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10.已知$a$，$b$为常数，且三个单项式$4xy^2$，$axy^b$，$-5xy$相加得到的结果仍然是单项式，求$a+b$的值。
答案
10.若 $axy^b$ 与$-5xy$ 为同类项,则 $b=1$.
因为 $axy^b-5xy=0$,所以 $a=5$.故 $a+b=6$.
若 $4xy^2$ 与 $axy^b$ 为同类项,则 $b=2$.
因为 $axy^b+4xy^2=0$,所以 $a=-4$.故 $a+b=-2$.
综上所述,$a+b$ 的值可能为$-2$ 或 $6$.
因为 $axy^b-5xy=0$,所以 $a=5$.故 $a+b=6$.
若 $4xy^2$ 与 $axy^b$ 为同类项,则 $b=2$.
因为 $axy^b+4xy^2=0$,所以 $a=-4$.故 $a+b=-2$.
综上所述,$a+b$ 的值可能为$-2$ 或 $6$.
解析
【分析】
要使三个单项式相加的结果仍为单项式，说明合并同类项后最终只剩1项。观察三个单项式，$4xy^2$和$-5xy$的y的次数不同，不是同类项，因此只能是未知单项式$axy^b$与其中一个已知单项式为同类项，且这两个同类项合并后结果为0，剩余第三个单项式即可满足结果为单项式的要求，因此分两种情况讨论求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若$axy^b$与$-5xy$为同类项：
根据同类项定义，相同字母的指数相同，可得$b=1$。
要使两者合并后结果为0，即$axy^b + (-5xy)=0$，代入$b=1$得$axy -5xy=0$，因此系数满足$a - 5 = 0$，解得$a=5$。
此时$a+b=5+1=6$。
2. 若$axy^b$与$4xy^2$为同类项：
根据同类项定义，可得$b=2$。
要使两者合并后结果为0，即$axy^b + 4xy^2=0$，代入$b=2$得$axy^2 +4xy^2=0$，因此系数满足$a + 4 = 0$，解得$a=-4$。
此时$a+b=-4+2=-2$。
综上所述，$a+b$的值为6或-2。
【答案】
$a+b$的值为6或$-2$
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 合并同类项
3. 整式的加减
【点评】
本题是整式加减部分的典型题型，核心考查对同类项、合并同类项规则的掌握，解题时需要全面考虑所有可能的情况，避免漏解，同时要注意互为相反数的两个同类项合并后结果为0的性质应用。
【难度系数】
0.6
要使三个单项式相加的结果仍为单项式，说明合并同类项后最终只剩1项。观察三个单项式，$4xy^2$和$-5xy$的y的次数不同，不是同类项，因此只能是未知单项式$axy^b$与其中一个已知单项式为同类项，且这两个同类项合并后结果为0，剩余第三个单项式即可满足结果为单项式的要求，因此分两种情况讨论求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若$axy^b$与$-5xy$为同类项：
根据同类项定义，相同字母的指数相同，可得$b=1$。
要使两者合并后结果为0，即$axy^b + (-5xy)=0$，代入$b=1$得$axy -5xy=0$，因此系数满足$a - 5 = 0$，解得$a=5$。
此时$a+b=5+1=6$。
2. 若$axy^b$与$4xy^2$为同类项：
根据同类项定义，可得$b=2$。
要使两者合并后结果为0，即$axy^b + 4xy^2=0$，代入$b=2$得$axy^2 +4xy^2=0$，因此系数满足$a + 4 = 0$，解得$a=-4$。
此时$a+b=-4+2=-2$。
综上所述，$a+b$的值为6或-2。
【答案】
$a+b$的值为6或$-2$
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 合并同类项
3. 整式的加减
【点评】
本题是整式加减部分的典型题型，核心考查对同类项、合并同类项规则的掌握，解题时需要全面考虑所有可能的情况，避免漏解，同时要注意互为相反数的两个同类项合并后结果为0的性质应用。
【难度系数】
0.6
11.合并下列多项式中的同类项.
(1) $3x^2 -1 -2x -5 +3x -x^2$.
(2) $-0.8a^2b -6ab -1.2a^2b +5ab +a^2b$.
(3) $\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 +ab -b^2$.
(4) $6x^2y +2xy -3x^2y^2 -7x -5yx -4y^2x^2 -6x^2y$.
(1) $3x^2 -1 -2x -5 +3x -x^2$.
(2) $-0.8a^2b -6ab -1.2a^2b +5ab +a^2b$.
(3) $\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{3}{4}a^2 +ab -b^2$.
(4) $6x^2y +2xy -3x^2y^2 -7x -5yx -4y^2x^2 -6x^2y$.
答案
11.(1)原式$=2x^2+x-6$.
(2)原式$=-a^2b-ab$.
(3)原式$=\frac{17}{12}a^2+\frac{1}{2}ab-b^2$.
(4)原式$=-7x^2y^2-3xy-7x$.
(2)原式$=-a^2b-ab$.
(3)原式$=\frac{17}{12}a^2+\frac{1}{2}ab-b^2$.
(4)原式$=-7x^2y^2-3xy-7x$.
解析
【分析】
合并同类项的解题思路分为三步：第一步先识别同类项，同类项需满足：所含字母完全相同，且相同字母的指数也对应相同，所有常数项也属于同类项；第二步移动同类项时要连同项前面的符号一起移动，避免符号错误；第三步合并同类项时，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最后整理运算结果即可。
【解析】
(1) 先找同类项：$3x^2$与$-x^2$是同类项，$-2x$与$3x$是同类项，$-1$与$-5$是常数同类项。
原式$=(3x^2 - x^2)+(-2x + 3x)+(-1 -5)$
$=(3-1)x^2 + (-2+3)x -6$
$=2x^2 + x -6$
(2) 先找同类项：$-0.8a^2b$、$-1.2a^2b$、$a^2b$是同类项，$-6ab$与$5ab$是同类项。
原式$=(-0.8a^2b -1.2a^2b + a^2b)+(-6ab + 5ab)$
$=(-0.8-1.2+1)a^2b + (-6+5)ab$
$=-a^2b -ab$
(3) 先找同类项：$\frac{2}{3}a^2$与$\frac{3}{4}a^2$是同类项，$-\frac{1}{2}ab$与$ab$是同类项，$-b^2$无同类项直接保留。
原式$=(\frac{2}{3}a^2 + \frac{3}{4}a^2)+(-\frac{1}{2}ab + ab) - b^2$
$=(\frac{8}{12}+\frac{9}{12})a^2 + (-\frac{1}{2}+\frac{2}{2})ab -b^2$
$=\frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab -b^2$
(4) 先找同类项：$6x^2y$与$-6x^2y$是同类项，$2xy$与$-5yx$是同类项（$yx$与$xy$是同类项），$-3x^2y^2$与$-4y^2x^2$是同类项，$-7x$无同类项直接保留。
原式$=(6x^2y - 6x^2y)+(2xy - 5xy)+(-3x^2y^2 -4x^2y^2) -7x$
$=0 -3xy -7x^2y^2 -7x$
$=-7x^2y^2 -3xy -7x$
【答案】
(1) $2x^2+x-6$
(2) $-a^2b-ab$
(3) $\frac{17}{12}a^2+\frac{1}{2}ab-b^2$
(4) $-7x^2y^2-3xy-7x$
【知识点】
同类项识别，合并同类项法则，整式加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础题型，主要考察对同类项的判断能力和合并同类项的运算能力，解题时需注意移动项要连带前面的符号，合并时仅对系数做运算，字母和字母的指数保持不变，避免漏项和符号错误。
【难度系数】
0.75
合并同类项的解题思路分为三步：第一步先识别同类项，同类项需满足：所含字母完全相同，且相同字母的指数也对应相同，所有常数项也属于同类项；第二步移动同类项时要连同项前面的符号一起移动，避免符号错误；第三步合并同类项时，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最后整理运算结果即可。
【解析】
(1) 先找同类项：$3x^2$与$-x^2$是同类项，$-2x$与$3x$是同类项，$-1$与$-5$是常数同类项。
原式$=(3x^2 - x^2)+(-2x + 3x)+(-1 -5)$
$=(3-1)x^2 + (-2+3)x -6$
$=2x^2 + x -6$
(2) 先找同类项：$-0.8a^2b$、$-1.2a^2b$、$a^2b$是同类项，$-6ab$与$5ab$是同类项。
原式$=(-0.8a^2b -1.2a^2b + a^2b)+(-6ab + 5ab)$
$=(-0.8-1.2+1)a^2b + (-6+5)ab$
$=-a^2b -ab$
(3) 先找同类项：$\frac{2}{3}a^2$与$\frac{3}{4}a^2$是同类项，$-\frac{1}{2}ab$与$ab$是同类项，$-b^2$无同类项直接保留。
原式$=(\frac{2}{3}a^2 + \frac{3}{4}a^2)+(-\frac{1}{2}ab + ab) - b^2$
$=(\frac{8}{12}+\frac{9}{12})a^2 + (-\frac{1}{2}+\frac{2}{2})ab -b^2$
$=\frac{17}{12}a^2 + \frac{1}{2}ab -b^2$
(4) 先找同类项：$6x^2y$与$-6x^2y$是同类项，$2xy$与$-5yx$是同类项（$yx$与$xy$是同类项），$-3x^2y^2$与$-4y^2x^2$是同类项，$-7x$无同类项直接保留。
原式$=(6x^2y - 6x^2y)+(2xy - 5xy)+(-3x^2y^2 -4x^2y^2) -7x$
$=0 -3xy -7x^2y^2 -7x$
$=-7x^2y^2 -3xy -7x$
【答案】
(1) $2x^2+x-6$
(2) $-a^2b-ab$
(3) $\frac{17}{12}a^2+\frac{1}{2}ab-b^2$
(4) $-7x^2y^2-3xy-7x$
【知识点】
同类项识别，合并同类项法则，整式加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础题型，主要考察对同类项的判断能力和合并同类项的运算能力，解题时需注意移动项要连带前面的符号，合并时仅对系数做运算，字母和字母的指数保持不变，避免漏项和符号错误。
【难度系数】
0.75
12.将连续偶数2,4,6,8,…,排列成如下图所示的数表.
(1)十字框中的5个数的和与中间数24有什么关系?
(2)若将十字框上下左右平移可框住5个数,设中间的数为x,用代数式表示这5个数的和.
(3)十字框中的5个数的和能否分别等于2 005,1 000,2 000? 若能,请写出这5个数;若不能,请说明理由.
(1)十字框中的5个数的和与中间数24有什么关系?
(2)若将十字框上下左右平移可框住5个数,设中间的数为x,用代数式表示这5个数的和.
(3)十字框中的5个数的和能否分别等于2 005,1 000,2 000? 若能,请写出这5个数;若不能,请说明理由.
答案
12.(1)十字框中的 5 个数的和是中间数 24 的 5 倍.
(2)$5x$.
(3)当 $5x=2\ 005$ 时,解得 $x=401$,
中间数不可能是奇数,所以十字框中的 5 个数的和不可能是 2 005；
当 $5x=1\ 000$ 时,解得 $x=200$,
此时十字框中的 5 个数分别为 184,198,200,202,216；
当 $5x=2\ 000$ 时,解得 $x=400$,
此时 400 在数表的最后一列,所以十字框中的 5 个数的和不可能是 2 000.
(2)$5x$.
(3)当 $5x=2\ 005$ 时,解得 $x=401$,
中间数不可能是奇数,所以十字框中的 5 个数的和不可能是 2 005；
当 $5x=1\ 000$ 时,解得 $x=200$,
此时十字框中的 5 个数分别为 184,198,200,202,216；
当 $5x=2\ 000$ 时,解得 $x=400$,
此时 400 在数表的最后一列,所以十字框中的 5 个数的和不可能是 2 000.
解析
【分析】
(1) 要探究5个数的和与中间数24的关系，先计算十字框内5个数的总和，再和24作比较即可得出倍数关系。
(2) 先总结数表排列规律：每行有8个连续偶数，同一行相邻数差2，上下相邻行同一列的数差16（8个偶数，每个差2，总差为$8×2=16$）。设中间数为$x$，分别表示出上、下、左、右四个数，相加化简即可得到5个数的和的代数式。
(3) 分别令5个数的和等于2005、1000、2000，解出$x$的值，首先判断$x$是否为偶数（数表内所有数都是偶数），再判断$x$的位置是否能作为十字框中间数（不能在数表第一列或最后一列，否则左右没有对应数字），符合要求即可写出对应5个数，不符合就说明理由。
【解析】
(1) 计算十字框中5个数的和：$8+22+24+26+40=120$，$120÷24=5$，因此十字框中5个数的和是中间数24的5倍。
(2) 设中间数为$x$，根据数表规律：
上面的数比$x$小16，为$x-16$；
下面的数比$x$大16，为$x+16$；
左边的数比$x$小2，为$x-2$；
右边的数比$x$大2，为$x+2$；
5个数的和为：$(x-16)+(x-2)+x+(x+2)+(x+16)=5x$。
(3) ① 当和为2005时，令$5x=2005$，解得$x=401$，数表中的数均为偶数，401是奇数，不符合要求，因此5个数的和不能等于2005。
② 当和为1000时，令$5x=1000$，解得$x=200$，200是偶数，且200不在数表的第一列和最后一列，可以作为中间数。对应的5个数为：$200-16=184$，$200-2=198$，$200$，$200+2=202$，$200+16=216$。
③ 当和为2000时，令$5x=2000$，解得$x=400$，$400÷16=25$，余数为0，说明400在数表的最后一列，右侧没有数，无法作为十字框中间数，因此5个数的和不能等于2000。
【答案】
(1) 十字框中的5个数的和是中间数24的5倍；
(2) $5x$；
(3) 和不能等于2005，因为解得的中间数401是奇数，不符合数表特征；和能等于1000，五个数分别是184,198,200,202,216；和不能等于2000，因为解得的中间数400在数表最后一列，无法框住5个数。
【知识点】
数字规律探究，整式的加减，一元一次方程的应用
【点评】
本题以连续偶数数表为载体，综合考查规律探究、整式化简和方程的应用，解题核心是找准十字框内各数与中间数的数量关系，同时要注意结合数表的排列规则验证解的合理性，对逻辑推理和分析问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要探究5个数的和与中间数24的关系，先计算十字框内5个数的总和，再和24作比较即可得出倍数关系。
(2) 先总结数表排列规律：每行有8个连续偶数，同一行相邻数差2，上下相邻行同一列的数差16（8个偶数，每个差2，总差为$8×2=16$）。设中间数为$x$，分别表示出上、下、左、右四个数，相加化简即可得到5个数的和的代数式。
(3) 分别令5个数的和等于2005、1000、2000，解出$x$的值，首先判断$x$是否为偶数（数表内所有数都是偶数），再判断$x$的位置是否能作为十字框中间数（不能在数表第一列或最后一列，否则左右没有对应数字），符合要求即可写出对应5个数，不符合就说明理由。
【解析】
(1) 计算十字框中5个数的和：$8+22+24+26+40=120$，$120÷24=5$，因此十字框中5个数的和是中间数24的5倍。
(2) 设中间数为$x$，根据数表规律：
上面的数比$x$小16，为$x-16$；
下面的数比$x$大16，为$x+16$；
左边的数比$x$小2，为$x-2$；
右边的数比$x$大2，为$x+2$；
5个数的和为：$(x-16)+(x-2)+x+(x+2)+(x+16)=5x$。
(3) ① 当和为2005时，令$5x=2005$，解得$x=401$，数表中的数均为偶数，401是奇数，不符合要求，因此5个数的和不能等于2005。
② 当和为1000时，令$5x=1000$，解得$x=200$，200是偶数，且200不在数表的第一列和最后一列，可以作为中间数。对应的5个数为：$200-16=184$，$200-2=198$，$200$，$200+2=202$，$200+16=216$。
③ 当和为2000时，令$5x=2000$，解得$x=400$，$400÷16=25$，余数为0，说明400在数表的最后一列，右侧没有数，无法作为十字框中间数，因此5个数的和不能等于2000。
【答案】
(1) 十字框中的5个数的和是中间数24的5倍；
(2) $5x$；
(3) 和不能等于2005，因为解得的中间数401是奇数，不符合数表特征；和能等于1000，五个数分别是184,198,200,202,216；和不能等于2000，因为解得的中间数400在数表最后一列，无法框住5个数。
【知识点】
数字规律探究，整式的加减，一元一次方程的应用
【点评】
本题以连续偶数数表为载体，综合考查规律探究、整式化简和方程的应用，解题核心是找准十字框内各数与中间数的数量关系，同时要注意结合数表的排列规则验证解的合理性，对逻辑推理和分析问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
