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10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$为斜边$AB$上一点,以$DB$为直径的圆与$AC$相切于点$E$。若$AD=5$,$AE=10$,则$BC$的长是 （
A.10
B.12
C.13
D.15
第10题图 第11题图
B
）A.10
B.12
C.13
D.15
第10题图 第11题图
答案
10. B
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先连接圆心和切点，利用切线性质得到垂直关系构造直角三角形，先用勾股定理计算出圆的半径，再通过两个直角和公共角判定三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接$OE$，
$\because AC$是圆的切线，$E$为切点，
$\therefore OE⊥ AC$，即$∠ AEO=90°$，
设圆的半径为$r$，则$OE=OD=OB=r$，
$\therefore OA=AD+OD=5+r$，
在$\mathrm{Rt}△AEO$中，由勾股定理得：$AE^2 + OE^2 = OA^2$，
代入$AE=10$得：$10^2 + r^2 = (5+r)^2$，
展开化简：$100 + r^2 = 25 + 10r + r^2$，
消去$r^2$解得：$r=7.5$，
$\therefore AB=AD+DB=5+2r=20$，$OA=5+7.5=12.5$，
$\because ∠ C=90°$，$∠ AEO=90°$，$∠ A=∠ A$，
$\therefore △AEO ∽ △ACB$，
$\therefore \frac{OE}{BC}=\frac{OA}{AB}$，
代入数值：$\frac{7.5}{BC}=\frac{12.5}{20}$，
解得$BC=12$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线章节的典型题型，解题突破口是连接圆心和切点构造直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的性质即可求解，解题思路清晰，综合性适中。
【难度系数】
0.6
遇到圆的切线问题，首先连接圆心和切点，利用切线性质得到垂直关系构造直角三角形，先用勾股定理计算出圆的半径，再通过两个直角和公共角判定三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出BC的长度。
【解析】
解：连接$OE$，
$\because AC$是圆的切线，$E$为切点，
$\therefore OE⊥ AC$，即$∠ AEO=90°$，
设圆的半径为$r$，则$OE=OD=OB=r$，
$\therefore OA=AD+OD=5+r$，
在$\mathrm{Rt}△AEO$中，由勾股定理得：$AE^2 + OE^2 = OA^2$，
代入$AE=10$得：$10^2 + r^2 = (5+r)^2$，
展开化简：$100 + r^2 = 25 + 10r + r^2$，
消去$r^2$解得：$r=7.5$，
$\therefore AB=AD+DB=5+2r=20$，$OA=5+7.5=12.5$，
$\because ∠ C=90°$，$∠ AEO=90°$，$∠ A=∠ A$，
$\therefore △AEO ∽ △ACB$，
$\therefore \frac{OE}{BC}=\frac{OA}{AB}$，
代入数值：$\frac{7.5}{BC}=\frac{12.5}{20}$，
解得$BC=12$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线章节的典型题型，解题突破口是连接圆心和切点构造直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的性质即可求解，解题思路清晰，综合性适中。
【难度系数】
0.6
11. 如图，AB与$\odot O$相切于点B，连结BO，过点O作BO的垂线OC，交$\odot O$于点C，连结AC，交线段OB于点D。若$AB=15$，$OC=10$，则$\tan A$的值为
$\frac{2}{5}$
。答案
11. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质得到OB⊥AB，明确∠ABO为直角；结合已知OC⊥OB，可推出AB与OC平行，进而得到△ABD和△COD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合OB=OC=10求出线段BD的长度；最后在Rt△ABD中，根据正切的定义计算tanA的值即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知，AB与⊙O相切于点B，因此OB⊥AB，即$∠ ABD=90°$。
2. OC、OB都是⊙O的半径，因此$OB=OC=10$。
3. 已知$OC⊥ OB$，故$∠ COD=90°=∠ ABD$，可得$AB// OC$，结合对顶角$∠ ADB=∠ CDO$，可证$△ ABD ∽ △ COD$。
4. 根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AB}{OC}=\frac{BD}{OD}$，代入$AB=15$、$OC=10$，得$\frac{15}{10}=\frac{BD}{OD}=\frac{3}{2}$，即$BD=\frac{3}{2}OD$。
5. 又$BD+OD=OB=10$，代入得$\frac{3}{2}OD+OD=10$，解得$OD=4$，因此$BD=10-4=6$。
6. 在$Rt△ ABD$中，$\tan A=\frac{\mathrm{对边}BD}{\mathrm{邻边}AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的性质、相似三角形、锐角三角函数三个知识点结合考查，解题核心是通过平行关系证明三角形相似，求出所需线段的长度，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用切线的性质得到OB⊥AB，明确∠ABO为直角；结合已知OC⊥OB，可推出AB与OC平行，进而得到△ABD和△COD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合OB=OC=10求出线段BD的长度；最后在Rt△ABD中，根据正切的定义计算tanA的值即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知，AB与⊙O相切于点B，因此OB⊥AB，即$∠ ABD=90°$。
2. OC、OB都是⊙O的半径，因此$OB=OC=10$。
3. 已知$OC⊥ OB$，故$∠ COD=90°=∠ ABD$，可得$AB// OC$，结合对顶角$∠ ADB=∠ CDO$，可证$△ ABD ∽ △ COD$。
4. 根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AB}{OC}=\frac{BD}{OD}$，代入$AB=15$、$OC=10$，得$\frac{15}{10}=\frac{BD}{OD}=\frac{3}{2}$，即$BD=\frac{3}{2}OD$。
5. 又$BD+OD=OB=10$，代入得$\frac{3}{2}OD+OD=10$，解得$OD=4$，因此$BD=10-4=6$。
6. 在$Rt△ ABD$中，$\tan A=\frac{\mathrm{对边}BD}{\mathrm{邻边}AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的性质、相似三角形、锐角三角函数三个知识点结合考查，解题核心是通过平行关系证明三角形相似，求出所需线段的长度，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在 Rt△ABC 的斜边上取点 E,以 AE 为直径作⊙O,BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AD。
(1)求证:AD 平分∠BAC。
(2)如果 AE=6,DC=4,求 CE 的长。
(1)求证:AD 平分∠BAC。
(2)如果 AE=6,DC=4,求 CE 的长。
答案
12. 解:(1)证明:连结OD,
因为BC与$\odot O$相切于点D,
所以$OD⊥BC$。
因为$∠ABC=90°$,所以$AB⊥BC$,
所以$OD// AB$,所以$∠BAD=∠ODA$。
因为$OA=OD$,所以$∠ODA=∠OAD$,
所以$∠OAD=∠BAD$,所以AD平分$∠BAC$。
(2)因为$AE=6$,所以$OD=3$,
设$CE=x$,则$OC=3+x$。因为$OD^2+CD^2=OC^2$,
所以$3^2+4^2=(x+3)^2$,
解得$x_1=2$,$x_2=-8$(不符合题意,舍去),
即CE的长为2。
解析
【分析】
（1）要证明AD平分∠BAC，需证∠OAD=∠BAD。已知BC是⊙O的切线，根据切线性质，连接切点D与圆心O可得OD⊥BC；结合Rt△ABC中AB⊥BC，可推出OD//AB，得到内错角∠BAD=∠ODA；再利用同圆半径相等得OA=OD，由等腰三角形等边对等角得∠OAD=∠ODA，等量代换即可证明AD平分∠BAC。
（2）要求CE的长，先由AE是直径得出⊙O的半径OD=3。设CE为x，可得OC=3+x，在Rt△ODC中利用勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负根，即可得到CE的长度。
【解析】
(1)证明：连接OD，
∵BC与$\odot O$相切于点D，根据切线的性质，
∴$OD⊥BC$。
∵$∠ABC=90°$，
∴$AB⊥BC$，
∴$OD// AB$，由平行线的内错角相等可得$∠BAD=∠ODA$。
∵$OA=OD$（同圆的半径相等），
∴$∠ODA=∠OAD$（等腰三角形等边对等角），
∴$∠OAD=∠BAD$，即AD平分$∠BAC$。
(2)解：
∵$AE=6$，AE是$\odot O$的直径，
∴$\odot O$的半径$OD=OE=\frac{1}{2}AE=3$。
设$CE=x$，则$OC=OE+CE=3+x$。
∵$OD⊥BC$，
∴△ODC为直角三角形，根据勾股定理可得$OD^2+CD^2=OC^2$，
代入数据得：$3^2+4^2=(x+3)^2$，
化简得$x^2+6x-16=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-8$（线段长度为正，不符合题意，舍去），
故CE的长为2。
【答案】
12. 解:(1)证明:连结OD,
因为BC与$\odot O$相切于点D,
所以$OD⊥BC$。
因为$∠ABC=90°$,所以$AB⊥BC$,
所以$OD// AB$,所以$∠BAD=∠ODA$。
因为$OA=OD$,所以$∠ODA=∠OAD$,
所以$∠OAD=∠BAD$,所以AD平分$∠BAC$。
(2)因为$AE=6$,所以$OD=3$,
设$CE=x$,则$OC=3+x$。因为$OD^2+CD^2=OC^2$,
所以$3^2+4^2=(x+3)^2$,
解得$x_1=2$,$x_2=-8$(不符合题意,舍去),
即CE的长为2。
【知识点】
切线的性质；勾股定理；角平分线的判定
【点评】
本题属于圆切线性质的基础应用题型，解题关键是连接圆心与切点构造垂直关系，结合平行线、等腰三角形的性质以及勾股定理即可求解，是圆相关知识的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AD平分∠BAC，需证∠OAD=∠BAD。已知BC是⊙O的切线，根据切线性质，连接切点D与圆心O可得OD⊥BC；结合Rt△ABC中AB⊥BC，可推出OD//AB，得到内错角∠BAD=∠ODA；再利用同圆半径相等得OA=OD，由等腰三角形等边对等角得∠OAD=∠ODA，等量代换即可证明AD平分∠BAC。
（2）要求CE的长，先由AE是直径得出⊙O的半径OD=3。设CE为x，可得OC=3+x，在Rt△ODC中利用勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负根，即可得到CE的长度。
【解析】
(1)证明：连接OD，
∵BC与$\odot O$相切于点D，根据切线的性质，
∴$OD⊥BC$。
∵$∠ABC=90°$，
∴$AB⊥BC$，
∴$OD// AB$，由平行线的内错角相等可得$∠BAD=∠ODA$。
∵$OA=OD$（同圆的半径相等），
∴$∠ODA=∠OAD$（等腰三角形等边对等角），
∴$∠OAD=∠BAD$，即AD平分$∠BAC$。
(2)解：
∵$AE=6$，AE是$\odot O$的直径，
∴$\odot O$的半径$OD=OE=\frac{1}{2}AE=3$。
设$CE=x$，则$OC=OE+CE=3+x$。
∵$OD⊥BC$，
∴△ODC为直角三角形，根据勾股定理可得$OD^2+CD^2=OC^2$，
代入数据得：$3^2+4^2=(x+3)^2$，
化简得$x^2+6x-16=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-8$（线段长度为正，不符合题意，舍去），
故CE的长为2。
【答案】
12. 解:(1)证明:连结OD,
因为BC与$\odot O$相切于点D,
所以$OD⊥BC$。
因为$∠ABC=90°$,所以$AB⊥BC$,
所以$OD// AB$,所以$∠BAD=∠ODA$。
因为$OA=OD$,所以$∠ODA=∠OAD$,
所以$∠OAD=∠BAD$,所以AD平分$∠BAC$。
(2)因为$AE=6$,所以$OD=3$,
设$CE=x$,则$OC=3+x$。因为$OD^2+CD^2=OC^2$,
所以$3^2+4^2=(x+3)^2$,
解得$x_1=2$,$x_2=-8$(不符合题意,舍去),
即CE的长为2。
【知识点】
切线的性质；勾股定理；角平分线的判定
【点评】
本题属于圆切线性质的基础应用题型，解题关键是连接圆心与切点构造垂直关系，结合平行线、等腰三角形的性质以及勾股定理即可求解，是圆相关知识的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
13. 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，BC，CD是弦，且$AB⊥ CD$，垂足为点E，CF与$\odot O$相切于点C，交BA的延长线于点F。
(1)求证：$∠ FCD=2∠ B$。
(2)若$CD=6$，$\tan B=\frac{1}{3}$，求EF的长。
(1)求证：$∠ FCD=2∠ B$。
(2)若$CD=6$，$\tan B=\frac{1}{3}$，求EF的长。
答案
13. 解:(1)证明:连结OC,如图。
因为CF与$\odot O$相切于点C,
所以$∠FCO=90°$。
所以$∠FCD+∠DCO=90°$。
因为$AB⊥CD$,所以$∠CEC=90°$,
所以$∠DCO+∠COA=90°$,所以$∠FCD=∠COA$。
因为$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}$,所以$∠COA=2∠B$,所以$∠FCD=2∠B$。
(2)因为C为$\odot O$上一点,BC,CD是弦,
且$AB⊥CD$,$CD=6$,所以$CE=DE=\frac{1}{2}CD=3$。
因为$\tan B=\frac{1}{3}$,所以$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{3}$,即$BE=9$。
设$\odot O$的半径为r,所以$OC=OB=r$,$OE=BE-OB=9-r$。
因为$CE^2+OE^2=CO^2$,所以$3^2+(9-r)^2=r^2$,
解得$r=5$,所以$OE=4$。
因为$∠COF=∠COE$,$∠CEO=∠OCF$,
所以$△ CEO ∽ △ FCO$,
所以$\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}$,
即$OF=\frac{25}{4}$,所以$EF=OF-OE=\frac{9}{4}$。
解析
【分析】
(1) 要证∠FCD=2∠B，首先观察到CF是⊙O的切线，根据切线性质优先连接OC，可得OC⊥CF；结合AB⊥CD的条件，可推出∠FCD与∠COA均为∠DCO的余角，因此∠FCD=∠COA；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可知∠COA=2∠B，等量代换即可完成证明。
(2) 求EF的长可分四步：第一步，利用垂径定理，由AB⊥CD得CE=½CD=3；第二步，在Rt△CEB中结合tanB=1/3求出BE的长度；第三步，设⊙O半径为r，用r表示OE，在Rt△CEO中用勾股定理列方程求出r，进而得到OE的长；第四步，证明△CEO∽△FCO，利用相似三角形的比例关系求出OF，最后用OF-OE即可得到EF的长。
【解析】
(1) 证明：连结OC，如图。
∵ CF与$\odot O$相切于点C，
∴ $∠FCO=90°$，
∴ $∠FCD+∠DCO=90°$。
∵ $AB⊥CD$，
∴ $∠CEO=90°$，
∴ $∠DCO+∠COA=90°$，
∴ $∠FCD=∠COA$。
∵ $\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ $∠COA=2∠B$，
∴ $∠FCD=2∠B$。
(2) 解：
∵ AB为$\odot O$的直径，且$AB⊥CD$，$CD=6$，
∴ $CE=DE=\frac{1}{2}CD=3$。
在Rt△CEB中，$\tan B=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{3}{BE}=\frac{1}{3}$，解得$BE=9$。
设$\odot O$的半径为r，则$OC=OB=r$，$OE=BE-OB=9-r$。
在Rt△CEO中，由勾股定理得$CE^2+OE^2=CO^2$，
即$3^2+(9-r)^2=r^2$，
解得$r=5$，
∴ $OE=9-5=4$。
在△CEO和△FCO中：
$∠COF=∠EOC$，$∠CEO=∠FCO=90°$，
∴ $△ CEO ∽ △ FCO$，
∴ $\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}$，即$\frac{4}{5}=\frac{5}{OF}$，
解得$OF=\frac{25}{4}$，
∴ $EF=OF-OE=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明:连结OC,如图。
因为CF与$\odot O$相切于点C,
所以$∠FCO=90°$。
所以$∠FCD+∠DCO=90°$。
因为$AB⊥CD$,所以$∠CEO=90°$,
所以$∠DCO+∠COA=90°$,所以$∠FCD=∠COA$。
因为$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}$,所以$∠COA=2∠B$,所以$∠FCD=2∠B$。
(2) EF的长为$\frac{9}{4}$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的常规综合题，综合考查了圆的核心性质、三角函数、勾股定理及相似三角形的应用。解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法（连接圆心与切点），再结合已知条件逐步推导，需要学生具备基本的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠FCD=2∠B，首先观察到CF是⊙O的切线，根据切线性质优先连接OC，可得OC⊥CF；结合AB⊥CD的条件，可推出∠FCD与∠COA均为∠DCO的余角，因此∠FCD=∠COA；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可知∠COA=2∠B，等量代换即可完成证明。
(2) 求EF的长可分四步：第一步，利用垂径定理，由AB⊥CD得CE=½CD=3；第二步，在Rt△CEB中结合tanB=1/3求出BE的长度；第三步，设⊙O半径为r，用r表示OE，在Rt△CEO中用勾股定理列方程求出r，进而得到OE的长；第四步，证明△CEO∽△FCO，利用相似三角形的比例关系求出OF，最后用OF-OE即可得到EF的长。
【解析】
(1) 证明：连结OC，如图。
∵ CF与$\odot O$相切于点C，
∴ $∠FCO=90°$，
∴ $∠FCD+∠DCO=90°$。
∵ $AB⊥CD$，
∴ $∠CEO=90°$，
∴ $∠DCO+∠COA=90°$，
∴ $∠FCD=∠COA$。
∵ $\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ $∠COA=2∠B$，
∴ $∠FCD=2∠B$。
(2) 解：
∵ AB为$\odot O$的直径，且$AB⊥CD$，$CD=6$，
∴ $CE=DE=\frac{1}{2}CD=3$。
在Rt△CEB中，$\tan B=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{3}{BE}=\frac{1}{3}$，解得$BE=9$。
设$\odot O$的半径为r，则$OC=OB=r$，$OE=BE-OB=9-r$。
在Rt△CEO中，由勾股定理得$CE^2+OE^2=CO^2$，
即$3^2+(9-r)^2=r^2$，
解得$r=5$，
∴ $OE=9-5=4$。
在△CEO和△FCO中：
$∠COF=∠EOC$，$∠CEO=∠FCO=90°$，
∴ $△ CEO ∽ △ FCO$，
∴ $\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}$，即$\frac{4}{5}=\frac{5}{OF}$，
解得$OF=\frac{25}{4}$，
∴ $EF=OF-OE=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明:连结OC,如图。
因为CF与$\odot O$相切于点C,
所以$∠FCO=90°$。
所以$∠FCD+∠DCO=90°$。
因为$AB⊥CD$,所以$∠CEO=90°$,
所以$∠DCO+∠COA=90°$,所以$∠FCD=∠COA$。
因为$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}$,所以$∠COA=2∠B$,所以$∠FCD=2∠B$。
(2) EF的长为$\frac{9}{4}$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的常规综合题，综合考查了圆的核心性质、三角函数、勾股定理及相似三角形的应用。解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法（连接圆心与切点），再结合已知条件逐步推导，需要学生具备基本的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
