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1. (2025·广州模拟)某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯.基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏.每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏.
(1)若某天手工社团获得总利润588元，请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯？(工艺等级从第1级开始依次递增)
(2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？
(1)若某天手工社团获得总利润588元，请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯？(工艺等级从第1级开始依次递增)
(2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？
答案
(1)设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯,由题意,得[10+2(x-1)][50-4(x-1)]=588,解得x=3或x=13/2(不合题意,舍去).故他们制作的是第3个工艺等级的莲花灯.
(2)设总利润为w元,选择第m个工艺等级,由题意,得w=[10+2(m-1)][50-4(m-1)]=-8m²+76m+432,
∴当m=76/16=19/4时,函数取得最大值,抛物线上的点离对称轴越近,函数值越大,
∵m为整数,
∴m=4时,w=-8×4²+76×4+432=608;m=5时,w=-8×5²+76×5+432=612;故社团希望获得最大日利润,应选择第5工艺等级,最大利润为612元.
(2)设总利润为w元,选择第m个工艺等级,由题意,得w=[10+2(m-1)][50-4(m-1)]=-8m²+76m+432,
∴当m=76/16=19/4时,函数取得最大值,抛物线上的点离对称轴越近,函数值越大,
∵m为整数,
∴m=4时,w=-8×4²+76×4+432=608;m=5时,w=-8×5²+76×5+432=612;故社团希望获得最大日利润,应选择第5工艺等级,最大利润为612元.
解析
【分析】
(1) 求解工艺等级问题的核心是抓住“总利润=单盏利润×日产量”的等量关系。首先设工艺等级为x，结合题意分别表示第x等级对应的单盏利润和日产量：第1级单盏利润10元，每提升1级加2元，因此第x级单盏利润为10+2(x-1)元；第1级日产量50盏，每提升1级减4盏，因此第x级日产量为50-4(x-1)盏，两者乘积等于总利润588元，列一元二次方程求解即可，注意工艺等级是正整数，需舍去不符合实际意义的解。
(2) 求最大日利润属于二次函数最值问题，设总利润为w元，工艺等级为m，先仿照第一问的关系列出w关于m的二次函数表达式，整理为一般式后，因为二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，又因为工艺等级m是正整数，所以需要计算对称轴附近的两个整数对应的利润值，比较后得到最大利润及对应的工艺等级。
【解析】
(1) 设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯，由题意得：
$[10+2(x-1)][50-4(x-1)]=588$
整理化简得$2x^2-19x+39=0$，因式分解得$(x-3)(2x-13)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{13}{2}$。
因为工艺等级为正整数，$\frac{13}{2}$不合题意，舍去。
(2) 设日总利润为w元，选择的工艺等级为m，由题意得：
$w=[10+2(m-1)][50-4(m-1)]$
展开整理得$w=-8m^2+76m+432$，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为$m=\frac{76}{16}=\frac{19}{4}=4.75$。
因为m为正整数，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，分别计算临近整数的利润：
当$m=4$时，$w=-8×4^2+76×4+432=608$；
当$m=5$时，$w=-8×5^2+76×5+432=612$。
对比得$m=5$时利润最大。
【答案】
(1) 他们制作的是第3个工艺等级的莲花灯；
(2) 应选择第5工艺等级，此时最大日利润是612元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题结合文化实践场景考查方程与函数的实际应用，解题时需注意自变量的实际取值要求（工艺等级为正整数），求解二次函数最值时不能直接套用对称轴的非整数值，需结合自变量取值范围验证后得到正确结果。
【难度系数】
0.6
(1) 求解工艺等级问题的核心是抓住“总利润=单盏利润×日产量”的等量关系。首先设工艺等级为x，结合题意分别表示第x等级对应的单盏利润和日产量：第1级单盏利润10元，每提升1级加2元，因此第x级单盏利润为10+2(x-1)元；第1级日产量50盏，每提升1级减4盏，因此第x级日产量为50-4(x-1)盏，两者乘积等于总利润588元，列一元二次方程求解即可，注意工艺等级是正整数，需舍去不符合实际意义的解。
(2) 求最大日利润属于二次函数最值问题，设总利润为w元，工艺等级为m，先仿照第一问的关系列出w关于m的二次函数表达式，整理为一般式后，因为二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，又因为工艺等级m是正整数，所以需要计算对称轴附近的两个整数对应的利润值，比较后得到最大利润及对应的工艺等级。
【解析】
(1) 设他们制作的是第x个工艺等级的莲花灯，由题意得：
$[10+2(x-1)][50-4(x-1)]=588$
整理化简得$2x^2-19x+39=0$，因式分解得$(x-3)(2x-13)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{13}{2}$。
因为工艺等级为正整数，$\frac{13}{2}$不合题意，舍去。
(2) 设日总利润为w元，选择的工艺等级为m，由题意得：
$w=[10+2(m-1)][50-4(m-1)]$
展开整理得$w=-8m^2+76m+432$，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为$m=\frac{76}{16}=\frac{19}{4}=4.75$。
因为m为正整数，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，分别计算临近整数的利润：
当$m=4$时，$w=-8×4^2+76×4+432=608$；
当$m=5$时，$w=-8×5^2+76×5+432=612$。
对比得$m=5$时利润最大。
【答案】
(1) 他们制作的是第3个工艺等级的莲花灯；
(2) 应选择第5工艺等级，此时最大日利润是612元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题结合文化实践场景考查方程与函数的实际应用，解题时需注意自变量的实际取值要求（工艺等级为正整数），求解二次函数最值时不能直接套用对称轴的非整数值，需结合自变量取值范围验证后得到正确结果。
【难度系数】
0.6
2. 某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表，为获最大利润，生产数量应为（
A.3万件
B.4万件
C.5万件
D.6万件
B
）A.3万件
B.4万件
C.5万件
D.6万件
答案
B
解析
【分析】
本题属于销售利润最值问题，解题思路如下：首先根据“生产成本、销售价格均是生产数量的一次函数”，结合表格数据分别求出生产成本、销售价格关于生产数量的一次函数解析式；再根据“总利润=单件利润×生产总数量”，列出总利润关于生产数量的函数关系式；最后根据二次函数的性质求出利润最大时对应的生产数量即可。
【解析】
设生产数量为$ x $万件（$ x ≤ 8 $），生产成本为$ y_1 $元/件，销售价格为$ y_2 $元/件，总利润为$ W $万元。
1. 求生产成本的函数解析式
设$ y_1 = k_1x + b_1 $，将$(1,9)$、$(2,8)$代入得：
$\begin{cases}k_1 + b_1 = 9 \\2k_1 + b_1 = 8\end{cases}$
解得$ k_1=-1 $，$ b_1=10 $，即$ y_1 = -x + 10 $，代入$ x=3 $验证得$ y_1=7 $，符合表格数据。
2. 求销售价格的函数解析式
设$ y_2 = k_2x + b_2 $，将$(1,16)$、$(2,14)$代入得：
$\begin{cases}k_2 + b_2 = 16 \\2k_2 + b_2 = 14\end{cases}$
解得$ k_2=-2 $，$ b_2=18 $，即$ y_2 = -2x + 18 $，代入$ x=3 $验证得$ y_2=12 $，符合表格数据。
3. 求利润函数并求最值
单件利润为$ y_2 - y_1 $，总利润$ W = x(y_2 - y_1) $，代入解析式得：
$W = x[(-2x+18) - (-x+10)] = x(-x+8) = -x^2 + 8x$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2×(-1)} = 4 $，且$ 4 ≤ 8 $，因此当$ x=4 $时，总利润$ W $取得最大值，即生产数量应为4万件。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的函数类实际应用问题，需要学生掌握一次函数求解析式的方法，以及二次函数最值的求解技巧，解题时要注意验证所求解析式是否符合所有已知数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润最值问题，解题思路如下：首先根据“生产成本、销售价格均是生产数量的一次函数”，结合表格数据分别求出生产成本、销售价格关于生产数量的一次函数解析式；再根据“总利润=单件利润×生产总数量”，列出总利润关于生产数量的函数关系式；最后根据二次函数的性质求出利润最大时对应的生产数量即可。
【解析】
设生产数量为$ x $万件（$ x ≤ 8 $），生产成本为$ y_1 $元/件，销售价格为$ y_2 $元/件，总利润为$ W $万元。
1. 求生产成本的函数解析式
设$ y_1 = k_1x + b_1 $，将$(1,9)$、$(2,8)$代入得：
$\begin{cases}k_1 + b_1 = 9 \\2k_1 + b_1 = 8\end{cases}$
解得$ k_1=-1 $，$ b_1=10 $，即$ y_1 = -x + 10 $，代入$ x=3 $验证得$ y_1=7 $，符合表格数据。
2. 求销售价格的函数解析式
设$ y_2 = k_2x + b_2 $，将$(1,16)$、$(2,14)$代入得：
$\begin{cases}k_2 + b_2 = 16 \\2k_2 + b_2 = 14\end{cases}$
解得$ k_2=-2 $，$ b_2=18 $，即$ y_2 = -2x + 18 $，代入$ x=3 $验证得$ y_2=12 $，符合表格数据。
3. 求利润函数并求最值
单件利润为$ y_2 - y_1 $，总利润$ W = x(y_2 - y_1) $，代入解析式得：
$W = x[(-2x+18) - (-x+10)] = x(-x+8) = -x^2 + 8x$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2×(-1)} = 4 $，且$ 4 ≤ 8 $，因此当$ x=4 $时，总利润$ W $取得最大值，即生产数量应为4万件。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的函数类实际应用问题，需要学生掌握一次函数求解析式的方法，以及二次函数最值的求解技巧，解题时要注意验证所求解析式是否符合所有已知数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3. ★★ (2025·温州期中)某企业生产甲、乙两种产品,根据市场调查与预测,甲产品的利润$y_1$与投资金额成正比;乙产品的利润$y_2$与投资金额成二次函数关系,其关系如图,其中点A,B,C的坐标分别为$(4,-2),(10,-1.25),(8,2)$.
(1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额之间的函数表达式.
(2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产,至少要投入
(3)该企业准备筹集$a$万元投入甲、乙两种产品的生产,且该企业计划两种产品最小利润不低于投资金额的20%,那么该企业至少要筹集到多少资金?
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P12专题12,P13专题13
(1)分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额之间的函数表达式.
(2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产,至少要投入
12
万元企业才不会亏损.(3)该企业准备筹集$a$万元投入甲、乙两种产品的生产,且该企业计划两种产品最小利润不低于投资金额的20%,那么该企业至少要筹集到多少资金?
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P12专题12,P13专题13
答案
(1)由题意,设甲产品的利润为$y_1=kx(k≠0),∵ C(8,2)$在函数图象上,$∴ 2=8k$,解得$k=\frac{1}{4}$,$∴$ 甲产品的利润与投资金额之间的函数表达式为$y_1=\frac{1}{4}x$;设乙产品的利润与投资金额之间的函数表达式为$y_2=ax^2+bx(a≠0)$,将$A(4,-2),B(10,-1.25)$代入,得$\begin{cases} 16a+4b=-2, \\ 100a+10b=-1.25, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\frac{1}{16}, \\ b=-\frac{3}{4}, \end{cases}$$∴ y_2=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x$.
(2)12 解析:当$y_2=0$时,$\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=0$,解得$x_1=0,x_2=12$.
$∴$ 该企业将资金全力投入乙产品的生产,至少要投入12万元企业才不会亏损.
(3)设该企业准备筹集$x$万元投入乙产品的生产,则投入甲产品的资金为$(a-x)$万元,设总利润为$y$万元,$∴ y=y_1+y_2=\frac{1}{4}(a-x)+\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=\frac{1}{16}x^2-x+\frac{1}{4}a$,函数$y$的对称轴为直线$x=-\frac{-1}{2×\frac{1}{16}}=8$,当$x=8$时,$y_{\mathrm{min}}=\frac{1}{16}x^2-x+\frac{1}{4}a=\frac{1}{4}a-4$,$∴ \frac{1}{4}a-4≥20\%a$,解得$a≥80$,$∴$ 该企业至少要筹集到80万元资金.
(2)12 解析:当$y_2=0$时,$\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=0$,解得$x_1=0,x_2=12$.
$∴$ 该企业将资金全力投入乙产品的生产,至少要投入12万元企业才不会亏损.
(3)设该企业准备筹集$x$万元投入乙产品的生产,则投入甲产品的资金为$(a-x)$万元,设总利润为$y$万元,$∴ y=y_1+y_2=\frac{1}{4}(a-x)+\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=\frac{1}{16}x^2-x+\frac{1}{4}a$,函数$y$的对称轴为直线$x=-\frac{-1}{2×\frac{1}{16}}=8$,当$x=8$时,$y_{\mathrm{min}}=\frac{1}{16}x^2-x+\frac{1}{4}a=\frac{1}{4}a-4$,$∴ \frac{1}{4}a-4≥20\%a$,解得$a≥80$,$∴$ 该企业至少要筹集到80万元资金.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式采用待定系数法：甲产品利润是正比例函数，设为$y_1=kx$，代入已知点$C(8,2)$即可求出系数$k$；乙产品利润是过原点的二次函数，设为$y_2=ax^2+bx$，将$A(4,-2)$、$B(10,-1.25)$代入得到二元一次方程组，求解即可得到$a$、$b$的值。
(2) 不亏损意味着利润≥0，即$y_2≥0$，解方程$y_2=0$的正根就是乙产品的最低投入金额。
(3) 设投入乙产品$x$万元，则投入甲产品的资金为$(a-x)$万元，总利润为两种产品利润之和，整理得到关于$x$的二次函数，根据二次函数性质求出最小利润，令最小利润≥投资金额的20%，解不等式即可得到$a$的最小值。
【解析】
(1) 设甲产品的利润函数为$y_1=kx(k≠0)$，
∵ 点$C(8,2)$在$y_1$的图象上，
∴ $2=8k$，解得$k=\frac{1}{4}$，
∴ 甲产品的利润与投资金额的函数表达式为$y_1=\frac{1}{4}x$。
设乙产品的利润函数为$y_2=ax^2+bx(a≠0)$，
将$A(4,-2)$、$B(10,-1.25)$代入得：
$\begin{cases} 16a+4b=-2 \\ 100a+10b=-1.25 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{16} \\ b=-\frac{3}{4} \end{cases}$，
∴ 乙产品的利润与投资金额的函数表达式为$y_2=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x$。
(2) 企业不亏损即乙产品利润$y_2≥0$，令$y_2=0$，则：
$\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=12$，
即全力投入乙产品时至少投入12万元才不会亏损。
(3) 设投入乙产品的资金为$x$万元，则投入甲产品的资金为$(a-x)$万元，总利润为$y$万元，
则$y=\frac{1}{4}(a-x)+\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=\frac{1}{16}x^2 - x + \frac{1}{4}a$，
该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{-1}{2×\frac{1}{16}}=8$，
∴ 当$x=8$时，总利润取得最小值$y_{min}=\frac{1}{4}a - 4$，
由题意得$\frac{1}{4}a - 4 ≥ 20\%a$，
解得$a≥80$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{1}{4}x$，$y_2=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x$
(2) 12
(3) 80万元
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，不等式应用
【点评】
本题以实际投资利润为背景，综合考查了一次函数、二次函数的相关性质，以及利用不等式解决实际最值问题，需要理清变量间的数量关系，熟练掌握函数的基础性质即可解题，贴合生活应用场景，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数解析式采用待定系数法：甲产品利润是正比例函数，设为$y_1=kx$，代入已知点$C(8,2)$即可求出系数$k$；乙产品利润是过原点的二次函数，设为$y_2=ax^2+bx$，将$A(4,-2)$、$B(10,-1.25)$代入得到二元一次方程组，求解即可得到$a$、$b$的值。
(2) 不亏损意味着利润≥0，即$y_2≥0$，解方程$y_2=0$的正根就是乙产品的最低投入金额。
(3) 设投入乙产品$x$万元，则投入甲产品的资金为$(a-x)$万元，总利润为两种产品利润之和，整理得到关于$x$的二次函数，根据二次函数性质求出最小利润，令最小利润≥投资金额的20%，解不等式即可得到$a$的最小值。
【解析】
(1) 设甲产品的利润函数为$y_1=kx(k≠0)$，
∵ 点$C(8,2)$在$y_1$的图象上，
∴ $2=8k$，解得$k=\frac{1}{4}$，
∴ 甲产品的利润与投资金额的函数表达式为$y_1=\frac{1}{4}x$。
设乙产品的利润函数为$y_2=ax^2+bx(a≠0)$，
将$A(4,-2)$、$B(10,-1.25)$代入得：
$\begin{cases} 16a+4b=-2 \\ 100a+10b=-1.25 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{16} \\ b=-\frac{3}{4} \end{cases}$，
∴ 乙产品的利润与投资金额的函数表达式为$y_2=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x$。
(2) 企业不亏损即乙产品利润$y_2≥0$，令$y_2=0$，则：
$\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=12$，
即全力投入乙产品时至少投入12万元才不会亏损。
(3) 设投入乙产品的资金为$x$万元，则投入甲产品的资金为$(a-x)$万元，总利润为$y$万元，
则$y=\frac{1}{4}(a-x)+\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x=\frac{1}{16}x^2 - x + \frac{1}{4}a$，
该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{-1}{2×\frac{1}{16}}=8$，
∴ 当$x=8$时，总利润取得最小值$y_{min}=\frac{1}{4}a - 4$，
由题意得$\frac{1}{4}a - 4 ≥ 20\%a$，
解得$a≥80$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{1}{4}x$，$y_2=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{4}x$
(2) 12
(3) 80万元
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，不等式应用
【点评】
本题以实际投资利润为背景，综合考查了一次函数、二次函数的相关性质，以及利用不等式解决实际最值问题，需要理清变量间的数量关系，熟练掌握函数的基础性质即可解题，贴合生活应用场景，对知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
