg，销售收入y就增加10.5元，可得出大蒜的单价为10.5元/kg，根据“销售收入=单价×销售质量”即可写出y与x的关系式；再对照正比例函数的定义（形如y=kx，k为常数且k≠0的函数是正比例函数），判断y是否为x的正比例函数。解决第二问时，直接将x=7代入第一问得到的关系式中计算，即可求出对应的销售收入y。
【解析】
(1) 观察表格数据：当x=1时，y=10.5；x=2时，y=21=10.5×2；x=3时，y=31.5=10.5×3，以此类推，可知销售收入y是销售质量x的10.5倍，因此y与x的关系式为：
$y=10.5x$
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（k为常数，$k\ne0$）的函数为正比例函数，本题中k=10.5≠0，符合正比例函数的形式，因此y是x的正比例函数。
(2) 将$x=7$代入$y=10.5x$中，得：
$y=10.5×7=73.5$
【答案】
(1) $y$与$x$的关系式为$\boldsymbol{y=10.5x}$，$y$是$x$的正比例函数；
(2) 当$x=7$时，销售收入$y$为$\boldsymbol{73.5}$元。
【知识点】
正比例函数的判定；函数解析式的确定；代入法求函数值
【点评】
本题结合生活实际考查函数相关基础知识点，解题关键是通过表格数据梳理出两个变量之间的数量关系，结合正比例函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
要解决第一问，先观察表格中x和y的变化规律：销售质量x每增加1kg，销售收入y就增加10.5元，可得出大蒜的单价为10.5元/kg，根据“销售收入=单价×销售质量”即可写出y与x的关系式；再对照正比例函数的定义（形如y=kx，k为常数且k≠0的函数是正比例函数），判断y是否为x的正比例函数。解决第二问时，直接将x=7代入第一问得到的关系式中计算，即可求出对应的销售收入y。
【解析】
(1) 观察表格数据：当x=1时，y=10.5；x=2时，y=21=10.5×2；x=3时，y=31.5=10.5×3，以此类推，可知销售收入y是销售质量x的10.5倍，因此y与x的关系式为：
$y=10.5x$
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（k为常数，$k\ne0$）的函数为正比例函数，本题中k=10.5≠0，符合正比例函数的形式，因此y是x的正比例函数。
(2) 将$x=7$代入$y=10.5x$中，得：
$y=10.5×7=73.5$
【答案】
(1) $y$与$x$的关系式为$\boldsymbol{y=10.5x}$，$y$是$x$的正比例函数；
(2) 当$x=7$时，销售收入$y$为$\boldsymbol{73.5}$元。
【知识点】
正比例函数的判定；函数解析式的确定；代入法求函数值
【点评】
本题结合生活实际考查函数相关基础知识点，解题关键是通过表格数据梳理出两个变量之间的数量关系，结合正比例函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
15. 某电信公司手机的A套餐收费标准为:不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费18元,另外,通话费按0.15元/min计;B套餐收费标准为:不收月租费,但通话费用按0.2元/min计。
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系式;
(2)若每月平均通话时间为300 min,你选择哪种套餐?请说明理由。
(1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系式;
(2)若每月平均通话时间为300 min,你选择哪种套餐?请说明理由。
答案
15.解:(1)由题意可得:
A套餐 $y=18+0.15x$,
B套餐 $y=0.2x$,
所以 A,B两种套餐收费标准的每月应缴费用 $y$(元)与通话时间 $x$(min)之间的关系式分别为 $y=18+0.15x,y=0.2x$。
(2)当 $x=300$ 时,
A套餐:$y=0.15×300+18=63$(元),
B套餐:$y=0.2×300=60$(元),
因为 60＜63,
所以 B套餐更优惠,选择 B套餐。
A套餐 $y=18+0.15x$,
B套餐 $y=0.2x$,
所以 A,B两种套餐收费标准的每月应缴费用 $y$(元)与通话时间 $x$(min)之间的关系式分别为 $y=18+0.15x,y=0.2x$。
(2)当 $x=300$ 时,
A套餐:$y=0.15×300+18=63$(元),
B套餐:$y=0.2×300=60$(元),
因为 60＜63,
所以 B套餐更优惠,选择 B套餐。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 求解费用与通话时间的关系式：先明确两种套餐的收费构成，A套餐收费=固定月租费+每分钟通话费×通话时长，B套餐无月租，收费=每分钟通话费×通话时长，将对应数值代入即可列出y与x的关系式；
2. 选择优惠套餐：将通话时间x=300分别代入两个关系式，计算出两种套餐对应的费用，比较费用大小，选择费用更低的套餐即可。
【解析】
(1) 根据两种套餐的收费规则：
A套餐每月需缴固定月租18元，加上0.15元/min的通话费，因此费用关系式为：$y=18+0.15x$；
B套餐无月租，仅按0.2元/min收通话费，因此费用关系式为：$y=0.2x$；
(2) 当每月通话时间$x=300\ \mathrm{min}$时，分别计算两种套餐的费用：
A套餐费用：$y=18+0.15×300=18+45=63$（元）
B套餐费用：$y=0.2×300=60$（元）
因为$60＜63$，可知B套餐费用更低，所以选择B套餐。
【答案】
(1) A套餐：$y=18+0.15x$，B套餐：$y=0.2x$；
(2) 选择B套餐。
【知识点】
一次函数实际应用；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题是与生活联系紧密的计费类问题，核心是梳理不同方案的收费规则，将实际问题转化为数学函数表达式，再通过计算比较得出最优方案，整体逻辑清晰，计算量小，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 求解费用与通话时间的关系式：先明确两种套餐的收费构成，A套餐收费=固定月租费+每分钟通话费×通话时长，B套餐无月租，收费=每分钟通话费×通话时长，将对应数值代入即可列出y与x的关系式；
2. 选择优惠套餐：将通话时间x=300分别代入两个关系式，计算出两种套餐对应的费用，比较费用大小，选择费用更低的套餐即可。
【解析】
(1) 根据两种套餐的收费规则：
A套餐每月需缴固定月租18元，加上0.15元/min的通话费，因此费用关系式为：$y=18+0.15x$；
B套餐无月租，仅按0.2元/min收通话费，因此费用关系式为：$y=0.2x$；
(2) 当每月通话时间$x=300\ \mathrm{min}$时，分别计算两种套餐的费用：
A套餐费用：$y=18+0.15×300=18+45=63$（元）
B套餐费用：$y=0.2×300=60$（元）
因为$60＜63$，可知B套餐费用更低，所以选择B套餐。
【答案】
(1) A套餐：$y=18+0.15x$，B套餐：$y=0.2x$；
(2) 选择B套餐。
【知识点】
一次函数实际应用；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题是与生活联系紧密的计费类问题，核心是梳理不同方案的收费规则，将实际问题转化为数学函数表达式，再通过计算比较得出最优方案，整体逻辑清晰，计算量小，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
