登录
1（2025扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在边BC上，则下列条件中不能说明AD⊥BC的是 （
A.∠ADB=∠ADC
B.∠B=∠C
C.BD=CD
D.AD平分∠BAC
（第1题） （第4题） （第5题）
B
）A.∠ADB=∠ADC
B.∠B=∠C
C.BD=CD
D.AD平分∠BAC
（第1题） （第4题） （第5题）答案
1. B
解析
【分析】
已知△ABC中AB=AC，即△ABC为等腰三角形，要判断哪个条件不能推出AD⊥BC，可结合等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）及垂直的定义逐一分析选项：首先明确等腰三角形“三线合一”指的是底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高三者互相重合，满足其一即可推出另外两个；同时注意区分等腰三角形的固有性质和新增附加条件的作用。
【解析】
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，BC为底边，∠BAC为顶角。
对各选项逐一判断：
A.
∵∠ADB+∠ADC=180°，且∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故A不符合题意；
B. 由AB=AC可直接得到∠B=∠C，这是等腰三角形的固有性质，没有新增额外条件，无法推出AD与BC的垂直关系，故B符合题意；
C. 若BD=CD，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，故C不符合题意；
D. 若AD平分∠BAC，说明AD是等腰△ABC顶角的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，垂直的定义
【点评】
本题重点考查等腰三角形相关性质的应用，解题时要注意等腰三角形本身就具有两底角相等的特点，该条件无法为判断AD与BC的垂直关系提供额外依据，需结合三线合一的内容对其余选项进行判断，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
已知△ABC中AB=AC，即△ABC为等腰三角形，要判断哪个条件不能推出AD⊥BC，可结合等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）及垂直的定义逐一分析选项：首先明确等腰三角形“三线合一”指的是底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高三者互相重合，满足其一即可推出另外两个；同时注意区分等腰三角形的固有性质和新增附加条件的作用。
【解析】
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，BC为底边，∠BAC为顶角。
对各选项逐一判断：
A.
∵∠ADB+∠ADC=180°，且∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故A不符合题意；
B. 由AB=AC可直接得到∠B=∠C，这是等腰三角形的固有性质，没有新增额外条件，无法推出AD与BC的垂直关系，故B符合题意；
C. 若BD=CD，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，故C不符合题意；
D. 若AD平分∠BAC，说明AD是等腰△ABC顶角的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，垂直的定义
【点评】
本题重点考查等腰三角形相关性质的应用，解题时要注意等腰三角形本身就具有两底角相等的特点，该条件无法为判断AD与BC的垂直关系提供额外依据，需结合三线合一的内容对其余选项进行判断，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
2 教材P50习题T1·变式 已知等腰三角形一边长是5，一边长是11，则它的周长是 （
A.27或21
B.21或16
C.27
D.16
C
）A.27或21
B.21或16
C.27
D.16
答案
2. C
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系求解。首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目未明确给出5和11哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论；其次构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”，所以每种情况都要先验证能否构成三角形，不符合的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为5，底边长为11，则三角形的三边长为5，5，11。
∵5+5=10＜11，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为11，底边长为5，则三角形的三边长为11，11，5。
∵11+5=16＞11，11+11=22＞5，满足三角形三边关系，
∴该情况成立，此时周长为11+11+5=27。
综上，等腰三角形的周长为27。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的易错题，解题时容易忽略三角形三边的构成条件，直接计算两种情况的周长误选A。因此遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题时，分类讨论后一定要先验证三边能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系求解。首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目未明确给出5和11哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论；其次构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”，所以每种情况都要先验证能否构成三角形，不符合的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为5，底边长为11，则三角形的三边长为5，5，11。
∵5+5=10＜11，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为11，底边长为5，则三角形的三边长为11，11，5。
∵11+5=16＞11，11+11=22＞5，满足三角形三边关系，
∴该情况成立，此时周长为11+11+5=27。
综上，等腰三角形的周长为27。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的易错题，解题时容易忽略三角形三边的构成条件，直接计算两种情况的周长误选A。因此遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题时，分类讨论后一定要先验证三边能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
3 教材P43练习T1·变式 若等腰三角形的一个内角是$80°$,则它顶角的度数是
80°或20°
.答案
3. 80°或20°
解析
【分析】
已知等腰三角形的一个内角度数，但未明确该角是顶角还是底角，因此需结合等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和定理分两种情况讨论：第一种情况是该80°角为顶角，直接可得顶角度数；第二种情况是该80°角为底角，通过内角和计算顶角度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若80°的角是等腰三角形的顶角，此时顶角的度数为80°；
② 若80°的角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为80°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 80° × 2 = 20°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$80°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质的基础应用，易错点是忽略对已知内角类型的分类讨论，解题时遇到未明确指明是顶角还是底角的等腰三角形内角问题，一定要分情况讨论，同时要验证所得结果是否符合三角形的基本性质，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
已知等腰三角形的一个内角度数，但未明确该角是顶角还是底角，因此需结合等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和定理分两种情况讨论：第一种情况是该80°角为顶角，直接可得顶角度数；第二种情况是该80°角为底角，通过内角和计算顶角度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若80°的角是等腰三角形的顶角，此时顶角的度数为80°；
② 若80°的角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为80°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 80° × 2 = 20°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$80°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质的基础应用，易错点是忽略对已知内角类型的分类讨论，解题时遇到未明确指明是顶角还是底角的等腰三角形内角问题，一定要分情况讨论，同时要验证所得结果是否符合三角形的基本性质，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
4（2025 南通海安期中）如图，在$△ ABC$中，$AB=AD=DC$，$∠ BAD=20°$，则$∠ C$的度数为
40°
.答案
4. 40°
解析
【分析】
解题时优先结合已知的等边条件，利用等腰三角形性质分析角度关系：首先由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，已知顶角∠BAD的度数，可先求出底角∠ADB的度数；再由AD=DC可知△ADC是等腰三角形，结合∠ADB是△ADC的外角，利用外角性质建立∠ADB与∠C的等量关系，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ BAD=20°$
根据等腰三角形等边对等角，以及三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$
$\because AD=DC$，$\therefore ∠ C=∠ DAC$
又$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和：
$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$
$\therefore ∠ C=\frac{∠ ADB}{2}=\frac{80°}{2}=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质，解题关键是准确识别图中的等腰三角形，结合三角形外角的性质构建角度的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时优先结合已知的等边条件，利用等腰三角形性质分析角度关系：首先由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，已知顶角∠BAD的度数，可先求出底角∠ADB的度数；再由AD=DC可知△ADC是等腰三角形，结合∠ADB是△ADC的外角，利用外角性质建立∠ADB与∠C的等量关系，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ BAD=20°$
根据等腰三角形等边对等角，以及三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$
$\because AD=DC$，$\therefore ∠ C=∠ DAC$
又$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和：
$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$
$\therefore ∠ C=\frac{∠ ADB}{2}=\frac{80°}{2}=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质，解题关键是准确识别图中的等腰三角形，结合三角形外角的性质构建角度的数量关系。
【难度系数】
0.8
5（2026南京鼓楼期末）如图，已知$AD// BC$，$BD$为$∠ ABC$的平分线，$E$为$BD$的中点，连接$AE$，若$∠ D=25°$，则$∠ BAE=$
65°
。答案
5. 65°
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，由AD平行BC的性质，结合已知∠D的度数，得到∠DBC的度数；第二步，利用角平分线的定义，推出∠ABD和∠D相等，判定△ABD为等腰三角形；第三步，结合E是BD中点的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AE与BD垂直；最后在直角三角形ABE中，利用直角三角形两锐角互余计算∠BAE的度数即可。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ D=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等），
∵$∠ D=25°$，
∴$∠ DBC=25°$，
∵BD为$∠ ABC$的平分线，
∴$∠ ABD=∠ DBC=25°$，
∴$∠ ABD=∠ D=25°$，
∴$AB=AD$，即$△ ABD$是等腰三角形，
∵E为BD的中点，
∴$AE⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即$∠ AEB=90°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAE=90°-∠ ABD=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过平行线和角平分线的性质推导得到等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，进而求出目标角度，是等腰三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，由AD平行BC的性质，结合已知∠D的度数，得到∠DBC的度数；第二步，利用角平分线的定义，推出∠ABD和∠D相等，判定△ABD为等腰三角形；第三步，结合E是BD中点的条件，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AE与BD垂直；最后在直角三角形ABE中，利用直角三角形两锐角互余计算∠BAE的度数即可。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ D=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等），
∵$∠ D=25°$，
∴$∠ DBC=25°$，
∵BD为$∠ ABC$的平分线，
∴$∠ ABD=∠ DBC=25°$，
∴$∠ ABD=∠ D=25°$，
∴$AB=AD$，即$△ ABD$是等腰三角形，
∵E为BD的中点，
∴$AE⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即$∠ AEB=90°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAE=90°-∠ ABD=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过平行线和角平分线的性质推导得到等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，进而求出目标角度，是等腰三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
6（2025南京秦淮期中）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$BC$的中点，$AF⊥ AD$，垂足为$A$。求证：$∠ 1=∠ 2$。
答案
6. 证明:因为AB=AC,D为边BC的中点,所以AD⊥BC.
因为AF⊥AD,所以AF//BC,所以∠C=∠2,∠1=∠B,
因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠1=∠2.
因为AF⊥AD,所以AF//BC,所以∠C=∠2,∠1=∠B,
因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠1=∠2.
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，可通过等量代换推导：首先由等腰三角形AB=AC、D是BC中点的条件，结合等腰三角形三线合一的性质，可得出AD⊥BC；再由AF⊥AD，可推出AF与BC平行；根据平行线的性质能得到∠1=∠B、∠2=∠C；最后利用等腰三角形等边对等角得∠B=∠C，等量代换即可证出结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，D为边BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∵ AF⊥AD，
∴ AF//BC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角），
∴ ∠1=∠2（等量代换）。
【答案】
证明:因为AB=AC,D为边BC的中点,所以AD⊥BC.
因为AF⊥AD,所以AF//BC,所以∠C=∠2,∠1=∠B,
因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠1=∠2.
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察等腰三角形性质和平行线相关知识的综合应用，解题关键是利用三线合一得到垂直关系进而推出平行线，再结合底角相等完成角的等量代换，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
要证明∠1=∠2，可通过等量代换推导：首先由等腰三角形AB=AC、D是BC中点的条件，结合等腰三角形三线合一的性质，可得出AD⊥BC；再由AF⊥AD，可推出AF与BC平行；根据平行线的性质能得到∠1=∠B、∠2=∠C；最后利用等腰三角形等边对等角得∠B=∠C，等量代换即可证出结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，D为边BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∵ AF⊥AD，
∴ AF//BC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角），
∴ ∠1=∠2（等量代换）。
【答案】
证明:因为AB=AC,D为边BC的中点,所以AD⊥BC.
因为AF⊥AD,所以AF//BC,所以∠C=∠2,∠1=∠B,
因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠1=∠2.
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察等腰三角形性质和平行线相关知识的综合应用，解题关键是利用三线合一得到垂直关系进而推出平行线，再结合底角相等完成角的等量代换，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
7（2025徐州丰县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF。求证：D是BC的中点。
答案
7. 证明:因为DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,
所以AD是∠BAC的平分线.
因为在△ABC中,AB=AC,
所以D是BC的中点.
所以AD是∠BAC的平分线.
因为在△ABC中,AB=AC,
所以D是BC的中点.
解析
【分析】
要证明D是BC的中点，已知△ABC为等腰三角形（AB=AC），可利用等腰三角形三线合一的性质，只需先证明AD是∠BAC的角平分线即可。已知DE、DF分别是点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段，且DE=DF，根据角平分线的判定定理，可直接推出AD平分∠BAC，再结合等腰三角形三线合一的性质即可得到结论。
【解析】
1. 推导AD是角平分线：
已知DE⊥AB，DF⊥AC，说明DE、DF分别是点D到∠BAC两边的距离，又因为DE=DF，根据角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），可得AD是∠BAC的平分线。
2. 推导D是BC中点：
已知△ABC中AB=AC，即△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合），可得AD同时是BC边上的中线，因此D是BC的中点。
【答案】
证明:因为DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,所以AD是∠BAC的平分线.因为在△ABC中,AB=AC,所以D是BC的中点.
【知识点】
角平分线的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质与角平分线判定的基础综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定方法和等腰三角形三线合一的性质，通过已知条件先推出角平分线，再结合等腰三角形性质得到最终结论，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明D是BC的中点，已知△ABC为等腰三角形（AB=AC），可利用等腰三角形三线合一的性质，只需先证明AD是∠BAC的角平分线即可。已知DE、DF分别是点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段，且DE=DF，根据角平分线的判定定理，可直接推出AD平分∠BAC，再结合等腰三角形三线合一的性质即可得到结论。
【解析】
1. 推导AD是角平分线：
已知DE⊥AB，DF⊥AC，说明DE、DF分别是点D到∠BAC两边的距离，又因为DE=DF，根据角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），可得AD是∠BAC的平分线。
2. 推导D是BC中点：
已知△ABC中AB=AC，即△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合），可得AD同时是BC边上的中线，因此D是BC的中点。
【答案】
证明:因为DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,所以AD是∠BAC的平分线.因为在△ABC中,AB=AC,所以D是BC的中点.
【知识点】
角平分线的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质与角平分线判定的基础综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定方法和等腰三角形三线合一的性质，通过已知条件先推出角平分线，再结合等腰三角形性质得到最终结论，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
