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1. 下列说法中正确的是 （
A.圆的切线垂直于经过切点的半径
B.垂直于切线的直线必经过切点
C.垂直于切线的直线必经过圆心
D.垂直于半径的直线是圆的切线
A
）A.圆的切线垂直于经过切点的半径
B.垂直于切线的直线必经过切点
C.垂直于切线的直线必经过圆心
D.垂直于半径的直线是圆的切线
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查圆的切线的性质与判定相关知识，解题时需先准确回忆切线的性质定理、相关推论及判定定理的完整内容，再逐一核对每个选项是否满足定理的全部成立条件，排除缺少前提条件的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据圆的切线性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，表述完整正确，符合定理内容。
B选项：垂直于切线的直线有无数条，只有同时过圆心的垂直于切线的直线才会经过切点，该选项缺少“过圆心”的前提，表述错误。
C选项：垂直于切线的直线有无数条，只有同时过切点的垂直于切线的直线才会经过圆心，该选项缺少“过切点”的前提，表述错误。
D选项：垂直于半径的直线有无数条，只有同时经过半径外端点的垂直于半径的直线才是圆的切线，该选项缺少“经过半径外端”的前提，不符合切线判定定理，表述错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质定理；切线的判定定理
【点评】
本题侧重考查对圆的切线相关定理的理解记忆，易错点是容易忽略定理成立的前提条件，学习时要完整掌握定理的全部内容，避免因断章取义判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的性质与判定相关知识，解题时需先准确回忆切线的性质定理、相关推论及判定定理的完整内容，再逐一核对每个选项是否满足定理的全部成立条件，排除缺少前提条件的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据圆的切线性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，表述完整正确，符合定理内容。
B选项：垂直于切线的直线有无数条，只有同时过圆心的垂直于切线的直线才会经过切点，该选项缺少“过圆心”的前提，表述错误。
C选项：垂直于切线的直线有无数条，只有同时过切点的垂直于切线的直线才会经过圆心，该选项缺少“过切点”的前提，表述错误。
D选项：垂直于半径的直线有无数条，只有同时经过半径外端点的垂直于半径的直线才是圆的切线，该选项缺少“经过半径外端”的前提，不符合切线判定定理，表述错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质定理；切线的判定定理
【点评】
本题侧重考查对圆的切线相关定理的理解记忆，易错点是容易忽略定理成立的前提条件，学习时要完整掌握定理的全部内容，避免因断章取义判断失误。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，PA与$\odot O$相切于点A，$∠ ABC=20°$，OC的延长线交PA于点P，则$∠ P$的度数是（
A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
C
）A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件切入：①看到PA是圆的切线，首先回忆切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AB，即△PAO是直角三角形；②已知圆周角∠ABC的度数，可根据圆周角定理，求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数；③最后在直角三角形PAO中，利用两锐角互余即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAO=90°。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ABC=2×20°=40°。
在Rt△PAO中，∠P + ∠AOC = 90°，
∴∠P=90°-40°=50°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握切线性质、圆周角定理的基本应用，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件切入：①看到PA是圆的切线，首先回忆切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AB，即△PAO是直角三角形；②已知圆周角∠ABC的度数，可根据圆周角定理，求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数；③最后在直角三角形PAO中，利用两锐角互余即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAO=90°。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ABC=2×20°=40°。
在Rt△PAO中，∠P + ∠AOC = 90°，
∴∠P=90°-40°=50°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握切线性质、圆周角定理的基本应用，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB与$\odot O$相切于点B，AO的延长线交$\odot O$于点C，连结BC。若$∠ A=38°$，则$∠ C$的度数为（
A.$19°$
B.$26°$
C.$38°$
D.$52°$
B
）A.$19°$
B.$26°$
C.$38°$
D.$52°$
答案
3. B
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线的性质构造直角三角形。本题先连接OB，由切线性质得到OB⊥AB，先在直角三角形ABO中求出∠AOB的度数，再结合同圆半径相等得到OB=OC，利用等腰三角形性质和三角形外角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OB，
∵AB与$\odot O$相切于点B，
∴$OB⊥AB$，即$∠ABO=90°$，
在$Rt△ABO$中，$∠A=38°$，
∴$∠AOB=90°-∠A=90°-38°=52°$，
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，
∴$∠C=∠OBC$，
又
∵$∠AOB$是$△OBC$的外角，
∴$∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题型，解题关键是通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合三角形相关性质计算角度，解题思路具有典型性。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线的性质构造直角三角形。本题先连接OB，由切线性质得到OB⊥AB，先在直角三角形ABO中求出∠AOB的度数，再结合同圆半径相等得到OB=OC，利用等腰三角形性质和三角形外角的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OB，
∵AB与$\odot O$相切于点B，
∴$OB⊥AB$，即$∠ABO=90°$，
在$Rt△ABO$中，$∠A=38°$，
∴$∠AOB=90°-∠A=90°-38°=52°$，
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，
∴$∠C=∠OBC$，
又
∵$∠AOB$是$△OBC$的外角，
∴$∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题型，解题关键是通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合三角形相关性质计算角度，解题思路具有典型性。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB，CD为$\odot O$的直径，BE与$\odot O$相切于点B。若$∠ C=32°$，则$∠ E$的度数为（
A.$32°$
B.$58°$
C.$64°$
D.$68°$
B
）A.$32°$
B.$58°$
C.$64°$
D.$68°$
答案
4. B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，看到BE是圆的切线，优先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得AB⊥BE，即△ABE是直角三角形，∠BAE与∠E互余，因此只需要求出∠BAE的度数即可计算∠E。第二步，求∠BAE的度数：AB、CD都是圆的直径，圆的半径处处相等，可结合等腰三角形的性质、对顶角相等的性质推导得到∠BAE和已知∠C的关系，求出∠BAE的度数。第三步，利用直角三角形两锐角互余计算∠E即可。
【解析】
解：
∵ BE与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径，
∴ AB⊥BE，即∠ABE=90°，
∴ ∠BAE + ∠E = 90°。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠C=32°，
∴ ∠COB=180° - ∠C - ∠OBC = 180° - 32° - 32° = 116°，
∵ ∠AOD与∠COB是对顶角，
∴ ∠AOD=∠COB=116°，
∵ OA、OD均为⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠BAE=∠ADO=(180° - ∠AOD)÷2 = (180° - 116°)÷2 = 32°，
∴ ∠E=90° - ∠BAE = 90° - 32° = 58°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合圆的半径相等得到等腰三角形，进而求出对应角度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，看到BE是圆的切线，优先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得AB⊥BE，即△ABE是直角三角形，∠BAE与∠E互余，因此只需要求出∠BAE的度数即可计算∠E。第二步，求∠BAE的度数：AB、CD都是圆的直径，圆的半径处处相等，可结合等腰三角形的性质、对顶角相等的性质推导得到∠BAE和已知∠C的关系，求出∠BAE的度数。第三步，利用直角三角形两锐角互余计算∠E即可。
【解析】
解：
∵ BE与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径，
∴ AB⊥BE，即∠ABE=90°，
∴ ∠BAE + ∠E = 90°。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠C=32°，
∴ ∠COB=180° - ∠C - ∠OBC = 180° - 32° - 32° = 116°，
∵ ∠AOD与∠COB是对顶角，
∴ ∠AOD=∠COB=116°，
∵ OA、OD均为⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠BAE=∠ADO=(180° - ∠AOD)÷2 = (180° - 116°)÷2 = 32°，
∴ ∠E=90° - ∠BAE = 90° - 32° = 58°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合圆的半径相等得到等腰三角形，进而求出对应角度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AC是$\odot O$的切线，B是切点，连结OA，OC。若$∠ A=60°$，$AB=1$，$AC=3$，则OC的长是（
A.$3$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{7}$
D
）A.$3$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{7}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质，连接切点B与圆心O，得到垂直于切线AC的半径OB，构造出两个直角三角形。先在Rt△OAB中，结合已知的∠A度数和AB边长，通过三角函数求出OB的长度；再计算出BC的长度，最后在Rt△OBC中利用勾股定理即可求出OC的长度。
【解析】
连接OB，
∵AC是$\odot O$的切线，B是切点，
∴$OB⊥ AC$，即$∠ OBA=∠ OBC=90°$。
在$Rt△ OAB$中，$∠ A=60°$，$AB=1$，
$\tan∠ A=\frac{OB}{AB}$，即$\tan60°=\frac{OB}{1}$，
解得$OB=\sqrt{3}$。
∵$AC=3$，
∴$BC=AC-AB=3-1=2$。
在$Rt△ OBC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$。
【答案】D
【知识点】
切线的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合三角函数、勾股定理计算线段长度，思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线的性质，连接切点B与圆心O，得到垂直于切线AC的半径OB，构造出两个直角三角形。先在Rt△OAB中，结合已知的∠A度数和AB边长，通过三角函数求出OB的长度；再计算出BC的长度，最后在Rt△OBC中利用勾股定理即可求出OC的长度。
【解析】
连接OB，
∵AC是$\odot O$的切线，B是切点，
∴$OB⊥ AC$，即$∠ OBA=∠ OBC=90°$。
在$Rt△ OAB$中，$∠ A=60°$，$AB=1$，
$\tan∠ A=\frac{OB}{AB}$，即$\tan60°=\frac{OB}{1}$，
解得$OB=\sqrt{3}$。
∵$AC=3$，
∴$BC=AC-AB=3-1=2$。
在$Rt△ OBC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$。
【答案】D
【知识点】
切线的性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合三角函数、勾股定理计算线段长度，思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB为$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，A是切点，连结BC交$\odot O$于点D，连结OD，若$∠ C=40°$，则$∠ AOD=$
100°
。答案
6. 100°
解析
【分析】
本题可按以下思路求解：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的直径，可得AB与AC垂直，得到直角三角形ABC，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，或者结合同圆半径相等得到等腰△OBD，通过角度关系推导即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，即∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，∠C=40°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-40°=50°。
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=50°，
∴∠BOD=180°-∠ABC-∠ODB=180°-50°-50°=80°，
又
∵∠AOD+∠BOD=180°（平角的定义），
∴∠AOD=180°-80°=100°。
（也可直接用圆周角定理：∠ABC是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，故∠AOD=2∠ABC=100°）
【答案】
100°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题核心是熟练运用切线性质得到直角，再结合圆的基本角度关系推导所求角的度数，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题可按以下思路求解：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的直径，可得AB与AC垂直，得到直角三角形ABC，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，或者结合同圆半径相等得到等腰△OBD，通过角度关系推导即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，即∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，∠C=40°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-40°=50°。
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=50°，
∴∠BOD=180°-∠ABC-∠ODB=180°-50°-50°=80°，
又
∵∠AOD+∠BOD=180°（平角的定义），
∴∠AOD=180°-80°=100°。
（也可直接用圆周角定理：∠ABC是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，故∠AOD=2∠ABC=100°）
【答案】
100°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题核心是熟练运用切线性质得到直角，再结合圆的基本角度关系推导所求角的度数，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
7. 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，$∠ CDB=25°$，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E，则$∠ E=$
40°
。答案
7. 40°
解析
【分析】
解决本题首先要想到切线相关问题的常用辅助线：连接切点与圆心，即可得到切线与半径垂直的关系。接着观察已知角∠CDB是圆周角，要求的∠E在直角三角形OCE中，需要先求出和∠E互余的圆心角∠COB的度数，利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可由∠CDB的度数求出∠COB的度数，最后利用直角三角形两锐角互余就能算出∠E的大小。
【解析】
连接OC，
∵ CE是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∵ ∠CDB是弧CB所对的圆周角，∠COB是弧CB所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：∠COB=2∠CDB=2×25°=50°，
在Rt△OCE中，∠E + ∠COB = 90°，
∴ ∠E = 90° - 50° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线相关问题的常规辅助线作法，牢记圆周角定理和切线的性质，就能快速梳理出解题思路。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要想到切线相关问题的常用辅助线：连接切点与圆心，即可得到切线与半径垂直的关系。接着观察已知角∠CDB是圆周角，要求的∠E在直角三角形OCE中，需要先求出和∠E互余的圆心角∠COB的度数，利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可由∠CDB的度数求出∠COB的度数，最后利用直角三角形两锐角互余就能算出∠E的大小。
【解析】
连接OC，
∵ CE是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥CE，即∠OCE=90°，
∵ ∠CDB是弧CB所对的圆周角，∠COB是弧CB所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：∠COB=2∠CDB=2×25°=50°，
在Rt△OCE中，∠E + ∠COB = 90°，
∴ ∠E = 90° - 50° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线相关问题的常规辅助线作法，牢记圆周角定理和切线的性质，就能快速梳理出解题思路。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB是$\odot O$的弦，C是$\odot O$上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点D。若$∠ A=38°$，则$∠ BCD$的度数为
38°
。答案
8. 38°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，DC是⊙O的切线，优先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此可作辅助线连接OC，得到直角∠OCD；已知∠A是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再结合OC=OB，△OBC为等腰三角形，可计算出∠OCB的度数，最后通过∠OCD=90°即可求出∠BCD的度数。也可直接利用弦切角定理，直接得到∠BCD等于所夹弧对的圆周角∠A，快速得出结果。
【解析】
方法一：
连接OC、OB
∵DC是⊙O的切线，C为切点
∴OC⊥DC，即∠OCD=90°，可得$∠ OCB + ∠ BCD = 90°$
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ BOC=2∠ A=2×38°=76°$
∵OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴$∠ OCB=(180°-∠ BOC)÷2=(180°-76°)÷2=52°$
∴$∠ BCD=90°-∠ OCB=90°-52°=38°$
方法二：
∵DC是⊙O的切线，C为切点
∴根据弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
∠BCD所夹的弧为弧BC，∠A是弧BC所对的圆周角
∴$∠ BCD=∠ A=38°$
【答案】
$38°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考察切线性质和圆周角相关知识的综合运用，解题的关键是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一核心性质，结合等腰三角形、圆周角定理即可快速求解，也可直接用弦切角定理简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，DC是⊙O的切线，优先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此可作辅助线连接OC，得到直角∠OCD；已知∠A是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再结合OC=OB，△OBC为等腰三角形，可计算出∠OCB的度数，最后通过∠OCD=90°即可求出∠BCD的度数。也可直接利用弦切角定理，直接得到∠BCD等于所夹弧对的圆周角∠A，快速得出结果。
【解析】
方法一：
连接OC、OB
∵DC是⊙O的切线，C为切点
∴OC⊥DC，即∠OCD=90°，可得$∠ OCB + ∠ BCD = 90°$
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ BOC=2∠ A=2×38°=76°$
∵OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴$∠ OCB=(180°-∠ BOC)÷2=(180°-76°)÷2=52°$
∴$∠ BCD=90°-∠ OCB=90°-52°=38°$
方法二：
∵DC是⊙O的切线，C为切点
∴根据弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
∠BCD所夹的弧为弧BC，∠A是弧BC所对的圆周角
∴$∠ BCD=∠ A=38°$
【答案】
$38°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考察切线性质和圆周角相关知识的综合运用，解题的关键是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一核心性质，结合等腰三角形、圆周角定理即可快速求解，也可直接用弦切角定理简化计算。
【难度系数】
0.8
9. 如图,已知$\odot O$的半径为9,PA和PB分别切$\odot O$于A,B两点,$∠ APB =40°$,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一点。
(1)求$\overset{\frown}{AB}$的长。
(2)求$∠ ACB$的度数。
(1)求$\overset{\frown}{AB}$的长。
(2)求$∠ ACB$的度数。
答案
9. 解:(1)如图,连结OA,OB。
因为PA和PB分别切$\odot O$于A,B两点,
所以$∠OAP=∠OBP=90°$。
因为$∠APB=40°$,
所以$∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°$,
所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{140°}{360°}×2π×9=7π$。
(2)在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,
所以$∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB=70°$,
所以$∠ACB=180°-∠ADB=110°$。
解析
【分析】
（1）求$\overset{\frown}{AB}$的长需要用到弧长公式，公式需要已知圆的半径和弧对应的圆心角，本题半径已知为9，因此首先要求出圆心角$∠ AOB$的度数。连接OA、OB，根据切线的性质可得$∠ OAP=∠ OBP=90°$，再结合四边形内角和为$360°$以及已知的$∠ APB=40°$，即可算出$∠ AOB$的度数，代入弧长公式即可得到$\overset{\frown}{AB}$的长。
（2）求$∠ ACB$的度数，点C在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上，可利用圆内接四边形对角互补的性质求解：在优弧$\overset{\frown}{AB}$上取点D，连接AD、BD，先根据圆周角定理求出同弧所对的圆周角$∠ ADB$的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可得到$∠ ACB$的度数。
【解析】
(1) 连结OA，OB。
∵PA和PB分别切$\odot O$于A、B两点，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ APB=40°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-40°=140°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{140× π × 9}{180}=7π$。
(2) 在优弧$\overset{\frown}{AB}$上取一点D，连结AD、BD，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$。
∵四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形，对角互补，
∴$∠ ACB=180°-∠ ADB=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) 解:如图,连结OA,OB。
因为PA和PB分别切$\odot O$于A,B两点,
所以$∠OAP=∠OBP=90°$。
因为$∠APB=40°$,
所以$∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°$,
所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{140°}{360°}×2π×9=7π$。
(2) 在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,
所以$∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB=70°$,
所以$∠ACB=180°-∠ADB=110°$。
【知识点】
切线的性质，弧长计算，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查切线性质、弧长公式和圆周角相关定理的应用，解题的关键是合理作出辅助线，理清圆心角和圆周角的数量关系，属于圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
（1）求$\overset{\frown}{AB}$的长需要用到弧长公式，公式需要已知圆的半径和弧对应的圆心角，本题半径已知为9，因此首先要求出圆心角$∠ AOB$的度数。连接OA、OB，根据切线的性质可得$∠ OAP=∠ OBP=90°$，再结合四边形内角和为$360°$以及已知的$∠ APB=40°$，即可算出$∠ AOB$的度数，代入弧长公式即可得到$\overset{\frown}{AB}$的长。
（2）求$∠ ACB$的度数，点C在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上，可利用圆内接四边形对角互补的性质求解：在优弧$\overset{\frown}{AB}$上取点D，连接AD、BD，先根据圆周角定理求出同弧所对的圆周角$∠ ADB$的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可得到$∠ ACB$的度数。
【解析】
(1) 连结OA，OB。
∵PA和PB分别切$\odot O$于A、B两点，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ APB=40°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-40°=140°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{140× π × 9}{180}=7π$。
(2) 在优弧$\overset{\frown}{AB}$上取一点D，连结AD、BD，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$。
∵四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形，对角互补，
∴$∠ ACB=180°-∠ ADB=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) 解:如图,连结OA,OB。
因为PA和PB分别切$\odot O$于A,B两点,
所以$∠OAP=∠OBP=90°$。
因为$∠APB=40°$,
所以$∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°$,
所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{140°}{360°}×2π×9=7π$。
(2) 在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,
所以$∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB=70°$,
所以$∠ACB=180°-∠ADB=110°$。
【知识点】
切线的性质，弧长计算，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查切线性质、弧长公式和圆周角相关定理的应用，解题的关键是合理作出辅助线，理清圆心角和圆周角的数量关系，属于圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
