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3. 如图,在等边△ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长为
2
.答案
3. 2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到等边△ABC，可利用等边三角形三边相等的性质得到BC的长度；再结合BC=3BD的数量关系，计算出BD的长度；最后根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，对应边相等，即可得到CE与BD的等量关系，进而求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=6，
又
∵BC=3BD，
∴BD=BC÷3=6÷3=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，旋转前后的图形全等，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、旋转的性质
【点评】
本题是基础几何题，考查对基础性质的应用，解题关键是抓住旋转前后对应边相等的特点，结合等边三角形的边长关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到等边△ABC，可利用等边三角形三边相等的性质得到BC的长度；再结合BC=3BD的数量关系，计算出BD的长度；最后根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，对应边相等，即可得到CE与BD的等量关系，进而求出CE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=6，
又
∵BC=3BD，
∴BD=BC÷3=6÷3=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，旋转前后的图形全等，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、旋转的性质
【点评】
本题是基础几何题，考查对基础性质的应用，解题关键是抓住旋转前后对应边相等的特点，结合等边三角形的边长关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=1$,$AC=2$,将$△ ABC$绕点$C$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ A_1B_1C$,连接$A_1A$,则$△ A_1B_1A$的面积为
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质，得到旋转前后两个三角形全等，对应边相等、旋转角为90°，先判断点B₁的位置，求出△A₁B₁A的底边长，再找到对应底边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
根据旋转的性质可知：△ABC≌△A₁B₁C，旋转角∠ACA₁=90°，
∴A₁C=AC=2，B₁C=BC=1，∠A₁CB₁=∠ACB=90°，
∵∠ACA₁=90°，∠A₁CB₁=90°，
∴点B₁在线段AC上，可得AB₁=AC - B₁C=2-1=1，
又
∵∠ACA₁=90°，即A₁C⊥AC，
∴点A₁到直线AC的距离为A₁C的长度2，
则△A₁B₁A的面积为：$\frac{1}{2} × AB_1 × A_1C = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
旋转的性质，三角形面积计算，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何旋转计算题，解题核心是利用旋转的性质确定线段长度和线段间的垂直关系，进而找到三角形对应的底和高求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质，得到旋转前后两个三角形全等，对应边相等、旋转角为90°，先判断点B₁的位置，求出△A₁B₁A的底边长，再找到对应底边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
根据旋转的性质可知：△ABC≌△A₁B₁C，旋转角∠ACA₁=90°，
∴A₁C=AC=2，B₁C=BC=1，∠A₁CB₁=∠ACB=90°，
∵∠ACA₁=90°，∠A₁CB₁=90°，
∴点B₁在线段AC上，可得AB₁=AC - B₁C=2-1=1，
又
∵∠ACA₁=90°，即A₁C⊥AC，
∴点A₁到直线AC的距离为A₁C的长度2，
则△A₁B₁A的面积为：$\frac{1}{2} × AB_1 × A_1C = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
旋转的性质，三角形面积计算，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何旋转计算题，解题核心是利用旋转的性质确定线段长度和线段间的垂直关系，进而找到三角形对应的底和高求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上.
(1)画出线段AB关于直线MN对称的线段$A_1B_1$(点$A_1,B_1$分别为A,B的对应点).
(2)将线段$B_1A_1$绕点$B_1$顺时针旋转$90°$得到线段$B_1A_2$,画出线段$B_1A_2$.
1. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上.
(1)画出线段AB关于直线MN对称的线段$A_1B_1$(点$A_1,B_1$分别为A,B的对应点).
(2)将线段$B_1A_1$绕点$B_1$顺时针旋转$90°$得到线段$B_1A_2$,画出线段$B_1A_2$.
答案
解：
(1) 分别作出点A、点B关于直线MN的对称点A₁、B₁，连接A₁B₁，所得线段A₁B₁即为线段AB关于直线MN对称的线段。
(2) 将点A₁绕点B₁按顺时针方向旋转90°，得到对应格点A₂，连接B₁A₂，所得线段B₁A₂即为旋转后得到的线段。
(按上述步骤在网格中完成作图即可)
(1) 分别作出点A、点B关于直线MN的对称点A₁、B₁，连接A₁B₁，所得线段A₁B₁即为线段AB关于直线MN对称的线段。
(2) 将点A₁绕点B₁按顺时针方向旋转90°，得到对应格点A₂，连接B₁A₂，所得线段B₁A₂即为旋转后得到的线段。
(按上述步骤在网格中完成作图即可)
解析
【分析】
本题考查网格中的几何变换作图，解题思路如下：
1. 作轴对称线段时，依据轴对称的性质，对应点到对称轴的距离相等、连线与对称轴垂直。本题中MN为竖直对称轴，因此A、B的对称点与原点点竖直高度相同，只需数出A、B到MN的水平格数，在MN另一侧相同格数的位置找到对应格点A₁、B₁，连接两点即可得到对称线段。
2. 作旋转后的线段时，依据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角。将A₁相对于B₁的位置按顺时针旋转90°转换偏移方向，找到对应格点A₂，连接B₁与A₂即可得到旋转后的线段。
【解析】
(1) ①数出点A到直线MN的水平距离为2个单位，在MN右侧距离MN2个单位、与A同一水平线上的格点即为A的对称点A₁；
②数出点B到直线MN的水平距离为3个单位，在MN右侧距离MN3个单位、与B同一水平线上的格点即为B的对称点B₁；
③顺次连接A₁、B₁，线段A₁B₁即为线段AB关于MN对称的线段。
(2) ①确定A₁相对于B₁的位置：向右偏移2个单位，向上偏移4个单位；将该偏移顺时针旋转90°后，变为向右偏移4个单位，向下偏移2个单位，按该偏移找到对应格点A₂；
②连接B₁、A₂，线段B₁A₂即为绕B₁顺时针旋转90°后得到的线段。
（按上述步骤在网格中完成作图即可）
【答案】
按要求作出的线段$A_1B_1$和$B_1A_2$即为所求。
【知识点】
1. 轴对称作图
2. 旋转变换作图
3. 格点图形操作
【点评】
本题是几何变换类基础题，重点考察对轴对称和旋转性质的应用，解题时只需准确数取格点距离确定对应点位置即可，是日常练习和考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查网格中的几何变换作图，解题思路如下：
1. 作轴对称线段时，依据轴对称的性质，对应点到对称轴的距离相等、连线与对称轴垂直。本题中MN为竖直对称轴，因此A、B的对称点与原点点竖直高度相同，只需数出A、B到MN的水平格数，在MN另一侧相同格数的位置找到对应格点A₁、B₁，连接两点即可得到对称线段。
2. 作旋转后的线段时，依据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角。将A₁相对于B₁的位置按顺时针旋转90°转换偏移方向，找到对应格点A₂，连接B₁与A₂即可得到旋转后的线段。
【解析】
(1) ①数出点A到直线MN的水平距离为2个单位，在MN右侧距离MN2个单位、与A同一水平线上的格点即为A的对称点A₁；
②数出点B到直线MN的水平距离为3个单位，在MN右侧距离MN3个单位、与B同一水平线上的格点即为B的对称点B₁；
③顺次连接A₁、B₁，线段A₁B₁即为线段AB关于MN对称的线段。
(2) ①确定A₁相对于B₁的位置：向右偏移2个单位，向上偏移4个单位；将该偏移顺时针旋转90°后，变为向右偏移4个单位，向下偏移2个单位，按该偏移找到对应格点A₂；
②连接B₁、A₂，线段B₁A₂即为绕B₁顺时针旋转90°后得到的线段。
（按上述步骤在网格中完成作图即可）
【答案】
按要求作出的线段$A_1B_1$和$B_1A_2$即为所求。
【知识点】
1. 轴对称作图
2. 旋转变换作图
3. 格点图形操作
【点评】
本题是几何变换类基础题，重点考察对轴对称和旋转性质的应用，解题时只需准确数取格点距离确定对应点位置即可，是日常练习和考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题:
(1)画出将△ABC向左平移5格后得到的△A₁B₁C₁.
(2)画出将△ABC绕点O旋转180°后得到的△A₂B₂C₂.
(3)求△A₁B₁C₁的面积.
(1)画出将△ABC向左平移5格后得到的△A₁B₁C₁.
(2)画出将△ABC绕点O旋转180°后得到的△A₂B₂C₂.
(3)求△A₁B₁C₁的面积.
答案
解：
(1) 分别将点A、B、C沿水平方向向左平移5个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 分别连接$AO$、$BO$、$CO$并延长至$A_2$、$B_2$、$C_2$，使$OA_2=OA$，$OB_2=OB$，$OC_2=OC$，依次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 由平移的性质可知，$△ A_1B_1C_1$的面积与$△ ABC$的面积相等。
用割补法计算面积：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=S_{△ ABC}\\&=4×4 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×3×4\\&=16-1-4-6\\&=5\end{aligned}$
答：$△ A_1B_1C_1$的面积为5。
(1) 分别将点A、B、C沿水平方向向左平移5个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 分别连接$AO$、$BO$、$CO$并延长至$A_2$、$B_2$、$C_2$，使$OA_2=OA$，$OB_2=OB$，$OC_2=OC$，依次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 由平移的性质可知，$△ A_1B_1C_1$的面积与$△ ABC$的面积相等。
用割补法计算面积：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=S_{△ ABC}\\&=4×4 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×3×4\\&=16-1-4-6\\&=5\end{aligned}$
答：$△ A_1B_1C_1$的面积为5。
解析
【分析】
1. 平移作图思路：平移是图形所有点按相同方向移动相同距离，只需先确定△ABC三个顶点向左平移5格后的对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
2. 旋转180°作图思路：绕点O旋转180°的图形与原图形关于O成中心对称，对应点连线过O且到O的距离相等，因此分别延长AO、BO、CO，截取等长线段得到对应点后顺次连接即可。
3. 面积计算思路：平移不改变图形的大小，所以△A₁B₁C₁和△ABC面积相等，采用割补法，把△ABC放在正方形中，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可求出结果。
【解析】
(1) 分别将点A、B、C沿水平方向向左平移5个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 分别连接$AO$、$BO$、$CO$并延长至$A_2$、$B_2$、$C_2$，使$OA_2=OA$，$OB_2=OB$，$OC_2=OC$，依次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 由平移的性质可知，$△ A_1B_1C_1$的面积与$△ ABC$的面积相等，用割补法计算：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=S_{△ ABC}\\&=4×4 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×3×4\\&=16-1-4-6\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1)(2)按上述方法作图；(3)$\boxed{5}$
【知识点】
平移的性质，中心对称作图，割补法求面积
【点评】
本题属于基础题型，结合网格考查图形变换作图和面积计算，需要熟练掌握平移、中心对称的作图规则，计算网格图形面积时要准确统计各边长度，避免数错格导致错误。
【难度系数】
0.7
1. 平移作图思路：平移是图形所有点按相同方向移动相同距离，只需先确定△ABC三个顶点向左平移5格后的对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
2. 旋转180°作图思路：绕点O旋转180°的图形与原图形关于O成中心对称，对应点连线过O且到O的距离相等，因此分别延长AO、BO、CO，截取等长线段得到对应点后顺次连接即可。
3. 面积计算思路：平移不改变图形的大小，所以△A₁B₁C₁和△ABC面积相等，采用割补法，把△ABC放在正方形中，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可求出结果。
【解析】
(1) 分别将点A、B、C沿水平方向向左平移5个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 分别连接$AO$、$BO$、$CO$并延长至$A_2$、$B_2$、$C_2$，使$OA_2=OA$，$OB_2=OB$，$OC_2=OC$，依次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 由平移的性质可知，$△ A_1B_1C_1$的面积与$△ ABC$的面积相等，用割补法计算：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=S_{△ ABC}\\&=4×4 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×3×4\\&=16-1-4-6\\&=5\end{aligned}$
【答案】
(1)(2)按上述方法作图；(3)$\boxed{5}$
【知识点】
平移的性质，中心对称作图，割补法求面积
【点评】
本题属于基础题型，结合网格考查图形变换作图和面积计算，需要熟练掌握平移、中心对称的作图规则，计算网格图形面积时要准确统计各边长度，避免数错格导致错误。
【难度系数】
0.7
